X -»-**(/— b) + i'b— j£=o, rj S

on élimine X par des différentiations prises suivant i, on a les conditions

SX iY

ax èz

Yz îx ’

Jz ty'

auxquelles il faut joindre l’équation différentielle qui représente la surface formée par les molécules situées à la li/nite de la masse fluide , et qui exprime en même temps la condition de l’équilibre de ces molécules. On obtient cette équation en égalant à zéro la différentielle totale Sx, substituant à x, y, z leurs valeurs x„, y„, z„ et regardant ensuite ces dernières coordonnées comme celle de la surface. L’équation qui résulte de ces opérations est

X„ (Sar.cos. ti'+ Sj„sin. ti') + Y„(Sj„cos. ti' — Sx„sin. ti')

+ Z.Sz„-t- »*[(*. — a.) Sx„+ [y„ — b.)iy.]

-t- »'* [(«„ S x.-\-bJy.) cos. t(i'—i)+(a m $y—bjx a ) sin. <(»'—*)]= o.

Cela posé, les trois premières conditions expriment que la formule

XS.Z + Y Sy+ ZSz=o,

est une différentielle exacte. A l’égard de l’équation de la surface libre du fluide, il est clair que l’équilibre n’aurait pas lieu, si cette équation n’était pas indépendante du temps.

I er Corollaire. Soit un fluide pesant contenu dans un vase qui se meut uniformément autour d’un axe vertical , pendant que cet axe tourne aussi uniformément autour d’un axe fixe, parallèle au premier. En faisant X=o, Y=o, Z = — g, la valeur de XSx + Yiy + Z&z est — g$z, différentielle exacte ; on a ensuite l’équation de la surface libre du fluide,

g* z„=t' [(*„— a,)Zx, +• (j.— b,) $j„]

-l- i” [ (ajx„ + b, S y.) cos. t (t' — i ) -t- (a a Sy a — bjx„) sin. t(i' — il],

qui doit être indépendante du temps. Il faut donc que la vî-

tesse i soit nulle , ou que les deux vitesses i', i soient égales entre lies : dans le premier cas, il y a un seul axe de rotation qui est fixe, et l'équation de la surface est

zg(z.— C)=j*[(ar 0 — «„)• + (/.— £„)•];

dans, le second cas-, on a

équation qui, par la transposition de l'origine, devient en tout semblable à la première. 11 résulte de-là que, dans l’un et l’autre cas , la surface libre du fluide est un paraboloïde dé révolution autour de l’axe fixe ; les constantes d’intégration se déterminent par la condition que le volume du fluide est donné.

II e Corollaire. Le mouvement du globe terrestre, recouvert eu partie par la mer, se compose d’un mouvement de rotation sur son axe, et d’un mouvement de rotation de son axe , autour de l’axe de L'écliptique. En supposant que ces deux mouvements simultanés sont uniformes, et, en ayant égard au non parallélisme des axes de rotation , fixe et mobile, les conditions de l’équilibre de la mer se déterminent par les formules de cet article, combinées avec les formules du corollaire III de L’article IX.

Pour simplifier, nous supposerons que l’axe de rotation de la terre, qui est l’axe de rotation mobile, coupe le plan de l’écliptique, c’est-à-dire le plan des x,y sur une circonférence de cercle , ayant son centre à l’origine, et nous nommerons a, ê, y les angles que cet axe mobile, constamment parallèle à lui -même, fait avec les axes des coordonnées x , Y, z.

SUR LA MECANIQUE. igt

En conservant .les dénominations de cet article, les coordonnées a, b, du point d’intersection de l’axe mobile et du plan desa;,jy, sont données, comme ci-dessus, par les équations

a—a„ cos. tï + b° sin. tï, b—b„cos. tï — «„sin. tï ;

et en vertu de l’article cité, les ordonnées x,y, z d’une molécule de la mer, supposée en équilibre, sont données par les formules

dx — da=idt[(y — b) cos. y — zcos.6], dy — db=idt[zços.a — ( X — a)cos. y], d z =idt[(x — <z)cos-6 — ( y — £)eos.a];

d’où on conclut successivement

ddx — dda — — ïdï(x — a — K cos. a), ddy — ddb — — ïdf(y — b — K cos. 6), ddz = — i’dt’(z — K cos. y),

x—a -t- K, cos. a + D cos. ti + A sim. ti, y=?b +K.,cos. 6 -t-Ecos./f-f- Bsin.ïf, z =:K„cos. y + Fcos.îf + Csin. t i :

Les quantités K„ , A , B , C, D, E,F sont celles de l’article IX, corollaire III. Si on substitue les valeurs de ddx, ddy , ddz, dans les formules générales du mouvement des fluides, ce qui donne

X +t’(a: — a — K„cos. a) -H ï'n — j- = o,

Y 4- i'(j r — b — K. cos. 6) + i 1 ' b — = o ,

Z »'( z — K.cos.y) — = o ;

et si on élimine X, on a les équations de condition.

JX JY Jÿ = Tx’ jx __ jz T* — J* ’

JY JZ

dans lesquelles les termes multipliés par i‘, ï‘ se sont évanouis. Égalant ensuite à zéro la différentielle totale J*, ou plutôt prenant son intégrale X, on a 1 équation ,