PREMIER MÉMOIRE

Présenlé à la première classe de l'Insiiiul de France le la avril i8i3 (i).

I^'est en parcourant un arsenal de marine qi)l Galilée, frappé 4es grands travaux qui s'oflraienl à ses regards , conçut l'idée d'appliquer les sciences mathcmatiques à la détermination de la força des bois.

C'est donc sur nos chantiers et dans nos^ / liers qu'est née l'application du calcul aux tn

f 0 Sur le rapport de MM. Carnot , Pro.iy , et Sané r«|f porteur, ce Mémoire a obtenu l'approbation de la ClâweJ» 19 juillet i8i3. [I a paru daus le uv'. cahier du jornin) de l'ccole polytecLnique.

vaux des arls. ïi semble, en effet, que ce soit là qu'elle ait dû naître; car nulle part desoiivrages plus importants ne sont exécutes par de plusgrands moyens , avec une précision plus rigoureuse , et dans un ruoindie espace de temps.

Après que (ialiice eut ouvert ainsi la carrière , elle fîit parcourue par les savants les plus illustres. Dès quil y eut un premier germe de tliéorîe dans les arts, la tliéorîe forma des ingénîuurs. C'est alors que la partie expérimentale a fait des progrès plus sensibles, et qu'on a remplacé plus généralement l'hypothèse et Je système par des données, fruits de l'expérience, et par des calculs rigoureux fondés seulement sur ces dounées.

Sans retracer ici l'IiLstoire des travaux dont nous venons de parler, nous nous contenterons de citer la savante préface d'un traité s ur la résistance des solides, qu'on doilà l'ingénieur Girai-d qui, lui-mèroe , a fait de nombreuses expériences sur la force des l>ois,

Jusqu'ici l'on a clierché principalement à déterminer la résistance dont ks bois sont susceptibles avant leur rupture, soit en les rompant perpendiculairement à leurs fibres, soit en les affaissant sous des poids qui agissaient dans le sens même de ces fibres.

Sans doute ilcst nécessaire de coonaitre ce laS

point extrême, cette limite de ta force des bois* afind'employerconslammentdes matériaux doué» d'une force plus grande que toutsies efTorts auxquels ils devront résister, dans les constructioni et dans les machines ou ils entreront comme élé* ments. Mais it &ut toujoui's se tenir assez loin de cette limite. Lorsqu'on veut exéculer des travaux durables, il faut s'en tenir bien plus loin encore; carie temps diminue incessamment la force des bois , et mille causes concourent à détériorer leuis qualités primitives.

Il est un autre genre de recberclies non moins utile, pitis utile peut-être, et qui cependant mti send)leavoir été le moins suivi. C'est de déterminer les résistances comparées des bois, lorsqu'oot les soumet à des forces capables d'altérer très-peu leur figure , et de trouver , si je puis m'exprimer ainsi , leur résistance virtuelle à tout changement d'état.

Lorsque nous construisons nos édifices, no» macbines , nos vaisseaux , nous supposons qae les' pièces d'une dimension considérable, et d'ailleurs peu chargées , conservent la figure qu'un dessin rigoureux leur a donnée : il n'en est rien. Dans la nature , les moindres forces ont leurs efl'ets cer* tains, quoique parfois trop petits pour tomber sous nos sens ; et souvent ces efl'ets, insensibles individuellement, s'accumulent au point de pro-,

(luire les résultats les plus marques et les plus graves : nous n'en citerons qu'un seul exemple.

Le plus yraiid édifice que nous puissions construire , en charpente , est sans contredit un vaisseau, tel qu'il lu faut aujourd'hui pour entrer en ligne dans nos escadres. Lorsqu'un vaisseau du premier rang est établi sur les chantiers, ses dernières allonges s'élèvent au-dessus du faîte des plus hautes maisons. Il doit loger raille homnieset au- • delà, renfermer leurs vivres pour six mois, et toute l'artillerie d'une place forte de secoude classe. Aussi la solidité de sa construction répondelle à l'immensité des objets qu'il doit contenir. Nous avons nommé murailles ses parois en charpente; et leur épaisseur est en effet au moins égale à celle des murs extérieurs de nos maisons ordinaires. Les liaisons, les supports en touts genres y sont combinés avec intelligence ; le cuivre , le fer y sont prodigues pour maintenir l'ensemble de toutes les parties. Qui douterait qu'avec des moyens si puissans et si bien disposés, la forme du vais,seau ne se trouvât assurée d'une manière invariable ? Cependant cela n'est pas. A peine est-il lancé sur la mer , que , d'une part l'Inégale réaction produite dans un sens par les poids accumulésvers les extrémités, et de l'autre la répulsion de l'eau, concentrée vere le milieu, courbent à la fois toute cette grande machine, et font

former à ses parties des arcs qui , sur une cord* de soixante mètres, ont présenté quelquefois un demi-mèb'e de flèche , et au-delà.

Une telle déformation est énorme sans doute; elle ebunge puissamment la stabilité du vai»seaii ; elle influe sur toutes ses autres qualités. Cependant , si nous voulions savoir quelle serait la flèche d'un arc a^ant dtruv mètres de corde , et présentant d'ailleurs la courbure que nous yenon» d'indiquer, nous trouverions que le nouvel art devrait avoir pour flèclie moins de deux dixièmes de miUitnètres , c'est-à-dire, une graudeur prévue insensible, sur une longueur bien supérieure à notre moyenne stature.

Cest donc cette altération à peine sensible dei bois que je me suis premièrement proposé d'apprécier. Cest leur résistance à tout changement d'état, au moment où cette résistance commeun à faire sentir ses effets, c'est-à-dire, lorsque le* corpsaltèrcnt iniinimenipeu leur forme , en vertQ des ppids qu'ils supportent, que j'ai eu en vue d'évaluer.

On verra peut-cire avec quelque intérêt lef lois et les anomalies observées dans les cspériences faites en grand sur la rupture des bots, (c'est-à-dire , au point oii leur déformation est li plus grande possible), devenir la conscquenc* nécessaire des variations extrêmement petites qo«

les moindi-es flexions offrent à l'observateur. C'est à peu près ainsi que les fonctions intégrales dérivent de^ lois qui coordonnentles élemens différentiels de ces mêmes fonctions , et peuvent eu cire rigoureusement déduites.

Je vais maintenant passer au détail de mes expériences. Sur un grand établi , j'ai fait fixer deux supports horizontaux et de niveau, distants entre enx de deux mètres; j'ai fait donner la forme d'un parallélipipède à des morceaux de chêne, de cyprès , de hêtre et de sapin ou de pin, seuls bois dont je pouvais disposer.

Ces parallélipipèdes, ayant un peu plus de deux mètres , étaient posés tour à tour sur les supports, dont ils mesuraient la plus courte distance , en dépassant très-peu de chaque côté , assez seulement pour que la pièce , en prenant de la courbure, ne se raccourcît pas au point de tomber cotre les appuis.

J'ai chargé ces parallélipipèdes , que j'appellerai simplement des r^^/fj , par des poids placés à égale distance entre les deux supports ; alors chaque règle a pris une certaine courbure.

Premièrement , il est évident que la règle a dû se plier suivant une courbe plane verticale. Secondement , la courbe formée par chaque arête de la r^Ie est symétrique à droite et à gauche , par rapport au plan vertical mené par le point

miUimèlre équivalent à rancioiine mesure appe- Ice point: lellé est la lîmiledemes erreurs.

J'ai pris les quatre espèces de bois les plus gétteralemeiit emplo^iëes dons les arts : ce sont ccllefî que j'ai déjà nommées. I^e cliéne et le sapin étaient coupés depuis peut-être vingt-cinq ans, puisqu'ils provenaient du vaisseau russe le Mi" chaël, que j'ai démoli en 1810, et qui avait peut-être alors vinj^l ans de construction.

Aussi ces bois sont-ÏIs loin d'avoir la force qui leur appartient. Mais , comme il s'agit ici de déterminer les lois qui régissent la force et l'élasticité des bois par des rapports généraux indépen-' dants de la vigueur absolue des fibres ligneuses , et même indépendants du genre et de l'espèce desi ai'bres, ces bois, comme on voit, étaient aussi) propres à remplir notre objet que s'ils eussent étsi defrakbe coupe. Au reste, le cyprès et le hêtre n'avaient guère plus d'un an d'abattage , et leur élasticité nousa présenté lesmêmesproprîétésque lesboiséprouvés après viugt-cinq ans découpe, fait démontre notre assertion jusqu'à l'évidence,

On a travaillé quatre règles parallélipipèdes. ayant, comme nous l'avons dît, quelque chose di plusque deux mètres de longueur; on leur adonni trois centimètres d'équarrissage ; ensuite on » placé successivement chaque règle sur les appuis» et on la chargée, sur son milieu, par 4 Vo-

leur .que I ;.Ce J

grammes , puis par 8, 12, iG , jusqu'à 28 kilogrammes. A notre travail sont joints des tableaux qui font connaître, 1°. les flèches de l'arc pris par les règles; 2°. ks différences premières de ces flèches.

En jetant les yeux sur ces tableaux , on voit d'abord que S kilogrammes font plier la règle du double seulement de la flexion produite par 4 kilogrammes : ce qui nous fait voir qu'au-dessous de ces deux charges, les difl'e'rences secondes deviennent trop petites pour être appréciées. Ce résultat concorde avec ceux d'où nous avons déduit le premier théorème.

Je remarque ensuite que , dans les tableaux de tous les bois, du chêne, du cyprès, du hêtre et du sapin , les diiTéreiices premières des flèches vont toujours en augmentant.

Elles offrent , il est vrai , quelques légères ano< malics ; mais, immédiatement après «ne difl'érence trop faible , s'en présente une en sens con- Iraîre qui la surpasse beaucoup plus ; et , comme les erreurs ne portent que sur des lUxiémes de millimètre , je ne doute pas qu'en employant des bois travaillés avec la dernière perfection , et en recourant à des moyens d'observer, que je n'avais pas à ma disposition , on n'obtienne des résultats plus exacts , et tels que les dilférences secondes soient constantes, ou du moins néprou-

vent que des variations toiit-à-fail insensibles. Aimi, nous pouvons regarder les différences secondesdes dimensions comme constantes, Iqwqiie les poids qui chargent une même pièce croissent par différences premières constantes; et cette loi si simple est pourtant tellement concordante avec l'expérience, que , si nous formons, pour le cliêne , par exemple , le développement régulier des termes qu'elle exprime , les résultats ne diflereront jamais des observations de quatre dixièmes de millimètre ; et la flexion totale à laquelle nous arriverons est cependant de 406 <le ces dixièmes-, Il est facile d'expliquer cette légère anomalie

I>a règle, en se courbant, forme un ai-c plus long que sa corde; il faut donc, lorsqu'elle s« plie , qu'elle glisse plus ou moins sur ses appuis. Ces appuis étaient de simples arêtes en bois , tra; vaille proprement , à la vérité, mais sans bcam coup d'art. Les allongements ont dû se faire, m d'une manière continue , mais par de petiLi resi sauts' plus ou moins sensibles. Qu'on se rappel!^ toujours que nous étions dans un pays (m toi manquait , jusqu'à des balances assez précises poi pousser l'exactitude au-delà des dix millièmes (< même elles y arrivaient ) , et l'on verra qo'aucui des petites différences de l'observation et du « cul, n'est au-delà de la limite totale de la jusl des opérations.

Nous avons voulu voir ensuite le résultat dea mêmes fomiules pour la chai'ge , Irès-coiisiderable, de 80 Kilogrammes. F.n comparant nos résultats avec ceux obtenus pour une charge de 4 ^'^~ logramnies seulement , nous avons reconnu que , proportion fjardee , le cyprès a le moins de flèche sous la gfande charge, ensuite le chêne, puis le sapin , enfin le fictre.

De là nous tirons cette conséquence remarquaMe : Quand tnême la résistance virtueîîe d'une espèce de bois serait très-forte , si les différences secor/drs des Jïexions étaieni considérables pour cette espèce , avec une charge assez grande , ce bois /mirait par plier plus (jue celui d'une autre espèce , dont la résistance virtuelle à la Jlexion serait cependant plus petite.

On sait que le hêtre est éminemment élastique ; le tourneur en fait l'arc qui sert de régulateur à son tour. Dans la marine , les meilleurs avirons, ceux qui supportent sans se rompre les efforts les plus grands , les chocs les plus brusques , sont les avirons de hêtre. C'est que les différences secondes pour le hêtre étant considérables, cette grande flexion dont le hêtre est susceptible , avec des diarges données , lui permet de céder à des chocs . brusques , et le rend peu cassant.

Remarquons , au contraire , que le cyprès , peu i fleicifale et trèg-cassapt , a ses diflerences secomiw

presque insensibles : elles ne sont pas le tiers de celles 3ii hêtre.

J'ai détermine les pesanteurs spécifiques des quatre espèces de bois soumises aux expériences précédentes; l'ordre de ces pesanteurs est aussi celui des résistances à la flexion.

De ià résulte cette conséquence importante : De deux %'iii.sseaiix dont la charpente sera dé^d volume , celui constniU avec le bois le plus pesant prendra moins d'arc et de courbure que relui constntit avec le bois le plus léger. Car, toutes choses éijalcs d'ailleurs , l'are des vaisseaux est proportionnel à la flexibilité virtuelle.

Ainsi, les Taisseaux de la Baltique et de 1* Hollande doivent prendre plus d'arc que ceux àf la Méditerranée.

Mais , d'après les mêmes calculs , de dtuT vaisseaitx dont la charpente a le mente poids, «f fjui sont constniits en bois différents , le i^issea» cortstntit avec le bois le plus léger sera celui dont l'arc sera le moins considérable , et <fui conséi quemment présentera la plus grande solidité.

Le célèbre Don G. Juan paraît avoir enlreTil celle vérité , puisqu'il voudrait que l'on construl» sit les vaisseaux avec les plus léf^ers des bois, I«t bois résineux, et non plus avec le chêne.

Au reste, toutes les expériences précédentes^ en offrant les éléments de la résistance virtueUcr

donneront les moyens de calculer, et par là d'obtenir des résultats comparables , sans en venir toujours aux expériences coûteuses de la rupture des pièces. Par ce moyen, on coniiailra mieux les qualités des bois qui conviennent aux divers travaux des arts en général, et surtout des constructions navales. On pourra fixer les dimensions des pièces de cliaque navire d'une manière moins arbitraire. Ces opérations, plus éclairées, conduiront à des résultats avautafjeux.

Dans le port où je dois me rendre incessamment, j'espère pouvoir déterminer les éléments des forces virtuelles des bois, mesurés sur des pièces parfaitement saines; et non plus sur des bois usés , tels que ceux dont je pouvais disposer à Corcyre. Si la classe prend quelque intérêt à ces recherches, j'aurai l'honneur de lui en conv muniquer les résultats.

X^s ingénieurs de la marine agitent en ce moment une question importante. On sait qu'autrefois la mâture de nos vaisseaux était faite avec des Raptns , ou plutôt des pins du INord, parce que les rares qualités de ces bois les font rechercher de toutes les nations. Depuis long-temps les approvisionnements de ce genre que possédaient nos arsenaux sont épuisés , ou du moins tellement appauvris, qu'il faut recourir à d'autres bols. On a proposé les sapins de la Toscane et les pins de

la Corse. On a cru trouver en eux plus d'avant que dans les anciens bois du Nordj dont nous poi vous disposer encore; et cela est vrai. Mais en ont-ils plus que les bois du Nord dans leii fraîcheur? voilà ce qui n'est point encore d( cidé (i).

Ensuite , il ne suffit pas de considérer la résistance à la rupture. La résistance à la flexion «t aussi d'une considération très-importante. Caria flexion des inàts ne sopérant que par l'allonge^ ment des cordages qui les soutiennent , de dcu] mâts qui casseraient sous le même eflbrt , celui qui plie le plus exige un plus grand allongement dans les cordages, et par conséquent un plus grand effort de la p.-irt du vent. Donc aussi la force dà cordages doit être dans une relation nécessairt avec la résistance que les mâts opposent ■é toul flexion.

Dans tous les cas , il faut déterminer les dimcu^ sions des mâtures suivant la nature des bois qu'on emploie ; et l'on voit que les données dont nom avons parlé jusqu'ici sont propres à répandre quelque jour sur ce beau problème.

Après avoir multiplié les expériences sur h

(i) J'ai fait depuis, à ce sujet, des expériences comp* ratives dans l'arsenal de Toulon ; elles De sont p» enw publiées.

avons M

is lar- 1

pièces d'une seule el même forme, nous en considéré c[ui avaient des épaisseurs et des geurs différeiites, et uous sommes parvenus à ce résultat constant :

La résistance à lajlexion est pwportio/melle aujc cubes des épaisseurs. Nous avons essayé de démontrer par la théorie cette vérité d'expérience.

Lorsqu'un plie un parai léliplpède de bois, les fibres intérieures sont comprimées, et les fibres extérieures sont allongées ; de manière qu'il se trouve nue fibre intermédiaire d'une longueur invariable ; et cette fibre est toujours la même , quelque courbure qu'on donne au parallélipir pède.

Pour démontrer l'effet de l'allongement ou du raccourcissement des fibres , Duhamel imagina l'expérience la plus ingénieuse. Il scia par !e milieu , et perpendiculairement à la direction des fibres , les trois quarts de l'épaisseur de la pièce; puis il enfonça dans le trait de la scie un coin fort mince , et d'un bois encore plus dur que le cLène. La pièce étant ensuite soutenue par les deux bouts, et la face oii était le trait de scie étant en dessus, on chargea cttle pièce par des poids; or, quoirju'elle fût wiée aux trois quarts , un quart seul des fibres put rétiistcr pardon extension } de maniéré que la pièce avait conservé toute

4oo

sa force. Lorsque le trait de scie élait moît avancé , la force était plus grande ; elle était ph petite dans le cas contraire. Loi-squ'on auii déterminé par l'expérience la position précis» de la fibre invariable , on voit , par ce quq nous venons de dire , que rien ne sera plus ciie que d'en conclure le i-apport des forces nécessaires pour produire un allongement ou un raccourcissement déterminé des Hbres d'une mè-* me pièce de bois. Les expériences qui devrool servir de base à ce calcul oifrentà faire une dei plus belles recherches que puissent présenter h questions relatives à la force des bois.

Après avoir chargé les pièces par des poicb uniques , je les ai ciiargées par des poids unifoi mément répartis sur toute leur longueur ; et j'i trouvé que , pour le même poids accumulé al milieu d'une pièce , ou réparti uniformément sut' toute son étendue , les flèches ou descensions sont entre elles comme dix-neiif esta trente ; et ce rapport se conserve le même, soit pour les boil d'une espèce dilVérente , soit pour les bois de différentes dimensions (i).

(i) Depuis la publication de ce Mémoire j'ai déauwtw théorique ment que le rapport de cm flèches ou descensioM est celui de 5*8, qui ne diirére guère plus d'un centième^ la valeur approximative que lu'avail donoée reipcrienCf. ,

sscensioM ntièaiede 1 [pcrienCf. J

4oi

Si donc on prend pour unité le poids d'une pièce prismatique en doublant les trente dix-neu^ vièmes (ou plutôt les cinq huitièmes) de la flèche que présente cette pièce lorsqu'on la soutient ho« rizontalement par les deux bouts , on a la flèche qu elle présentera lorsqu'on la chargera d'un poids égal au sien, mais accumulé au milieu. Ce principe donne un moyen simple de peser, sans balances, les bois très-lourds et très -longs, pourvu que leur épaisseur soit constante.

On voit, par ce que nous venons de diigef qu'il sera toujours très-facile de considérer ua poids unique chargeant une pièce par son milieu comme un poids uniformément réparti le long de cette pièce, et réciproquement. Cette considération sera d'une fréquente utilité dans les arts.

J'ai déterminé enfin la flexion des pièces en fonction de la distance des appuis, et jai été conduit à ce résultat : Deux pièces cVcgaléquar^ rissage se plient suivant des arcs dont lesjlèches sont proportionnelles aux cubes des distances des appuis. ^

Lorsque je suis allé en Â.ng1eterre, le docteur Young, secrétaire de la Société royale de Londres, m'a fait voir qu'il .ëtaît parvenu le premier à ce résultat, publié dans ses leçons de philosophie naturelle, ouvrage plein de recherche^ neuves et profondes. Je l'aurais cité, si j'avais pa l'avoir

plus tôt entre mes mains.

Rappelons-nous d'ailleurs qu'entre les mêmes appuis, les flticlies sont réciproquement comme les cubes des épaisseurs,

En combinant ces deux principes avec cet autre que, pour des flexions peu considérables les flèches sont directement proportionnelles aus charges, on arrive à ce résultat singulier :

Deux pièces de bois étant semblables, c'est-àdire, ayant leurs dimensious bomologues proportionnelles, et étant d'ailleurs supposées de la mtme espèce; en les soutenant par leurs extrémités , les flèches des arcs qu'elles prendront, ea vertu de leur propre poids, seront directement proportionnelles aux quairés des longueurs de9j pièces. Par conséquent , quelle que soit la graiidew absolue de ces pièces ; elles prendronttontes un seul et même rajon de courbure. La' même chose aurait encore Heu, si Ion chargeait les pièces par des poids accumulés ou répards. mais proportionnels au poids même de ces, pièces.

Ce résultat parait être de nature à s'appliquer souvent dans les consiructions; car les édifices de même nature ont oïdiuairemenl touts leurs éléments proportionnels. Si donc nous voulons comparer deux vaisseaux semblablemenl construits, avec des matériaux demèmertalure, dont les dimensions pareilles soient ainsi pi-oportion-

Délies à celles mêmes de ces vaisseaux , nous eu concluerons que tare des vaisseaux, totues choses ^ales dailleurs , doit afoir un setd et même rajon de courbure, t^ueUe que soit leur grandeur absolue.

On doit maintenant voir clairement pourquoi les grands vaisseaux, indépendamment de toute autre cause, ont proportionnel Icment beaucoup plus d'arc que les petit'* navires : c'est que la flèclic de ces arcs suit la loi des quarrés des dinietisions principales du navire. Ainsi , dans le cas que nous avons de'jà cité d'un navire de soixante mètres qui prendrait un den?i-mètre de flèche, un petit navire d'un mètre de long, et semblable au premier, ne prendrait pour flèche de sou arc qu'un trois mille six centième de demimètre , au lieu d'un soixantième , simple rapport des longueurs.

Jusqu'ici , nous n'avons, en fonction du poids et de l'équarrissage , que Ja flèche de la courbe donnée par la flexion des bois, et la corde de cette courbe ou la distance des appuis. Après avoir attentivement examiné la figure offerte par cette courbe , et l'avoir rapportée , par la pensée, aux formes qui me sont le plus familières, j'ai jugé qu'elle devait très-peu différer d'uae hyperbole ; je i'ai supposée telle, et voici comitieut j'ai vérilié celte hypothèse.

J'ai pris une règle do sapin , dont la langueur excédait un peu deux mètres , et dont les autra dimensions étaient o~,i eto^fOi; je l'ai placée sur mes deux appuis, toujours éloignés de deux mètres l'uji de l'autre; je l'ai fait courber, ea chargeant sou milieu, de manière à présenter une flèclju de treize centimètres. Cette courbure est très-considérable; et j'ai voulu qu'elle fûttellei pour mieux observer les anomalies qui pourraient se présenter dans les relations Iiypotliétiques que je cherchais à confirmer ou à détruire.

Une ligne droite horizontale , servant de corde' à cet arc, et ayant par conséquent deux mètres m'a servi d'axe des abscisses. Je l'ai divisée en vingt pal ties égales. Par chaque point de division j'ai tracé une ordonnée verticale qui allait jusqu'à la courbe ; j'ai donc pu déterminer ainsi vingt-un points de cette courbe. J'avais pour plan de projection une planche pai'faitement aplanie, que j'appliquai verticalement le long de la règle pliée, et sur laquelle j'ai tracé la courbe, sa corde et ses coordonnées. Ensuite j'ai relevé, ayec tout le soin possible, les abscisses et les ordonnées de cette courbe. Afin de balancer les erreurs, j'ai pris la demi - somme des ordonnées symétriques , à droite et à gauche du milieu .

Pour déterminer mon hyperbole comparatrice, j'ai coDçu une ligne de ce genre , dont l'axe réel

■raît vertical , et dirige suivant ta flèclie àe l'arc istique; cette ligne d'ailleurs passant par les inq points suîvaiis : t°. le point milieu de l'arc; . et 3". les deux points d'appui ; 4"- et 5". les Ieux points qui correspondent au milieu de cha^ fae demi-corde , adroite et àgaucbcde la flèclie; t manitre que les cinq abscisses de ces points lient : — 1 "* ; — o,5 ; o j +o,5 ; + i '"*. A lîîde de ces données, rien n'est plus facile que B trouver rhuwrbole comparatrice; son e'qua- Kon se présente sous une forme extrêmement Empte.

, En rapprochant J'iiyperbole comparatrice et la burbe e'Iastique produite par la ri-gle pliée , nous nous sommes assure's que, pour les mêmes abscisses , les plus grandes difTérences des ordonue'es des deux courbes ne s'élèvent pas à scpl dixièmes de millimètre.

Dans ces difTérences, il fout toujours comprendre deux dixièmes de millimètre pour les erreurs qui ont pu être commises, en mesurant à vue d'œil de semblables lUxicmtis ; l'on conçoit alors que, sur une étendue de deux, mille millimètres, et pour une courbure de i5o millimètres, ne pas trouver sept dixièmes de roilUmèlrc pour les plus grandes différences , c'est une identité qu'il est rare de rencontrer, même dans les re'sultats que ta théorie démontre devoir être

les mêmes. Nous pouvons donc conclure premièrement que , quelle que soit la courbe élastique produite par la flexion des bois entre deux points d'appui, il est permis de la confondre avec l'hyperbole , sans crainte d'erreurs appréciables dans la pratique , même dans les calculs où les approximations seraient poussées assez loin.

Faisons voir maintenant pour quelle raison la courbe élastique approche si fort de se confondre avec l'hyperbole. Lorsqu'une règjp est pliée sur deux points d'appui , le long desquels elle peut glisser pour se mettre en équilibre avec les poids qui la chargent, il faut que l'effort produit au point d'appui par la tendance au Ledressemeut de la pièce , soit nul , ou ce qui revient au même, il faut qu'en ce point la courbure de la rèyle soit nulle , et par conséquent le rayon de courburo infini.

C'est parce que dans l'hyberbolc les rayons dfi courbure s'accroissent suivant une loi très-rapide, en s'éloignant du soramet,que l'hyperbolese trouve encore si voisine de la courbe élastique, même il des distances assez grandes de ce sommet.

Mais comme , à une distance finie du sommet, ^ le rayon de courbure de l'hyperbole ne deTient" pas infini ; on voit que , vers les appuis , la courlw élastique ayant moins de courbure que l'hyperbole, lui sert de corde et passe au-dessus. Donc

[près de ces appuis (et intérieurement ) les absœs de l'hjperbole doivent être les plus petites.

Best précisément à cela qu'il faut attribuer les fféreuces dont le maximum est, comme nous

||Tons dit plus baut, inférieur à sept diûèines de illimètre.

[ Je ne me suis pas borné à l'examen de la courbe "oduite par la flexion d'une seule ri-glc; j'ai plié iccessiveraent d'autres règles en sapin, en cliéne, I bètre; j'ai constamment trouvé les différences î l'hyperbole comparatrice à la courbe réelle

Itoindrcs de sept dixièmes de millimètre.

LJe dois faire remarquer un fait d'expérience ûment singulier. Si , au lieu de mettre la large à égale distance des appuis , on la rappro* e de l'un d'eus d'une quantité peu considérable,

Lcourbe élastique n'est plus symétrique par rapt à la verticale éqiiidistante des deux appuis.

I^anmoins, cette courbe se confond encore à s-peu près avec une hj-perbole ; mais celte by- ^bole, au lieu d'avoir un axe vertical et l'autre ^îzontal , se trouve rapportée à deux diamètres ojugués dont l'un est horizontal et l'autre oblit à l'horizon.

Q est visible cnefl'et que, dans cette hypothèse, p tensious de la règle, en chaque point d'appui, B doivent pas cesser d'être nulles; les rayons de urbure doivent donc être encore infiais ea ces

points de la règle ; et la courbe , cessant d'être symétrique avec la verticale , ne peut plus correspondre qu'à un arc d'hyperhole dont aucun axe ne soit vertical. Lorsqu'on suppose les abscisses borlzoutales, les ordonnées qui leur sont conjuguées ne peuvent donc plus être verticales j mais ces ordonnées appartiennent toujours à un système de diamètres conjugués, et voilà ce quo je voulais faire remarquer.

Après avoir considéré la courbe produite par une flexion unique , j'ai cherché à comparer les courbes qui résultent de flexions différentes. Ici fie présente une nouvelle série d'expériences, plus délicates peut-être que les précédentes, et dont j'exposerais la marche si je n'avais pas déjà dépassé les bornes que cette analyse doit avoir. Je me contenterai de dire qu'après avoir déterminé une courbe simple , ayant avec la véritable élastique un contact très-intime, j'ai supposé leurs rayons de courbure identiques au point qui leur est commun. Maison a de suite ce rayon au sommet de l'hyperbole ; on a donc aussi le niajoinuan de courbure de l'élastique pour une flèche donnée.

Je passe enfin à l'explication de la rupture dee bois. J'observe que les bois homofjèncs doivent rompre au point où leurs libres atlei{:;nent un certain degré conslant d'allongement ou de raccourcissement. Cette condition, combinée avec le»

principes escposés précddemment sur !a flexion des bois, me conduit à retrouver et à démontrer les diverses lois connues sur leur rupture*

Je viens de donner une idée de la première partie de mes recherclies ; l'autre est encore trop incomplète pour être présentée à la Classe, Je me suis occupé , dans cette seconde partie , de la flexion des bois, lorsqu'on les plie sur des surfaces données. On sait que c'est en pliant ainsi les bois , que nous recouvrons , par des bordages iVi'cxtérieur, et par des vaij^ies à l'intérieur, toute la membrure de nos vaisseaux.

Dans les ports du nord de l'Europe on chauffe les bordages , en les mettant dans des étuves; j'aî cherché à voir quelles altéi'atîons ce procédé produit sur la foi-ce des bois.

Je me suis ensuite occupé de ce que nous appelons des assemblages : ce sont les formes diverses par lesquelles nous joignons une pièce de bois à une autre. Je me suis proposé de déterminer la foice de ces assemblages , en appréciant soigneusement tout ce qui peut contribuer à leur bonté.

Enfin, je me suis occupé de la torsion des bois. Dès que ces élémens des machines sont sollicités par des forces qui ne concourent pas au même point, II y a tendance à la torsion; et, comme toute force produit son effet , il y a réellement

4io

torsion. C'est ainsi que des efforts trop puissanti) brisent les arbres des pressoirs et des moulios» Je me suis donc proposé de déterminer les force* de torsion , en fonction du diamètre des bois, de leur longueur et du temps, qui entre ici comme! un élément d'une puissance extraordinaire.

Si l'Institut voit ces recherches avec quelquq; intérêt, et pense que leur continuation puisse être utile, je m'appliquerai à les compléter, j'aurai l'honneur de soumettre au jugement de It Classe ce que de nouvelles observations m'aura^ appris.