ANALYSE

Lue à la première Classe de Tlnstitut de France , vers la

fin de i8i5.

doMtfE notre premier Mémoire sur le tracé des routes avait pour but d'exposer les principes d'une théorie immédiatement applicable à la pratique, nous ayons mis touts nos soins à présenter sous la forme la plus élémentaire nos considérations fondamentales et nos principaux moyens de solution. Nous avons rattaché ces généralités à des exemples nombreux , pour rendre nos idées plus sensibles encore , et leur donner quelque chose de l'intérêt qu'on éprouve lorsqu'on voit des vé^ rites abstraites se rattacher naturellement à des fûts , à des opérations dont la loi nous était cachée.

En suppasaut d'abord que la surface du terrain

fut plane ; puis, qu'elle offrit une courbure quet<1 conque , nous avous détermine' , d'après le sjsifrl me actuel de nos transports par terre : premièrfr-J ment la roule la plus avantageuse pour aller d'u point à un autre ; secondement, le meilleur systM me de routes pour transporter en des points isolés plusieurs points mate'riels pareillement isolés avant leur départ. 11 nous reste à traiter le cas le plus difficile , c'est celui oii les objets à- transporter forment une masse continue avant et après le transport. Tels sont les problèmes que présentient presque toutes les opérations de déblais et de remblais.

Les matériaux à enlever, considérés da^s leur e et leur fieure , forment le déblai. Ces ma-

c'est celui où toutes les routes peuvent être en même temps des lignes droites.

Ici, comme dans notre premier Mémoire, nous supposons que les routes sont des lignes quelconques, droites ou courbes, suivant la nature du terrain , et déterminées seulement par la condition que les transports eflectués sur ces routes soient le moins coûteux possible.

Nous distinguons toujours dans les routes deux espèces bien dilVerentcs ; i". les routes directes^ qui sont les lignes les plus courtes qu'on puisse suivre pour aller d'un point à un autre , lorsqu'on ne rencontre pas des montées trop rudes ou des descentes trop rapides; 2''. les mutes oblitjues y dont la pente ascendanle ou descendante , mais toujours la même, est celle qu'il ne faut jamais dépasser dans les transports.

Pour avancer graduellement du simple au composé , nous admettons d'abord que toutes les routes sont directes; puis, en partie directes, en partie obliques ; et finalement, tout-à-fàit obliques. Dans le même esprit , nous traitons successivement du ' transport d'une ligne matérielle, ensuite d'une aire matérielle , et enfi n d'un volume quelconque.

On peut olh-ir des exemptes du premier genre de transports, en supposant qu'il faille déplacer

le rangée continue de gabions ou de fascines f

lur former ailleurs une semblable rangée , ott I

qu'il feillc excaver un fossé très-peu large et treR-peu profond, pour en porter la terre dans un autre fossé du même genre.

Nous présentons la solution générale de ce premier cas, et nous arrivons à ce résultat remarquable : Lorst/uil faut déblayer une ligne nio/érielle , pour former ailleurs une. Tiouvelle ligne matérielle , il y a des points du déblai desquek il ne part qu'une seule route ; il y en a d'autres desquels il part deux routes à la /ois. Les routes uniques sont groupées ensemble , les doubles ro» tes forment un auUe groupe , et, dans ce dentier groupe, deux routes qui partent du même point ^ y formerU. le même angle avec la ligne matérielle qu'on déblaie.

Nous passons ensuite au transport des matérielles définies par des courbes arbitraires des terrains quelconques.

On a l'exemple de ce genre de déblais et dt remblais , lorsqu'il s'agit d'enlever le gazon d'une prairie , pour en revêtir des ouvrages de fortîGcation ; lorsqu'on veut dépaver ou désabler une superficie quelconque, pour repaver, resabler one autre superficie , etc. Alors , en supposant au déblai la même épaisseur qu'au remblai , il faut évidemment faire abstraction de cette épaisseur pour ne considérer que la supeificiia de>^ matériaux à transporter.

Si les épaisseurs du déblai et du remblai ne sont plus supposées les mêmes, les superficies conipt-ises , par des routes consécutives , dans le délai et dans le remblai .seront en raison inverse de ces épaisseurs. Mais cette seule condition nouvelle observée , les relations que nous établissons entre les routes pour le transport des aires , subsistent dans toute leur généralité-

Lorsqu'on doit déblayer une aîre, comme lorsqu'on doit déblayer uue ligne matérielle, on trouve qu'il est des points desquels îl ne part qu une seule route , et des points desquels il part à la fois deux routes différentes. Ces derniers points forment une courbe qui, dans l'intérieur du déblai , sépare deux groupes de routes essentiellement distincts; mais les deux groupes ne soiit plus distincts dans le remblai , où toutes les routes se succèdent sans solution de continuité.

M-. Monge, dans son Mémoire sur les déblais et les remblais, après avoir donné le moyen de déterminer la direction des routes et le prix du transport des aires planes, observe qu'il est un cas où la solution ne peut plus s'appliquer : c'est celui que nous venons d'indiquer, et que nouscroyons avoir traité d'une manière complète.

(( Dansée cas, dit-il, la solution précédente est » illusoire, i°. Elle ne donne pas le minimum *i du prix du transport, parce que les roules àe

» quelques molécules se coupent entre leurs ex- H trémités. a". Elle ne donnepas le transporttotal, » parce qu'alors certaines moleculesdoiventèlre u transportées deux fois, taudis qu'il n'y a point » de transport indiqué pour d'autres molécules. » Dans ce cas, pour résoudre la question, il )> faut diviser le déblai en deux parties par une M courbe , et le remblai eu deux parties par une » autre courbe; et chercber quelles doivent être » ces deux courbes , pour que les deux parties du u déblai étant transportées séparément, par la » métbode précédente, sur les deux parties cor* M respondantes du remblai , la somme des pny M duitsdes molécules par les espaces parcourus M soit un minimum : question qui est de nature u à être traitée par les maxima et les mluiiua ti des formules indéfinies.

Nous observons que le célèbre géomètre auquel nous empruntons ce passage , semble croire à la nécessité de deux courbes séparatrices, l'une tracée dans i'alre plane du déblai, l'autre daos l'aire plane du remblai. Cependant, d'après ce que nous avons démontré , ou doit cotulure qu'en général une seule courbe doit suffire. U y a plus, si les routes étaient séparées par deux courbes, une dans le déblai, l'autre daiisle remblai, ces deux courbes ne se cori'espondraient pas ; elles ae sépareraient pas des parties de même superficie;

et ces deux courbes séparatrices ne seraient pas décrites par le même mouvement continu.

Nous passons enllii au cas te plus diOtcile et le plus compliqué de la théorie des routes; et nous nous proposons de déblayer, par éléments infiniment petits une masse quelconque à trois dimensions.

Ici , la surface du terrain n'est plus la même avant et après le transport , puisque la masse qu'on porte parportioiis, faitelle-mèmepartiedu terrain . A chaque nouvelle charge qu'on 6te au déblai pour l'ajouter au remblai , la i^urface du terrain varie doue. Pour obtenir le meilleur système de routes , il faut que ce changement progressif du terrain s'opère de la manière la plus avantagense; .or, c'est évidemment ce qui aura lieu, si l'on taille si bien le déblai , et si l'on remplit si biea le remblai, que les voitures aillent toujours en ligne droite tant qu'on n'est pas sorti du déblai, et dès qu'on est entré dans le remblai.

Les parties droitt-s sont les tangentes des parties courbes qui occupent l'intervalle entre le déblai et le remblai. Les parties droites sont les normales d'une même surface. Les parties cour-, bes sont autant de centres de courbure de cette surface ; et toutes les propriétés générales que nous avons exposées sur les courbures des surfaces dans nos Développements de géométrie \ienuent

icnt cette théorie peut nous conduire k

' elles propriétés des roules dans Jes déblais

le mblaîs. Tel est le double objet de notre

le Mémoire (i), dont nous remettonj

d'indiquer dans une autre séance les principaux

résultats, pour ne pas abuser de l'indulgence de

la Classe.

(i) Ce troitiènie Mémoire a e'té approuvé par l'Institut, , comme lés deux premiers. D'après un beau rapport ie . M. CaHchy, i! a été jugé dîgiie Ae faire partie de la collection des savants étranjçers, publia par l'acadéniif dw ■ciencn,