DES CORPS FLOTTANTS

Premier Mëmoire d'applicatioDS de géomélric ;

Rapport sur ce Mémoire , fait à la première Classe de r Institut de France,

Par M. Carjsot.

M . Satté , M. Poinsot et moi , avons été cîiargéft par la Classe de lui rendre compte d'un Mémoire sur la stabilité des corps flottants, qui lui fiit présente', le I o janvier dernier (i 8 1 4)> p^r M. Charles Dupîn , capitaine en premier au corps du génie maritime, et aux travaux duquel la Classe a déjà plusieurs fois applaudi. Ce Mémoire même a été composé par un jeune oÛîuier qui s'attendait à cliaque moment à recevoir des oi-dres pour se rendre aux armées.

Le Mémoire de M. Dupin est la première application des méthodes exposées par le même auteur dans cinq autres Mémoires de géométrie, approuvés par la Classe, et publie's ensuite sous

le titre de Développements de géométrie, pour faire suite à la géométrie descriptive et à la gponiétrie analytique de M. Monge.

En voyant ces premières recherches , notre illustre Lagrange, dont les suffrages peuvent être regardés comme les plus beaux titres d'un jeune géomètre, a fait d'elles cet éloge, confirmé par le jugement de la Classe. « L'auteur a trouvé le » secret de dire des t:hoses neuves et intéressantes, t» sur un sujet que nous croyions épuisé. »

I-e nouveau sujet que M. Dupin s'est proposé . de traiter , dans le Mémoire dont nous avons à rendre compte , est plus diflicile encore que celui des Mémoires précédents , et semblait pareillement épuisé. La théorie de l'équilibre des corps flottants sur un fluide, a fait l'objet des recherches des plus grands géomètres. Archimède est le preraier qui s'en soit occupé ; et le livre où il traite cette matière , si peu abordable de son temps , est , avec raison , regardé comme un des écrits qui font le plus d'honneur à son génie. En n'employant que la méthode synthétique , Archimède recherche les conditions de l'équilibre des corps sphériques, cylindriques et paraboliques. Il détermine dans quel cas l'équilibre doit être stable et dans quel cas il ne doit pas l'être. En admirant la force d'esprit qu'exigeaient ces premiers résul* (3ts d'une science alors dans l'enfance , on ne peut

^22 s'empêcher d'avouer qu'une méthode qui doit , i chaque corps nouveau dont on s'occupe, i*ecouriï à de nouveaux moyens de solution^ ne soît d'une étude et d'uue application extrêmement pénibles.

M. Dupiii annonce que, dans un second Méi moire, il reprendra toutes les questions traî-t tées par Arc>iimède, pour les faire dériver, comme autant de corollaires , d'un seul et même print cipe : si cette partie est bien traitée, ce neser» pas la moins intéressante de son travail'.

Dix-neuf siècles se passèrent avant qu'on re-^ vînt aux questions traitées par Archimède , poup reculer de ce côté les bornes de la science. Deui^ géomètres t'entreprirent, pour ainsi dire, et^ même temps.

Bouguer, dans le voyage où il fut, avec La Con^ damine, mesurer sous l'équatcur un arc du mê' ridiyn, employait ses loisirsàcomposerk Traité du navire ,- taudis qu'Eukr, à Pétersbourg , écrivait son livre intitulé : Scientia iiavalis. Dans ce^ deux ouvrages , on voit la question de l'équilibre des corps flottants traitée sous un point de vue beaucoup plus général que ne l'avait fait Archimède. La seule restriction qu'on s'y permette encore est de regarder Its corps comme symétr^ ques par rapport à un pian. Tulle est, en effet, la ÎQTtae de nos vaisseaux de guerre oy de com*

raerce , ces grands corps flottants dont l'équilibre et hi stablUté sont d'une considéralion si importante,

Bouguer se rapprocha de la méthods des anciens; il présenta ses idées sons une forme géométrique ; il les rendit par là plus sensibles ; et les ingénieurs maritimes de toutes les nations adoptèrent sa manière de déterminer la stabilité des corps flottants. Euler n'abandonna pas sa méthode accoutumée, et parvint au même but par une analyse simple, élégante et facile.

M. Dupin suit uno marche différente de celle qu'avaient adoptée ces deux illustres géomètres j il emploie une géométrie qui n'était pas connue de leur lemps, et ce nouvel instrument le conduit à de nouveaux résultats.

Au lieu de se tenir toujours înRnîment près de chaque position d'équilibre, pour voir ainsi ce qui se passe autour d'elle, il considère à la fois toutes les positions qu'un corps peut prendre , en flottant sur un^méme fluide , lorsque ce corps est d'un poids constant et d'une foroae extérieure invariable.

Pour que le corps flottant soit en équilibre ^ il faut , commo on sait , que son centre de gravité soit sur la même verticale que le centre de volume de sa carène ; cette carène étant tenm-

née au nWeau du fluide par un plau horizontal qu'on appelle le plan dejloltaison.

Mais , le poids du corps étant suppose confitaiit, le volume de la carène l'est aussi. Si donc, par des transpositions dans l'intérieur, on fa^t prendre ayi centre de gi-avité du eorps flottant loutos les positions possibles, sans que la figure cxle'rîture de ce corps change, on va trouver^ pour ces diffe'rents états d'un même corps , une infinité de plans de flottaison ditTérenU, et une infinité de carènes diflerentes. Chacune Je ces carènes a son centre de volqnie eu un point particulier. Voilà , par conséquent , une infinité de centres de carène. Ils forment une surface : c'est la surface des centres de carène. Touts lei plans de flottaison sont tangents à une autre surface qui , par rapport à ces plans , est du gem^ de celles que M. Monge a nommées cm-eloppes : c'est la surface enveloppe des flottaisons.

On n'avait pas encore eu l'idée d'envisager ces deux surfaces, et c'est leur considération qui conduit M. Dupin, d'abord .t des théorèmes qui renferment touts ceux que l'on connaît déjà sur la stabilité des corps flottants , et ensuite à beaiiT coup d'autres théorèmes nouveaux.

L'auteur observe premièrement que la défini-». lion de la surface des centres de carène et celle (le l'enveloppe des flottaisons étant purement

géoni étriqués, la recherche des propriétés gé» nérales de ces surfaces doit appartenir uniquemeot à la science de l'étendue. I! s'occupe d'abord des propriétés de la première de ces surfaces , et la traite d'après les principes qu'il a exposés dans SCS Développements de gcomélrie : voici les résultats auxquels il parvient.

La surface des centres de carène est nécessairement d'une étendue finie; elle «st fermée de toutes paris. Quelle que soit la forme irrégulière du corps flottant, la surface des centres de carène est toujours continue (en ce sens que ses plans tangeiUs se succèdent constamment, par une dégradation insensible dans leurs directions, de manière à ne former ni angles ni arêtes sur la suriàce).

Si l'an place le corps flottant dans une positioii d'équilibre , le centre de sa carène sera en un certain point de la surface lieu des centres, et le plan tangent à la surface en ce point sera néces-t sairemcnt parallèle au plan de flottaison , c'estt a-dire horizontal.

De là résulte immédiatement cette autre propriété générale. « Dans une position d'équilibre quelconque, la droite menée par le centre de gravité du corps flottant et par le centre de carène, est normale, en ce dernier point, à la surlace des centres de carène. "

Ainsi , dès le principe , l'auteur ramène la recberche des positions d'équilibre d'un corps flottitnt, à la détermination des droites normales à la surface des centres de carène, en ne prenant, j>amù ces normales que celles qui passeut par le centre de gravité du corps.

II ne suffit pas de déterminer une position d'équilibre , il faut s'assurer de plus que cetle position est stable.

On voit des corps flottans que l'on cherche vainement à déranger de leur position primitive, De quelque côté qu'on les incline , iïs tendent toujours à se redresser. On en voit, au contraire qui , dès qu'on les dérange un ^eu de leur pre» mière position , de quelque coté qu'on les iucliue, s'inclinent encore davantage, et ne reviennenj plus à leur première assïète. EnCn on en voH d'autres qui , penchés d'un certain côté , tendeud à se redresser , tandis qu'en les penchant dans autre direction , ils s'écartent de plus en plus de 1^ position primitive. Dans le premier cas, on dîl , que l'équilibre est stable; dans le second, qu'il est absolument instable; et, dans le troisième que cet équilibre est miaule.

Or, rien n'est plus facile que d'assigner les tères de ces différents genres d'équilibre , en coosi' dérantia surface des centres de carène. Lorsqu'i inclùie très-peu le corps flottant ^ on peut co*

uevoir qu'il tourne autour d'un axe horizontal. Maintenant, par le centre de la carène qui correspond à la position d équilibre, concevons un plan perpendiculaire à cet axe ; ce plan sera vertical et coupera norraaletnent e» ee point la surface des centres de carène. Détei-minons , pour le même point , le centre de courbure de cette section ; il sera sur la même verticale que lu centre de gravité du corps flottant. Cela posé, i". s'il est au-dessus, l'équilibre est absolument itoWe; 2". s'il est au-dessous, l'équilibre est absolument instable; 5". s'ils se confondent, l'équilibre est mixte. Ainsi, ce centre de courbure joue, dans la théoiie de M. Dupin, le même rôle que le métacentre dans la théorie de Bouguer.

De ces principes résulte ce théorème nouveau et remai-quable ; suivant qite ta position d'un corps fiotlani est stable ou tion stable , la distance du centre de gravité de ce corps au centre de sa coirèneestun minimum ou wi VMcâtauTa par rapport à toutes les positions voisinçs que peut prendre te corps Jloltcmt.

En appliquant à ta stabilité les propriétés de la courbure des surfaces, l'auteur conclut d'abord que, si l'oit incline successivement autour dç toutslcs axes possibles, un corps en équilibre sur un fluide, i."la direction de la plus grande stajidité est celle ou l'axe est parallèle à la direction

lie la plus grande courbure de la sur^ce des centres de carène; a." la direction de la moindre stabilité est celle oii l'axe est parallèle à la direotiori de la moindre courbure de la même surface.

De là il suit immédiatement que les directions de plus grande et de moindre stabilité d'un corps flottant quelconque, se croisent toujours à angle droit.

Pour examiner les stabilités comprises entre CM deux extrêmes, M. Dupiii se sert encore de li surface des centres de carène; il a recours à II courbe iiuiicatricc et aux tangentes conjuguées iv^ cette surface. On peut voir, dans le rapport d* M. Poisson , sur les trois premiers Mémoires de M. Dupin , la définition de cette courbe et de ces tangentes, ainsi que l'exposition de leurs principales propriétés , faite avec autant de clarté que de précision.

Il nous suffitdedire que, si l'on coupe unesurface par un plan infiniment voisin de son plan langent et parallèle à ce plan , la section est une courbe du second degré , que M. Dupin appelle indicatrice , parce quelle indique en effet la forme de la surface , à partir du point où elle est touchée par le plan tangent que l'on considère. Les diamètres conjugués de cette indicatrice représentent autant de systèmes de tanj^enln conjuguées de cette surface.

Revenons à la suri'ac« des centres do carène. I EJle a partout ses deux courbures dii-igéeâ dans le Iméme sens : son indicatrice est donc constant- I ment une ellipse. Les axes de cette ellipse sont pa- I rallèles aux directions de plus grande et de mointdre stabilité du corps flottant.

Les degrés de stabilité du corps flottant sont

i IffOportionnels aux quarrc's des diamètres de l'inr

ïdicatricc , ces diamètres e'iaiit dirigés dans le sens

l'inclinaison du corps flottant.

Or, les diamètres d'une ellipse sont disposés

ictriquemcnt de côté et d'autre des deux axes ;

onc les stabilités intermédiaires sont aussi dîs-

lOsces symétriquement de côté et d'autre des

Fdeux directions de plus grande et de moindre

lïOabilité.

Si l'on appelle , avec M. Dupin, stabilités conjuguGCs, celles qui appartiennent à des inclinaisons répondant à deux diamètres conjugués de rindicalrice, enverra qu'elles jouissent de cette propriété générale : pour une même position d'équilibre, la somme de deujc stabilités conjuguées est nécessairement constante et égale à la somme de la plus grande et de la moindre stabilité du corps Jloltant.

Enfin M. Dupin, par le secours de la courbe indicatrice, détermine, dans les cas d'équilibre mixte , les limites qui séparent les érections oft

Véqu'ilîbrc est slable d'avec celles où il ne l'est pas.

Jusqu'ici , l'auteur supposait que la forme extérieure du corps flottant dût rester constamment la même ; il suppose ensuite que celte forme varie d'une manière très-générale; il s'assujettit seulement à laisser constantes les hauteurs des centres de gravité du corps et de sa carène, ainsi que la figure de la flottaison. Alors il examine les transformations infinies que peut éprouver la surface des centres de carène; il ramène ces transformations à cellerdont il a fait l'examen dans ses Développe', ments de géométrie. Il en conclut que les nouvel' les surfaces descentresde carène auront toutes uo contact , au moins de second ordre , avec la face primitive; et par conséquent, que tous les nouveaux corps flottants auxquels ces nouvelle» surfaces appartiennent ont la môme stabilité que le premier corps flottant. C'est ainsi que M. Dupin cherche a utiliser les principes qu'il a pré', sentes dans ses premiei's Mémoires.

Telles sont les principales propriétés de li surface des centres de carène. Après les avoi* développées, l'auteur considère spécialement U surface enveloppe des flottaisons et l'aire dechaqaâ flottaison.

Cette seconde surface est, comme la pren)ièr«f fermée de toutes paris ; elle présente aussi par* tout ses deux courbures dirige'es dans le

. Elles ont ensemble celle corréiation singu*

re, qu'elles ne peuvent jamais se couper ; tantôt

première embrasse comple'tement la secoude ;

t la seconde embrasse complètement la pre-

yaprès sa définition , l'enveloppe des flottaîs a pour plans tangents louts les plans de flot- 1. Or, le point de contact de l'enveloppe et s plans est le centre de gravité de l'aire de le flottaison (cette aire étant tcrmlne'e par Iperimètrè du corps flottant). Ce théorème rient, quant au fond, à celui qu'on doit ù de La- X, membre de l'ancienne académie des scîenb; Kuler en parle dans la préface de son traité , ffentia navalis.

. Dupin fait voir généralement que le plus pd et le plus petit rayon de courbure de la surfcdescentres sont respectivement égaux au plus ind et au plus petit moment d'inertie de l'aire de bttaison , divisé par le volume de la carène, telà, il conclut immédiatement que la di rection ï plus grande ou de la moindre stabilité du i flottant est parallèle à l'axe du plus grand I plus petit moment d'înerlie de l'aire de la [aison : théorème connu.

' une correspondance bien singulière, la trbure de la surface des centres de carène déd donc spécialement de la figure delà flottai-

Son; mais la courbure delà surface enveîc^ des flottaisons dépend de quaiitîte's plus com] nuées. Cependant, il est inlércssaiit de coona] les éléments de cette courbure ; ils indiquent du quelles directions les stabilités primitives croi senlou décroissent par les degrés les plus lents o les plus rapides, et peuvent montrer les état prochains de stabilité iï'un corps 6oltant dérang de sa position d'équilibre. Cette recherche peut être que d'un grand intérêt pour la thi de la construclion des vaisseaux.

Voici, à ce sujet, les résultats auxquels l'auteu parvient; ils s'offrent sous une forme singulière

Si l'on charge le contour de la floUaison pal lies poids proportionnels à la tangente de l'an^li Jormé parla verticale et la paroi du corps Jloi tant, les axes principaux du plus grand et d plus petit moment d'inertie de cette ligne pesant seivnt respectivement parallèles aux directions^ plus grande et de moindre cowbure de Vènvt foppe des flottaisons.

Et si l'on divise par la superficie de la flottaison deux fois ce plus grand ou ce plus petit moine» d'inertie, le quotient sera le ra^'on de moiiidi ou de plus grande courbure de la surface d* flottaisons.

Après s'être occupé de tout ce qui j>cut cano tériserune position d'équilibre, considérée ù

^ .nui ca a Cl.

lëment, M. Dupin considère à la fois toutes les positions dequilîbre que peut prendre un corps flottant dont la forme est invariable , ainsi que. son poids et la position de son centre de gravité.

Cette partie de son travail , quoiqu'elle ne paraisse pas devoir être aussi féconde que la première en conséquences utiles, semble peut-être plus originale , et par la généralité des résultats , et par la simplicité des moyens de solution.

D'après la théorie précédemment exposée , la rcchercbe de toutes les positions d'équilibre du corps flottant est ramenée à celle de toutes les droites que l'on peut , du centre de gravité de ce corpff , mener normalement à la surface des centres de carène.

L'auteur prouve d'abord que tout corpts solide , flottant sur un fluide, présente au moins deux positions d'équilibre. Tune dont la stabilité est absolue, l'autre dont l'iostabilité est pareillement absolue; principe qui n'avait pas'encore été démontre directement

Ensuite ce géomètre tait voir que le nombre des positions d'équilibre d'un corps flottant est généralement pair; et il prouve que le nombre des positions d'équilibre du premier genre est toujours égal au nombre des positions du second genre.

Et si l'on (ait tourner la surface des centres d

carène autour d'un axe quelconque mené par le centre de gravité du torps flottant; puis, qu'oo déleniiine la surlàce de révolution enveloppe de, l'espace parcouru par cette surface, en se dirigeant ensuite sur la courbe de contact de l'env»' loppe et de l'enveloppée , on rencontrera successivement touts les centres de carène qui appartiennent aux positions d'équilibre , et ces centres appartiendront alternativement à des positioni stable , instable ; stable , instable ; etc.

S'il y a des positions d'équilibre mixtes, iï faudra regarder chacuned'elles comme Ja réunioo de deux positions d'équilibre , l'une stable et l'autre instable; et l'on trouvera loujou*, en marchant sur la courbe de contact dont nous Tenons de parler , que les centres de carène qtû' correspondent à des positions d'équilibre, api partieunent alternativement à des posiùoni d'équilibre stable et instable.

Ce nouvel ouvrage de M, Dupin confirme les espérances que ce jeune savant a données par premiers travaux , et l'on ne peut qu'applaudir à ses efforts constants pour en diriger les résullati vers la pratique du grand art auquel il s'est voué. Nous pensons que le Mémoire de M. Dupin mérite l'approbation de la classe, et nous lui pro-

fkMons de le &ire comprendre dans ta collectida I 'des sayànu ëtafangers.

\. Signé Santé , Poinsot , et Camot rapporteur. <

[' . Le Secrétaire perpétuel pour les' sciences xxïà* f thématiques certifie que ce rapport est extrait K du procès verbal de la séance du mardi Sa ' août 1814.

Signé Delambre ,

* Chê^aùer de la légionrdhonmwr*

fcrdeau déterminé, que quand la pente de la route ne dépasse pas une certaine limite.

Si Ion veut que la quantité totale de forces , au lieu du temps, soit un minimum, le problème devient plus complique, II faut connaître pour chaque espèce de transport , la quantité de forces nécessaire pour parcourir une uuitc d'espace, avec un poids donné , depuis la descente la plus rapide , jusqu'à la montée la plus rude. On peut se demander ensuite quelle est, entre deux points fixés sur un terrain quelconque, la route qui demande le moins de force totale, d'après cette évaluation primitive.

ÎSous démontrons que, sur un plan, la route qui demande la moindre quantité de forces est toujours la ligne droite; et que, sur une surface dont toutes les pentes sont peu considérables, la ligne la pluscourte est toujours cellequi demande le moiuB de force totale pour aller d'un point à un autre.

Enfin , danslalroisième hypothèse qui est proprement le cas essentiel à la pratique , si l'on veut que le prix du transport soit un minimum, â faut voir comment ce prix est alloué.

Dans tous les travaux de l'architecture, civile ou militaire, dans les transports opérés sur terre parle commerce ou parla poste, etc. , leprixdu transport est proportionnel à la distance parcourue. Dans beaucoup de cas le prix est augmenté

d'une somme proportionnelle à la hauteur des montées. Si donc on parvient, par des considérations cjuelconques, à déterminer la position des points culminants et des points les plus bas des routes, il est évident qu'alors la hauteur de chaque montée est déterminée par ces points extrêmes» et par conséquent ausîi que le prix supplémentaire alloué pour celte montée est lîxé. It en serait de même des retenues qu'on pourrait opérer sur les descentes. Il ne reste donc plus de variable que le prix proportionnel à lalongueurdelaroute, et ce prix est un minimum quand la route est la pi us courte possible. Tel &stle pointdevuesouslequclnous allons envisager la théorie du tracé des routes.

Le cas le plus simple que puisse ot&ir cette théorie, est la recherche de la direction de la route la plus avantageuse pour aller d'un poiat, à un autre , sur un terrain donné.

Ce premier cas renferme, comme on voit, le tracé des rouies destinées à la circulation des hommes, des animaux , et des voitures conduites, par eux; dès qu'une foison a fixé le point de départ et le point d'arrivée.

On peut supposer, ensuite, qu'un Dornbre quelconque d'objets isolés doiventètre portés de la manière la plus avantageuse , en certains points pareillement isol^lb ^Qs qu'on ait attribué tel pcùot d'arrivée plutôt que tel autre à chacun de»

points de départ. On voit qu'ici non-seulemetil se présente la difTicutté de tracer chaque rout) entre des points extrêmes, mais qu'il faut avani tout déterminer le point d'arrivée qui doit correspondre à chaque point de départ. La question des roules ainsi posée forme l'ohjct de ce preraier travail.

Dans un second Mémoire, nous supposons que les points d'arrivée , d'un côté , les points de départ , de l'autre , forment une suite continue, ■ linéaire , superficielle ou solide : ce qui comprends tous les cas de la théorie des déblais et remblais.

Dans un troisième Mémoire , nous appliquons les résultats des deux précédents à la recherche des routes que suivent des faisceaux de rayons lumineux ou sonores, réfléchis par des miroirs ou des échos quelconques. Nous parvenons de lasorte à quelques vérités nouvelles sur la catoptriquc et l'acoustique; en même temps, cette application nous fait connaître d'autres propriétés des routes les plus avantageuses , dans les transports effectués par l'homme ou les animaux, sur nos roules ordinaires.

Revenons au tracé d'une route, entre deux pointsdonnés. Si nous n'avions égard qu'à l'étendue des espaces à parcourir, il est bien évident que la route la plus avantageu# serait toujours la ligne droite qui joint les deux points limites de

cet espace. Mais nous ne pouvons pas suivre une voie arbitraire et purement idéale ^ pour fran-* chir avec les fardeaux que nous déplaçons , Tintervalle qui sépare le lieu du départ du lieu de larrivée. Il faut marcher sur le sol , en suivre les inflexions , les détours , les irrégularités de toute espèce. Ce serait donc s'occuper d'une question cuneuse en elle-même, mais presque sans application , que d'envisager les routes comme étant toujours rectilignes. On peut, par celte hypothèse, être conduit à des vérités géométriques dun très-grand intérêt pour la science, mais sans utilité pour la pratique. Or, c'est vers ce dernier but que nous chei*chons sans cesse à diriger nos eflbrts.

M. Monge qui seul encore a tenté de soumettre à la géométrie, la recherche des routes les plus avantageuses , a très bien fait sentir la vérité de ces observations. Il les présente en terminant le beau Mémoire dans lequel il exposa pour la première fois la théorie de la courbure des surfaces , afin de l'appliquer immédiatement aux cas abstraits qu il se bornait à considérer dans les déblais et remblais des volumes.

cr La solution de ce problème , qu'il eût été trèsi> difficile de trouver, dit ce grand géomètre, » par les méthodes ordinaires des maximum >} et minimum , est très-^éloignée d être applica-r

u ble à la pratique ; tant a cause des difficollé» » que l'analyse peut présenter, que parce que » nous ne sommes pas dans l'-hypothèse de lana> » ture : en effet, dans le transport des terres, »i chaque molécule ne peut pas toujours suivre U » droite menée du point de départ au point dam- » vée ; on ne peut que !a traîner sur la surface d»' » terrain dont, àcaiisede la pesanteur , elledoit i> suivre toutes les sinuosités , surtout dans le seni >i vertical. Ces considérations, dit toujours 1' » leur que nous citons , nous auraient empêché' >t de traiter ce dernier cas ( celui du transport » d'une masse divisible en élémeuts iiifîniment ji petits ) , s'il ne nous eût pas fourni l'occasioa' H de publier quelques propriétés nouvelles et reji marquables des suHaccs courbes considérée» M en général. »

Je me propose spécialement d'étendre mes Intions aux cas dans lesquels les routes ne sau* raient être dirigées suivant la ligne droite mencA du point de départ au point d'arrivée. Cest h seul moyen par lequel je puisse ajouter quelqM chose aux travaux d'un grand maître.

J'appelle route elireitc la ligne la plus courte que l'on puissemener, d'un point a un autre, sur un terrain quelconque. Dans quelques cas, U route directe sera droite; dans un plus grand nombre de cas , elle sera en partie droite , en pai^

tie courbe , et plus souvent encore elle sera toutà-fait courbe.

Tant que les pentes du terrain seront peu considérables , la route directe sera toujours celle gui exigera la moindre dépense pour conduire un . Jardeau d'un point à un autre point , pris touts deux sur cette ligne.

Mais il faut , pour cela, que la pente du terrain n^acquière pas une rapidité telle que les transports ne puissent plus s y faire sans employer des hommes ou des animaux de renfort, pour traîner ou porter une charge donnée. Il vaudrait mieux alors suivre un chemin plus long que la route directe, mais qui n'offrit pasune pente aussi rude.

EAre les pentes très-douces, oii la route directe est la plus avantageuse , et les pentes trèsfortes f où elle ne Test pas , il doit exister une pente moyenne au-dessus de laquelle les routes directes cessent d'être les plus avantageuses et doivent par conséquent être abandonnées. Cette pente est la même quelle que soit l'inclinaison et la courbure du terrain.

Etd abord, puisqu'il existe une certaine pente audessous de laquelle il vaut mieux allonger les routes pour diminuer la grandeur de leur inclinaison , conclàons-en que les routes ne doivent en aucun de leurs points , présenter une pente plus forte (|ue cette limite.

Nous nommerons toujours route oblique la parue qui présente une pente limite consUmte.

Une route peut donc être entièrement directe; elle peut être, en partie directe, en partie oblique, ou mixte; enlin elle peut être totalement oblique.

Entre deux points donnes , on ne peut mener qu'une seule route directe; mais si ion peut entre ces potiits , tracer une route qui soît en tout ou en partie oblique , on peut tracer une inlinite d'autres routes semblables et non moins avantageuses , entre les mêmes points de départ et d'arrivée.

Toutes ces roules seront de vérilalJes he'lices tracées à la fois sur le terrain et sur des cylindres verticaux, dont les bases, limitées parles pfciections horizontales des points extrêmes, seront d'un même développement.

Sur une surface quelconque, les lignes d'^aUpente présentent deux systèmes es.senliellen»errt distincts; de sorte que deux de ces lignes se croiseut en chaque point, cl sont placées symétriquement par rapport à la ligne de plus grande pente. On peut donc , à cliaqne instant , passer de la route d'un système à la route de l'autre système , sans cesser de marcher suivant la dis rection la plus avantageuse.

11 suit de là que , dans le trace des routes ofali* ques, on peut iaire autant de retours ou zigzag!

que l'on veut, sans allonger pour cela la route.

Les chemins qui conduisent sur des montagnes rapides offrent presque touts de semblables zigasags, appelés lacets. Ils sont d autant plus mul^ tîpliés, que l'espace où Ton peut développer la route est plus resserré. Ils ont peu d'inconvénient pour les piétons , ils en ont plus pour les bêtes de somme y ils en ont beaucoup plus pour les hommes et les animaux qui traînent des voitures y parce qu à la .force tangentielle qui fait avancer dans le sens de la route y il faut ajouter une force de rotation y en pure perte pour le mou* vcment pix)gressif.

Afin deflectuer le changement de direction qu'exigent les zigzags de la route, il faut qu'à chaque point de déviation y les voitures et les animaux ou les hommes décrivent, en projection horizontale, un arc de cercle dont le rayon soit d'autant plus grand que la voiture et son attelage offirent plus d« longueur.

Nous donnons, ici, comparativement les caractères géométriques des routes obliques et des routes directes.

On doit voir combien il importe de détermiaer avec précision la limite commune des routes , obliques et directes , c'est-à-dire , la limite des pentes.

Cette détermination ne peut être faite que par

le secours de rexpérience. Elle ne doit p«a ctre la même pour des routes dont la deslinatioft n'est pas la même. Elle est la plus grande possible pour les chemins destinés seulement aoï i^ens de pied ; elle doit être un peu plus douce pour les bêtes de somme, et plus douce eacof pour les voitures.

Touts les pays de montagnes offrent des çtem* pies de cette différence remarquable. Très-souvent les piétons , les cavaliers, les voituriers ont leurs chemins séparés; le plus court pour les premiers, le moyen pour les seconds, le plus long pour les derniers.

Lorsqu'on a voulu percer des routes voiturables, à travers les pays de montagnes, on s'est guidé sur les sentiers tracés par ies chasseurs ou lei paysans. Ou a donc suivi presque toujours dei pentes beaucoup trop fortes pour les voitures.

Un des perfectionnements les plus importantt que nous ayons apportés aux routesilu Mont-Cé* nis , du Simplon , de Tarare , célèbres par les dif-^ ficultés et les dangers que présentait leur peatt trop rapide , a été de ramener cette pente aux limites qui convieiment le mieux aux transport» par voiture.

11 faut observer que la limite des pentes n' presque jamais la même pour la montée que pouÉ la descente. 11 est des animaux qui peuvent plu»

fiaicilement descendre que monter; il en est d'au-très qui peuvent plus fisicilement monter que des^ cendre. Les voitures pesantes qui vont habituellement au très-petit pas, ralentissent peu leur vitesse dans les montes, et l'accélèrent peu dans les descentes. Mais celles qui vont très-vite en plaine^ et qui pourtant sont très-chargées^ comme les diligences, vont très-doucement en montant ,■ et généralement vite en descendant. On conçoit que ces différences doivent en apporter dans la considération de la limite qu'il faut donner à la pente propre» soit aux montées, soit aux descentes.

Sur les routes destinées aux communications habituelles du commerce ou de la guerre, le nombre des voitures qui vont étant à très-peu près égal à celui des voitures qui viennent, il ne faut pas plus sacrifier les montées aux descentes que les descentes aux montées. Lorsqu'on connaît les deux limites, il faut prendre la moindre, pour terme des plus grandes pentes que Fou puisse donner à la route qu'on veut tracer.

Il n'en eSt pas ainsi dans les opérations où l'on doit tout transporter dans une direction et rien * dans la direction opposée. Lorsqu'il s'agit , par exemple , de faire passer une chaîne de montagnes à une armée et à son matériel ; on peut alors ùire usage fU deux limites dîffisrentes, l'une pour

les descentes et l'autre pour les montées. C'esi aussi , comme nous le verrons , ce qu'il faudrait l'aire dans les travaux de déblais et de remblais.

Nous nous proposons de résoudre les problèmes les plus intéressants que puisse offrir le tracé d'une route en partie directe, en partie oblique, lorsqu'on connaît le point de départ et le point d'arrivée. INous supposons la forme du terrain connue et définie par un nombre sullisant de courbes horizon taies.

IN'ous admettons successivement que la route soit composée de deux parties directes et d'une oblique ou de deux obliques et d'une directe. Tantôt la route est composée d'une partie directe et d'une partie oblique seulement. Tantôt de deux parties directes et d'une partie oblique, in-, termédiaire. Tantôt, enfin, de deux parties obliques et d'une directe qui la sépare. Nous traitons ces trois cas difierents. , Un problème plus compliqué que touts ceux . dont nous venons d'annoncer la solution est celui . où le point de départ et le point d'arrivée sonC séparés par une éminence plus élevée que tOQls les deux , ou par une vallée plus basse que l'on et l'autre. Aloi-s la route peut avoir jusqu'à trois parties directes séparées par deux obliques, oa trois parties obliques séparées par deux parties directes. C'est surtout pour le passage des gorges

de montagnes que ce problème oflre une fre'quente application. Dans ce cas, la question est considérablement simplifiée, parce qu'on (ixe ordinairement pour point intermédiaire de la route , ie point de la gorge oii le terrain est horizontal , et qui se trouve au plus liant de la route, mais tout-à-fait dans le fond de la gorge par rapport à la direction perpendiculaire à rettc roule. Le point culminant de la roule une fois donné, le problème est réduit aux cas pré- ' cédents.

Nous offrons le moyen de déterminer le point culminant par cette condition, que le prix alloué pour la longueur delà route, plus celui qu'on ajoute pour la hauteur à laquelle il faut monter, moins la retenue qu'on pourrait exercer pour la quantité dont ou descend, doit être un minimum.

On se tromperait si l'on croyait qu'on pût toujours se borner aux seules considérations géométriques sur la nature du terrain où l'on doit tracer des routes. Mille causes secondaires viennent déterminer le choix de telle direction générale, plutôt que de toute antre. Tantôt c'est le cours d'un torrent, d'une rivière , qu'il faut suivre ou qu'il faut éviter. Si le terrain oii devrait passer la route n'offre que des i-ochers trop difficiles à tra%'ailler; si le sol au contraire est ti'Op mobile; si des éboulements. des avalanches, peuvent cou-

Tiir et ruiner U route , il faut choisir de i Telles directions. Il faut encore avoir égard 1 d'autres causes physiques , telles que l'exposîtioa. solaire plus ou moins favorable , lelévatîoB générale plus ou moins grande , et la température habituelle qui en re'sutte. Souvent enfin descoi^ sidérations administratives ou militaires vienDent compliquer ces données par des conditions nouvelles. Il faut regarder toutes ces condiliom comme des limitations particulières imposées aU problème, s'en servir pour déterminer des points principaux , des directions générales, et tracer ensuite chaque pai-tie de route d'après les règld géométriques que nous avons indiquées.

Passons maintenant à la considération dtt routes qu'il faut suivre dans le transport combiné de plusieurs objets.

Lorqu'uoe route est tracée d'après les principes que nous avons établis , quels que soient li points assignés sur elle pour le départ et l'a vée , il faut toujours suivre cette route pour effectuer de l'un à Tautre , le plus avantageusement possible, un transport quelconque. En effelu la route jouit , dans chacune de ses pai-ties , de L propriété qui caractérise son entier, d'être 1 plus avantageuse de toutes celles que l'on pourrai tracer sur le terrain entre les mêmes points ^ départ et d'arrivée-

Mais s'il y avait plusieurs objets placés en des points de de'part sépares, pour être portés en d'autres points <]U) ne hissent pas sur une même route , le problème pourrait devenir plus compliqué. On pourrait , sans assigner à chaque point de départ tel point d'arrivée plutôt que tel autre, demander seulement que la somme des routes soit un minimum. C'est ce qu'il faudra faire, par exemple , lorsqu'il s'agira d'objets exactement pareils à transporter par les mêmes moyens , et suivant un oixlre quelconque.

Alors, en supposant que m soit le nombre des objets à transporter, m étant aussi Je nombre des points distincts de départ et d'arrivée , le nombre total des routes isolément les plus avantageuses est m^ ; et le nombre des combinaisons possibles de ces routes pour transporter les m objets, est égal au produit des nombres naturels, depuis un jusqu'à m. C'est donc parmi toutes ces combinaisons qu'il &ut cberclier le meilleur système possible.

Lorsqu'on a seulement deux objets 3 transporter, le produit de un par deux étant deux , il n'y a que deux systèmes de roules à comparer.

?Jous montrons, dans chaque cas, quel est lesystème le plus avantageux. Nousfaisons voir que celui dans lequel deux routes directes se croisent n'est jamais le meilleur possible : d'où nous concluons

ce théorème général , que dans tout système , le plus avantageux, dtin nombre quelconque de ni^ tes , jamais deitx parties directes ne doivent s9 croiser entre leurs extrémités : leurs seuls prola» gements peuvent se rencontrer.

De même, aussi, jamais une rouie oblique saurait croiser une route directe sous un anglt Jini : (7 faut qu'elles se raccordent tangentieit^ ment. Mais deux routes obliques peuvent se croh ser sous un angle fini , dans le meillear Systems de routes comme dans tout autre.

^ous démontrons enfin que , pour joindre deux points de départ à deux points d'arrivée, le systè* me qui présentera deux routes obliques sera toujours plus avantageux que celui qui présenterait une route directe et l'aulre oblique. Mais si les deux systèmes sont composés de roules obliques, l'un n'est pas plus avantageux que l'autre.

Passons en6n au cas général , où l'on compte m objets à transporter de m points, en m autres points isolés. En les combinant deux â deux, on peut déterminer les meilleurs systèmei partiels dont se compose le meilleur système général.

11 est un cas où l'on peut parvenir à la détermination de ce système d'une manière bien plus di; recte et bien pius'facile.

Si l'oD tracetoutes les routes qui peuvent joindre chaque point de départ à touts les points d'arrivée, l'espace traversé par ces lignes sera terminé par un certain polygone formé de ces lignes entières ou d'une partie de ces lignes. Si donc, sur le périmètre de ce polygone, on rencontre successivement, i". touts les points de départ^ 2°. touts les points d'arrivée , il y aura un système de routes plus avantageux que touts les autres, et déterminable immédiatement.

Si l'on part du premier des points de départ j lequel est contigu , sur le polygone , au dernier des points d'arrivée ; puis, qu'on preilne ensemble le second point de départ et l'avant - dernier point d'arrivée , le troisième point de départ et l'antépéaultième point d'arrivée , etc. , les routes qui joindront ces points, ainsi combinés deux à deux , seront celles du système le plus avantageux.

Le cas que nous venons d'examiner est, trèsbeureusement , celui qui s'offre le plus souvent dans la pratique. Presque toujours les points de départ sont d'un côté , les points d'arrivée de l'autre ; et l'on peut facilement résoudre le problème général que présente la recherche du meilleur système d'un nombre quelconque de routes iso> lées.

i terminons ce Mémoire par des conons assez e'tendues sur les routes suivies fantassins, la cavalerie, l'artillerie elles ;es , dans les opérations militaires et dans les «larches.