H.(Xdx + Y J y + Z Js
+ t'[(x — a)'+ (y — b)'+(z — c)*] + a ï'(ax + by)— const.
qui devient celle de la surface libre de la mer, en y substituant pour a, b, x , y, z, leurs valeurs en fonction de b„, x„, 2., et regardant ensuite les coordonnées x., y,, z„,
comme celle de la surface, à l’époque donnée. Cette équation doit être indépendante du temps; donc en la différentiant par rapport à t, et faisant la différentielle égale à zéro, on a encore une condition d’équilibre.
Cela posé, il est facile de voir que les trois premières conditions, qui se rapportent uniquement aux forces accélératrices X, Y, Z, sont satisfaites, quand ces forces sont, comme dans le cas dont il s'agit, les attractions mutuelles entre les molécules de la matière. En effet, soient x, y, z, les coordonnées d’une molécule ni de la terre ou de la mer, différente de la molécule m , dont les coordonnées sont x, v, z; la résultante des forces X', Y', Z', qui agissent sur la molécule m, en vertu de l’attraction mutuelle des deux
SUR LA MECANIQUE ip3
molécules m, m, est une fonction de la distance [(# — -.r)'
+ (y — y')" -t- ( z — z )’]‘ ; d’où il suit que non-seulement la formule X'S.z -t-Y'Sy-t- Z'âz est une différentielle exacte, mais encore qu’elle est indépendante du temps, puisque les distances respectives entfe les molécules de la terre et de la mer sont invariables dans l’hypothèse de l’équilibre relatif de la mer sur la terre ; en étendant ce raisonnement à toutes les molécules m", m"', etc., comparées à la molécule m, il en résulte que lès forces accélératrices totales X, Y, Z satisfont, comme nous l’avons dit, aux conditions de l’équilibre et que la formule 2( X & X+Yùy + ZSz) ne contient pas le temps. Il reste à examiner, dans l’équation de la surface libre de la mer , les termes qui sont multipliés par les quarrés des vitesses i, i de rotation, etndans lesquels le temps doit s’évanouir.
Le coefficient de i‘ devient , en mettant pour x-*-a, y — b, leurs valeurs, . . j
(K„ cos a + D cos. ti + A sin. ti )’ + ( K,, cos 6 -t E cos . tt-t-Bsin.fi/
-t- (K„ cos. y-t- F cos. ti -f- Csin.fi)’ — K.’:
or, on a ..ton' • 1
Dcos. b -t- Ecos.6 -t- Fcos. y = o,
Acos.fc -t-Bcos.ë + Ccos.y^o,
AD + BE + CF = o,
A’+ B , -t-C , a=p , + E‘+ F’— *;*■>;+ z.’— R.*; le coefficient se réduit donc a
• • « - j' ri v ri. • j* .«i:* • i . »! • ? »
■ a{x:+y:+z:)— aK.’; ,
et il est indépendant du temps. Celui de i'*est + b y);
<q4 3 ïv.UÉfttOIRES! ;!
en ledifiürejitiant pat rapport à t, et faisant la différentielle égale à zéro, il vient
lff I Kl. . i -K- I
. I ' I ^ dat ^ j . irf// 1 '>!,(« 11. '!
OOpr.i.lq f rX I (II. ; •e O ^:0'l|C' ltl'1
J* ) ' M ■ il f * * 1 >■ * • ) f J. , . î*i‘i ' i t ’
ou eh ni <t tant pour zyr, letirs valeurs et remarquant
m T : T », fSft! a (<? + * ), # feduit a rçro , ;
•••• I i; ri ami -i f .\ 1 1 , . i
, 1 «) «* *“ ■* cos - *).i,
eifoitihim /lia . Jtft ik^ x ’*~ a ï)r =z ^\t ..i •*
9H l%u;<‘peqrq , f • , .< , ,
(t n • J C&S. y ---- 1': — li'cos. ê] — £\r(iCOS,y O **’ COS. Ct] = 0:
esilqhliirii tu in»
OrkiefitleuK constantes b„, qui sont les valeurs initiales de «et de b, l’une peut être jsrise à volonté, pourvu que 1» somme des quariéi a‘„ t, b', sent égale au quarré R' du rayon de l'orbite supposée circulaire. En faisant b k — o, o.= R, les valeurs, de a, b, se réduisait à Rcos.tt, R siu. ti, et l'équation' precedente dévient,
cos. fi[jf(ï’cos. y — f”) — t’s cos. o]=sin. tt [ar(r cos.y — i) — ieoos.n],
o— - etc. I ^ ;»(.:•
laquelle devant avoir lipu quelque soit t, est équivalente aux deux équations ; r ' ( -I ' . 1 1 /.
• — r.v - 1 • ♦c<J«. 6 t i , lé i : 1 «cos.k !
i i cos. y — « ’ z icos. y — i
et celles-ci qui doivent laisser indéterminés les rapports des variables x, y, z, sorVt équivalentes à T
1 iéo». y=±: o, ■' éeos. Ssaitt,’ 1 1 j'cos.y 1 '
SUR LA MÉCANIQUE. iq5
On ne peut satisfaire à ces trois équations, dans le cas où les vitesses i et i ne sont pas nu lies, qu’en faisant cos. *=o, cos. ê=o, et *=t'7 ce qui suppose que les axes de rotation, fixe et mobile, sont parallèles, et que les vitesses angulaires sont égales.
Les deux mouvements simultanés du globe terrestre sont loin d’avoir entre eux les relations exprimées par ces conditions; d’où il suit que le fluide qui remplit les bassins de la mer et qui recouvre une partie de la surface de la terre, n’est pas en équilibre. La même remarque s’applique aux mo'uvements simultanés de chacune des planètes. A l’égard de la lune et des autres satellites, le problème de l’équilibre relatif des fluides à leur surface, serait incomplcttement résolu, si outre le mouvement du satellite sur son axe et le mouvement de l’axe autour de la planète principale, on n'introduisait encore dans les conditions de l’équilibre, le mouvement de la planète principale autour du soleil.
ARTICLE XV. — Problème.
Trouver les formules du mouvement des fluides compressibles et élastiques.
Solution.
Les fluides compressibles et élastiques diflèrent des fluides incompressibles, en ce que leur volume peut varier; mais la propriété qui les caractérise est qu’une force intérieure, nommée élasticité, fait continuellement effort pour les dilater dans tous les sens II résulte de cette élasticité, qui est
iç)6 MÉMOIRES
variable ou constante dans toute l’étendue d’une meme masse fluide, qu’un fluide élastique qui s’appuie sur une paroi , exerce sur tous les points de cette paroi des pressions normales proportionnelles à la force élastique, et qu’une portion quelconque d’une masse fluide, prise dans son intérieur et terminée par des surfaces planes ou courbes, éprouve sur tous les points de ces surfaces, de la part du fluide en* vironnant, îles pressions normales qui sont aussi proportionnelles n la force élastique en chaque point.
Cela posé, soit dans une masse fluide élastique, une molécule m, terminée par six plans, contigus deux-à-deux'et parallèles aux plans recta ngulaires des coordonnées : les forces qui agissent sur cette molécule sont i° les forces accélératrices X, Y, Z, supposées connues; a 0 les pressions exercées sur les faces de la molécule par le fluide environnant, dont l’élasticité \ est aussi connue en fonction des coordonnées x, y, s, de la molécule. Ces forcés donnent pour le mouvement et pour l’équilibre des fluides compressibles et élastiques, les formules
m -jp- — mX — à x S j S z
m ^? = mY - Sx Sjiz jy,
m =mZ — ix&r&z î- ,
rff J St
o = mX — îx îy iz y~,
«■ o — m Y — Sxî/$z|^, «
o = i»Z — iorjjîz ,
SUR LA MÉCANIQUE. ig 7
qui sont semblables en tout à celles des fluides incompressibles. Mais on peut dans le cas particulier où un fluide élastique n’a qu’une seule dimension, le considérer comme un système de molécules matérielles libres qui agissent les unes sur les autres, par une force de répulsion mutuelle entre les molécules voisines. C’est ce que nous allons faire dans les trois hypothèses suivantes.
I" Hypothèse, fig. 8. Des molécules matérielles t, a, 3 , 4 . 5 ,.... n — 1, n, n + 1 , etc. Disposées sur une droite verticales, étant soumises à la force de la gravité, qu’on suppose la même pour toutes les molécules et à une force de répulsion mutuelle, qui varie en raison inverse de la distance de deux molécules voisines , on demande les conditions de l’équilibre du système et la loi des intervalles respectifs entre toutes les molécules.
Soient 9 (n — 1), 9 (n) les intervalles entre les molécules qui occupent les rangs n — 1,« et n, n + i; h la distance à laquelle la répulsion de deux molécules voisines est égale à la gravité. La molécule m, qui tend à descendre -en vertu de la
gravité g et de la répulsion — , étant sollicitée à se
mouvoir dans une direction contraire, par la répulsion , la condition de son équilibre est
ou
L?(») ?(*— OJ
intégrant et déterminant la constante d’intégration de ma-
nière que 9(1), c’est-à-dire l’intervalle entre la première et la seconde molécule soit égale à b, il vient
formule qui donne l’intervalle entre deux molécules voisines; pour avoir la distance D entre les deux molécules qui occupent les rangs n, il faut intégrer le second membre de la formule entre ces limites : or n, ri étant supposés deux nombres entiers très-grands et dont la différence soit relati-
vement très-petite, l’intégrale 2^, prise entre les limites n ri, diffère extrêmement peu de log. en sorte que la dis-
tance D est égale à b log. (^) ! mais à cause de 9 («)= ^ ,
°» a s-^s^—r ) : =g n > ^ e+s-^z -)=e n '- Ies P re -
miers membres de ces deux équations représentent les forces qui sollicitent les molécules n, ri à descendre, ou ce qui revient au même les pressions que ces molécules exerceraient contre les obstacles qui s’opposeraient à leur mouvement. Soient P, P' ces pressions; leur rapport est égal à celui de n à ri. Donc
D=i log. (jr) :
cela posé, si en comparant le système des molécules matérielles i , a, 3,4 » à l’atmosphère terrestre, supposée en
repos, on substituait aux pressions P, P’ les hauteurs proportionnelles h, h' des colonnes du mercure, dans le baromètre, l’équation
D=Mog.(‘),
serait, à quelques corrections près, la formule qui sert à mesurer les hauteurs par le poids de l'air, et de ce que l’expérience a fait connaître que le module barométrique b est égal à 8000 mètres environ, quand les logarithmes de la formule sont népériens, on en conclurait que c’est à cette distance, que la répulsion des molécules de l’atmosphère est égale à la gravité.
II e Hypothèse. Le système des molécules matérielles 1 , 2, 3 , 4 u, etc., fig. 9, soumises aux mêmes formes accélé-
ratrices que dans la première hypothèse, est assujetti à rester sur une droite; mais cette droite se meut uniformément autour de l’un de scs points C, qui est aussi le point vers lequel se dirige la force de la gravité. On demande les conditions de l’équilibre relatif du système.
Le centre C de rotation étant pris pour l’origine des coordonnées x, y, z, de la molécule du rang quelconque «, si on nomme i la vitesse angulaire de la droite, l’équation de condition du mouvement de la molécule est
1 ysin.(»-M*) — acos.(« -1- fj)=a,
l’angle o>, indiquant la position initiale de la droite, ou son inclinaison sur l’axe des y. Si ensuite on décompose, parallèlement aux axes des x et des y, la gravité et les deux forces de répulsion , on trouve les formules du mouvement
^=- f sin.(u+ft)[i-*(^- ? ^)]-^cos.( w -t-rO,
îjg=^ g c oB .(»+ti) +!t sii ) .; w +rQ,
d’où on tire n ' • ", ‘
aoo MÉMOIRES
ddx . . ...
-^p-sin. (<* +<«)-»-
ddr , rf^COS.( U +
mais à cause du repos relatif de la molécule sur la droite mobile, on a, en nommant s sa distance au centre C,
Æ=jsin.(«-t- ti); y = s cos. (u + ti).
Différentiant x et y, sans faire varier s, et substituant les
valeurs de . dans la dernière équation , il vient
celle-ci
i — -=*f-r-r — -tWI,
qui est indépendante du temps et qui exprime la condition demandée de l’équilibre du système.
Pour déterminer la loi des intervalles entre les molécules, comme nous l’avons fait dans la première hypothèse, il faudrait intégrer cette équation dans laquelle s est une fonction inconnue de la variable n; mais en comparant encore le système des molécules «à la masse d’air qui enveloppe la terre à son équateur, et qui tourne avec elle, on peut considérer
le terme — , comme une quantité constante. En effet la distance s, qui est celle d’une molécule de l’atmosphère au centre de la terre, se compose du rayon R de la terre, égal à f> 366 i 95 mètres et de l’ordonnée verticale H de la molécule au*dessus de la surface de la terre, ordonnée qui varie entre zéro et 60000 mètres, hauteur présumée de l’atmo-
sphère : le minimum de ~ est donc ou en nombres
o, oo 3466 , et son maximum est — > ou 0,003499. Ces
SUR LA MECANIQUE. aoi
deux nombres diffèrent peu entre eux, et si on prend U
moyenne o, 008482 pour la substituer à —, on a d’abord
r- 0,003482= - ? -^rT) ) , dont l’intégrale est
déterminant ensuite la constante K , de manière que la condition de l’équilibre de la première molécule, exprimée par
o,gg 65 oi=^y soit sastifaite, ona K -t- r = 0,000000 1 , quantité tout-à-f’ait négligeable, et par conséquent
Il résulte de cette formule que l’état d’équilibre absolu de l’atmosphère, supposée en repos, diffère peu de son état d’équilibre relatif, dans l’hypothèse du seul mouvement diurne, commun à la terre et à l’atmosphère, et que l’effet de la force centrifuge des molécules de l’air se réduit à dilater les couches de l’atmosphère, sur toute sa hauteur et dans le rapport de 286 à 287. Il reste à examiner ^influence du mouvement annueL
III e Hypothèse, 6g. io. La droite sur laquelle les molécules matérielles sont assujéties à se mouvoir, tourne uniformément autour du point C , tandis que ce même point se meut aussi avec la vitesse angulaire i' sur une circonférence donnée , dont le centre est en C' et dont le rayon C C est égal à R': les antres données sont les mêmes que dans la
■joa MEMOIRES
dernière hypothèse, et on demande si le système peut être
en équilibre sur la droite mobile.
L’origine des coordonnées x,y, de la molécule qui occupe le rang n, étant en C', il est facile de voir qu’on a l’équation de condition
■r — R'sin. (tii'-f-r/ 1 ) sin. (co'-f- co-f-fj)
y — U' cos. ( w'-f- ti' ) cos. (co'-f- ’
dans laquelle <o' est l'inclinaison du rayon CC' sur l’axe des y, à l’époque £=o. On a aussi, comme dans le corollaire IV, de l’article IX, pour exprimer x et y en fonction de R' et de la distance s de la molécule au centre de rotation mobile C,
,r = R'sin.(V -+- ti') -t- jsin.(o'-f- « -+- £*), i y=Rsm.(w' -i-f* ) -+- ^cos.(ta -t- co -+- £t) j
cela posé, les formules du mouvement
^= (t cos.(«'+£ 0 -^sin.(»'+«-t-<i)[i-^(^r ) —
gcos.(fi +a+iî) [î— ? („-,))] ’
donnent
"^ ■ , -sin. (w ^ 7 cos. ( oj 4*w + ^) —
et en substituant pour l eurs valeurs prises sans
fàire varier s,
/ - si' -R7”cos.( tt + ti)=-g [ < - h -'^r 7 ))] :
SUR LA MECANIQUE. ao 3
cette équation, qui contient t, prouve que la distance s de la molécule n au centre de rotation C, varie avec le temps, ce qui est contraire à l’hypothèse de l’équilibre relatif. Le système ne peut donc pas être en équilibre relatif sur la droite mobile.
En appliquant cette conclusion à l'atmosphère , nous nous contenterons de remarquer que l’équation précédente peut être mise sous la forme
g — si ’ — R'i'’cos.(u -+- ti) = a
P étant la répulsion mutuelle de deux molécules dont la distance est a. Il est clair, par cette équation , que la gravité g, d’une molécule de l’atmosphère au-dessus de l’équateur, est diminuée par le mouvement diurne d’une quantité constante si' égale à o,oo 34 g, et quelle est augmentée ou diminuée par le mouvement annuel, d’une quantité périodique RY’ cos. (w +(i), égale, dans son maximum, à RY% ou à 0,0006 g ; l’augmentation a lieu pendant le jour, c’est-à-dire lorsque l’angle horaire du méridien, qui passe par la molécule, est plus grand qu’un angle droit ; la diminution à lieu pendant la nuit, lorsque l’angle horaire est moindre qu’un angle droit. Les molécules de l’atmosphère, situées hors du plan de l’équateur, éprouvent de semblables variatious dans la force qui les pousse vers le centre de la terre Mais la discussion des effets produits par ces variations diurnes de la gravité, soit dans les mouvements de l’atmosphère, soit dans ceux de la mer, n’est pas aussi facile que le calcul des modifications produites par ces mêmes variations dans le mouvement des pendules.
FIN DU P R RM IF. R VOI.UMF..
