RAPPORT DE M. POISSON

tJJK PLOSIËUBS 0UYEAGE5 DE GÉOMÉTRIE.

'^.Ddpin bs propose de publier un ouvngo fui aura pour titre : Dételoppements ds GêOt

- -y^ntlE EATIONNELLE ET ANALYTIQUE , pOW SefWf

■ ^jniite aux Traités de Géométrie descriptive et de Géométrie analjtique de M. MonCE.

Cet ouvrage sera le recueil de plusieurs Méinoires que lauleDr a composés sur des questions INUement théoriques, et sur d'autres problèmes qui trouveut des applications utiles dans les arts , et particulièrement dans le service des ingénieurs. Avant de le Ëiire paraître, il désire que les diffé- Tentes parties de son travail soient soumises au jugement de la Classe à laquelle il a présente', dans one de ses dernières séances , trois de ses Mémoires qu'elle a renvoyés à notre examen. Les questions qu'il y a traitées sont relatives aux courbures des surfaces. Son objet fHÏnctpal est de rendre cette théorie plus élémentaire , et surtout d'un usage plus facile dans les nombreuses «I^ications dont elle est susceptible. Ce qui ItDi^wte en^effet, dans les arts, c'est de pottv<ur

4ia ramener la solution des problèmes a des tructions graphiques faciles à exécuter, et c'est i cela que les procédés simples et utiiforiBes de géométriedescriptive soiitd'une si grande utilité à toutes les classes d'Iiigéuieurs.

Dans le premier de ces trois Me'moireSf M. Dupîn rappelle touts les théorèmes cOQUUf sur la courbure des surfaces, et sur les cûotactl du second ordre. 11 parvient à les démontrer p* des considérations géométriques , et sans auf^ calcul. Il y ajoHte ensuite d'autres théorèmes qu' a découverts, et qui sont pour la plupart remaPi quables par la simplicité de leurs énoncés.

Les cercles osculateurs de toutes les sectîoni normales que l'on peut faire en un point ^donn4 sur une surface , ont leurs centres sur la normaU en ce point ; mais comme leurs rayons sont ei général inégaux, et quelquefois tournés en sen opposés , il s'ensuit qu'ils ne peuvent pas apparte^ nir touts à une même sphère; mais on sait pa| l'analyse, et M. Dupin démontre sinlhétiqu» ment que touts ces cercles sont toujours osculai» teurs des sections normales d'un même ellipsoïde, ou plus généralement d'une surface du second de^ gré dout un des axes coïncide avec la normal^ au point donné. Cet ellipsoïde est osculateur d^ la surface donnée dans touts les sens autour du^ point du contact ; et pour déterioiaer la courburQ

de cette surface, il suffit de considérer celle de l'ellipsoïde à son sommet. Ainsi, dans une surface quelconque , comme au sommet d'un ellipsoïde , les directions de la plus petite et de la plus grande courbure, à partir d'un même point, sont à angle droit. Ce sont lés seules directions suivant lesquelles les normales consécutives puissent se

- oouper, d'où il résulte les diverses propriétés des

. .lignes de plus grande et de moindre courbure .que Tun de nous (M. Mongc) a le premier fait connaître ; et enfin Ion en peut aussi conclure le beau théorème d'Euler, d après lequel les cour-

r bures de toutes les sections normales autour d*un même point , se déduisent facilement des deux courbures principales.

M. Dupin considère, en particulier, les surfilées du second degré qui ont un centre. Tl donne

, une construction simple et facile à exécuter, pour déterminer en chacun de leurs points , les directions et les grandeurs des deux courbures principales,, et généralement de toutes les autres sections normales.

Revenant ensuite à la théorie générale des courbures , il démontre uu théorème dont renoncé est assez compliqué, mais dont il tire deux conséquences importantes.

Il en conclut dabord que si deux surfaces se touchent dans toute retendue d'une ligne

courbe , tout plan tangent à cette ligne coi les surfaces suivant deux courbes qui auront tre elles un contact d'un ordre iinmèdiatemcrA supérieur à celui de ces surfaces. Lorsque , pw exemple, un cône embrasse une sphère, il a avec elle, dans toute l'étendue d'un petit cercle, un contact du premier ordre. Or, tout plan meoé par une tangente à ce cercle, coupera le c6ne et la sphère , suivant deux courbes qui se toucheront au second ordre ; de sorte que la section de la splière sera le cercle osculateur de la section conique.

La seconde conséquence que M. Dupin déduit de son tliéorème , c'est que si deux surfaces ont lui plan tangent commun en un point, et qi deux sections faites par un plan normal passeol par une droite tracée sur ce plan tangent; ç sections a^'ant entre elles un contact du secoi ordre , il en sera de même par rapport à tonh les sections obliques faites par des plans passan) par la même droite; il en résulte donc que sphère qui contient le cercle osculateur d'ui section normale faite dans une surface quelcoi que , contient aussi les cercles des sections oblî^ ques faites par des plans qui passent par la mév tangente; ou autrement dit, si uu plan tour autour d'une droite tracée sur le plan tangent une surface, toutes les courbes suivant lesquelta

>1 coupera cette surface , auront leurs cercle3 de courbure sur une même sphère. Le théorème qui lie les courbures des sections obliques à celles des sections normales est dû à Meusnier; en le joignant à celui d'Eulerque nous avons cité, il en résulte que les courbures de toutes les lignes que l'on peut faire passer sur une même surface, et par uti même point, sont liées entre elles, de manière que la plus grande et la plus petite étant connues en grandeur et en direction, toutes les autres s'ensuivent.

Il nous reste à parler de la partie de sou travail à laquelle M. Dupîn attache le plus d'intérêt, et <ju'il appelle la théorie des tangentes conjuguées. Pour concevoir ce qu i! entend par cette dénomination, supposons qu'une surface soit donnée et qu'on lui circonscrive une surface developpable qui la touchera dans toute l'étendue d'une ligne courbe : la tangente à cette ligne, en un point donné, et l'arête de la surface développable qui passe par ce point , sont ce que M. Dupin appelle deux tangentes conjuguées. Relativement à chaque point donné sur la surface, il existe évidemment une infinité de systèmes de semblables tangentes; touts ces systèmes jouissent de propriétés curieuses qui n'avaient point encore été remarquées , et dont voici les principales.

1", Deux tangentes conjuguées sont réciproques

l'une de l'antre , c'est-à-(Jire , <jue si l'arête d' première surface de'veloppable est tangente à la lienede contact d'une seconde surface de la même' espèce , réciproquement la tangente à la pre* mière ligne de contact sera l'arête de la seconde surface.

2". On peut toujours tracer dans le plan tangent, en un point doime, une section conique qui ait ce point pour centre, et dont les système! de diamètres conjugués représenteront en direction louts les systèmes de tangentes conjuguées. M. Dnpiii nomme cette courbe, i indicatrice , parce qu'en effet îl prouve qu'elle inditjue, par sa! nature , le sens des deux courbures priAcipalea de la surface , en chacun de ses points.

3°. Les deux axes de l'indicatrice ou les tai gentes conjuguées rectangulaires, sont tangente! aux lignes de plus grande et de moindre courbure.

^°. Pour un même point d'une surface donne'e». le rayon de courbure de chaque section normale est proportionnel au carré du diamètre de l'indicatrice qui se trouve dans le plan de cette Bectiooi d'où il suit que selon que l'indicatrice est uni ellipse ou une hyperbole , la somme ou la diffé«i rence des rayons de couibure des sections qui r^ pondent à deux tangentes conjuguées, est quantité constante égale à la somme ou à la dlf?

!ence des deux rayons principaux. L'un de ce» x rayons devient infini , et la courbure dispa- Bt dans an sens , lorsque l'iodicatrice se cliaugt ■parabole ; ce<]ui arrive, par exemple , eu tous ■ points des surfaces developpables.

Dans le second et le troisième Mémoires,

■• Duptn applique l'analyse aux questions qu'il a

Citées dans le premier; et, par son moyen, il

Bveloppe sous un nouveau jour les démonstra-

pos de plusieurs des propositions précédentes.

"forme l'équation de l'indicatrice pour un point

uelcouque d'une surface donnée; quand cette

U'be est une ellipse , les deux courbures de la

rface au point que l'on considère , sont tournées

is le même sens ; elles sont tournées en sens op-

»s, lorsque l'indicatrice est uneliyperbolejel,

l^cette manière, rcxamendes diverses inflexions

E la surface peut éprouver, par rapport au sens

i ses. courbures, se trouve ramené à la dîs-

HÎon fort simple des courbes du second degré.

s le cas de l'indicatrice hyperbolique , l'angle

asymptotes fait connaître le rapport des deux

irbures principales. Il est droit, et l'indicatrice

; hyperbole équilatère en tous les points

Pla surface dont l'aire est im minimum entre

î limites doimées ; car on sait que cette surÊicc

t de la propriété d'avoir, en chacun de

iLs, ses deux rayons de courbures princlpaui

égsùx et diriges en sens contraire. On sait aussi que si une surface du second degré peut être engendrée par une droite , elle est susceptible d'uue seconde génération semblable , et qu'il y a toujours deux génératrices qui se croisent çn chaque point. Or , M. Dupïn prouve que ces deux droite» sont les asymptotes de l'indicatrice ; d'où il conclut que, sur un hyperboloïde , à une nappe et sur un parabolo'ide hyperbolique, les direction» de la plus gi'ande et de la moindre courbure en un point quelconque , partagent en deux parties égales l'angle des deux génératrices et son supplt ment; car c'est en cfTet la propriété des axes d^ l'hyperbole par rapport à ses asymptotes,

La plus grande partie du troisième Mémoïrd est employée à la détermination des points daii) lesquels l'indicatrice est un cercle , et où , par coït séquent, les courbures de toutes les sections nop maies sont égales. Ces points remarquables oui déjà été considérés par l'un de nous (M. Monge] qui les a nommés des ombilics. Relativement un point de cette espèce, l'équation des ligni de courbure devient identique , et leur directioq semble d'abord devoir être indéterminée : c'est qui arrive effectivement en certains points conmi< aux sommets des surfaces de révolution. Mais M. Dupin fait voir qu'il y a d'autres ombilics par 1< (pjels il ne passe qu'une ou trois lignes de coufi