PREMIER MÉMOIRE

Formules generales du mouvement de l équilibre d’un point matériel libre.

ARTICLE I er . — Définitions.

U n point materiel libre se meut en vertu des vitesses qui lui ont été' imprimées.

Lorsqu’une seule vitesse est imprimée à un point matériel libre, le point se meut dans la direction de la vitesse et parcourt des espaces égaux en temps égaux.

Les formules générales du mouvement d’un point matériel ont pour objet de faire connaître sa position , sa vitesse et sa direction après un temps donné. Les formules de l’équilibre /.

a MÉMOIRES

expriment les conditions qui ont lieu entre les vitesses imprimées , lorsque oes vitesses ne produisent pas de mouvement.

Les formules de l'équilibre sc déduisent des formules du mouvement, en supposant que, dans celles-ci, les quantités qui représentent le déplacement du point matériel sont égales à zéro, quel que soit le temps.

Les différentes circonstances dans lesquelles on peut demander les formules du mouvement et de l’équilibre d’un point matériel libre, sont comprises dans les quatre hypothèses suivantes :

i° Le point matériel se meut en vertu d'une vitesse imprimée unique ;

a° Le point matériel se meut en vertu d'un nombre quelconque de vitesses imprimées simultanément;

3° Le mouvement produit par une vitesse imprimée unique, ou par plusieurs vitesses imprimées simultanément, est modifié par de nouvelles vitesses imprimées au point matériel ;

4° Le mouvement du |>oint matériel est continuellement modifié par de nouvelles vitesses imprimées.

ARTICLE II. — Problème.

On demande les formules du mouvement d’un point matériel libre qui se meut en vertu d’une vitesse imprimée unique.

Solution.

Un point matériel libre qui se meut en vertu d'une vitesse imprimée unique, parcourant dans le sens de la vitesse des

SUR LA MÉCANIQUE, espaces égaux en temps égaux , les formules de son mouvement se réduisent à celles qui déterminent sa position après un temps quelconque.

Soit a, g, y, les angles que la direction de la vitesse fait avec les axes des coordonnées rectangulaires ; V, l’espace que le point parcourt dans cette direction pendant l’unité de temps ; a-, y, z, les coordonnées du point après le temps t; x a ,y c , z„, ses coordonnées à l’origine du mouvement lorsque le temps est exprimé par on a

x — x . =Vcos. * (J — * £„), y — y. =Vcos. g(f — f„),

Z — Z, =V COS. y (4 — f.),

Corollaire. Si on différentic ces équations par rapport aux variables x, y, z, il vient, en donnant à ces variables les valeurs qu’elles ont à l'origine du mouvement,

dx„ = Vcos. adt.,

dy. — V cos. g dt„,

dz, — V COS. y dt..

ARTICLE III. — Problème.

Des vitesses données, en nombre quelconque, étant imprimées simultanément à un point matériel libre , on demande les formules du mouvement et de l’équilibre.

Solution.

Soit V,V', etc., les vitesses imprimées. «, g, y ; a', g', y', etc., les angles que leurs directions font respectivement avec les

axes des coordonnées rectangulaires x, y, z, qui représentent la position du point après le temps t; x., y,, z,, les coordonnées du point à l’origine du mouvement , lorsque le temps est exprimé par t..

Les vitesses V, V', étant imprimées toutes ensemble et au même instant, le point se meut uniformément et en ligne droite, avec la vitesse et suivant la direction qu’il a prises dans ce même instant.

Soit VV cette vitesse; A, B, C, les angles que sa direction fait avec les axes des coordonnées ; les formules de l’article précédent donnent :

x — x. — W cos. A (# — £.), y — y. = W cos. B (f — r„), z — z. — Wcos. C (« — 1„);

et en différentiant à l’origine du mouvement,

dx. = W cos. A dt.,

dy. = VVcos. B dt.,

dz. — Wcos. C dt..

Cela posé, l’accroissement infiniment petit dx , de l’abcisse produit pendant l’instant dt ., par toutes les vitesse V, V’, etc., imprimées simultanément, est égal à la somme des accroissements V cos. n.dt.,\' cos. * .dt., etc., que chacune des vitesses V, V', etc., produirait, si elle était seule imprimée au point matériel ; on a donc

dx. = ( V cos. « +y cos. «'+ etc.) dt.; on a pareillement

djr.=(\ cos. g + V'cos. g' -4- etc.)<£<,, dz, — { Vcos. y + V'cos. y' - 4- etc .)dt„

égalant les deux valeurs de dx„ et celles de dy„ dz a , il vient

VV cos. A = V cos. « -4- V' cos. *' -4- etc.,

W cos. B = V cos. g - 4 - V' cos. g' + etc. ,

W cos. C = V cos. y V' cos. y 1 + etc. ,

et par conséquent

x — x, = (Vcos . a -4- V' cos. «' + etc.)(f — C„), y — Vcos. g -4- V'cos. g'-t- etc.) ( t — 1„), z — z„ =(V cos. y + V' cos. y'+ etc.) ( t — t .).

Ces six équations dans lesquelles les angles A, B, C, sont tels que la somme des carrés cos.’ A, cos.’ B, cos.’C, est égale à l’unité, déterminent la vitesse et la position du point après le temps quelconque t.

les conditions de l’équilibre ou du repos du point matériel, s’obtiennent en faisant x=x„y z—z., quel que soit le temps. Les formules de l’équilibre sont donc,

o = V cos. * -i- V' cos. a -4- etc., o = V cos. g + V' cos. g' -4- etc., o = V cos. y -4- V' cos. y’+ etc.

I er Corollaire. La vitesse W est la résultante des vitesses simultanées V, V', etc., que l’on nomme aussi vitesses composantes. Les équations

W cos. A = V cos. * -+- V' cos. « -t- etc.,

W cos. B = V cos. g -4- V' cos. g' -4- etc.,

W cos. C = V cos. y + V'cos. y' -4- etc.,

exprimant que la projection de la vitesse résultante sur chacun des axes des coordonnées, est égale à la somme des projections des vitesses composantes sur le même axe, il est facile d’en conclure la construction géométrique de la résultante.

Si à partir de la position initiale du point matériel , on construit le polygone des vitesses composantes, c’est-à-dire le polygone dont les côtés représentent , en grandeur et en direction, chacune des vitesses; si ensuite on joint le premier et le dernier point du polygone par une droite ; cette droite dont la projection sur chacun des axes est égale à la somme des projections des côtés du polygone sur le même axe, représentera la quantité et la direction de la résultante.

Dans le cas de deux vitesses imprimées, le périmètre du polygone sc réduit à deux côtés, et la vitesse résultante est représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses composantes.

TF Corollaire. Lorsque l’équilibre a lieu, les formules

o = V cos. * + "V' cos. a'-t- etc. , o = Vcos. ê + V' cos. 6'-t- etc., o = V cos. y -+- V' cos. y'+ etc.,

expriment que la somme des projections des vitesses imprimées V, V', etc. , sur chacun des axes, est nulle; le polygone construit avec les vitesses composantes est fermé, et la résultante est égale à zéro.

III e Corollaire. Si plusieurs vitesses V, V', etc., formant avec les axes des coordonnées rectangulaires, les angles «,

é, y> «1 ^ 1 y'i etc * ’ sont imprimées simultanément à un point matériel ; on peut, sans rien changer au mouvement du point, substituer à toutes ces vitesses une vitesse unique dont la valeur W et les angles de direction A , B , C , sont donnés par les équations

W cos. A =V cos. « -H V’cos. a + etc., ,

W cos. B = Vcos. ë ~h V'cos. ë'+ etc.,

Wcos. C = V cos. y -t- V'cos. y’-t- etc.

Cette opération se nomme la composition des vitesses.

Réciproquement on peut substituer à une vitesse unique W, faisant avec les axes des coordonnées les angles A , B , C, des vitesses simultanées en nombre quelconque, dont les valeurs V, V', etc, et les angles de direction «, 6, y; a, g’, y’, etc., satisfont aux dernières équations- Cette opération , inverse à la précédente , est la décomposition des vitesses.

Étant donnée une vitesse W et les angles A, B, C, de sa direction, si il s’agit de la décomposer en trois vitesses dirigées suivant les axes rectangulaires des coordonnées, il est facile de voir que le problème admet une seule solution et que les trois vitesses composantes sont les projections de la vitesse W sur chacun des axes, c’est-à-dire W cos. A sur l’axe des' x , W cos. B sur l’axe des y, W cos. C sur l’axe des z.

ARTICLE IV. - — Problème. . .

Le mouvement produit par une vitesse imprimée unique ou par plusieurs vitesses imprimées simultanément à un

point matériel libre , étant modifié par de nouvelles vitesses imprimées , on demande les formules du mouvement et de l’équilibre du point.

Solution.

Il résulte des formules de l’article précédent qu’un point matériel libre, auquel des vitesses en nombre quelconque ont été imprimées simultanément, se meut à chaque instant comme si toutes ces vitesses lui étaient imprimées dans ce même instant.

Cela posé, soit t' l’époque à laquelle le mouvement produit par la vitesse imprimée V, faisant avec les axes des coordonnées les angles «, g, y, est modifié par une nouvelle résultante imprimée V', faisant avec les axes des coordonnées les angles €', y' ; à compter de cette époque le mouvement du point matériel est produit par les vitesses simultanées V, V', ensorte que, si on nomme x, y , z , ses coordonnées à la même époque, W' sa vitesse constante; A', B', C’, les angles de sa direction avec chacun des axes des coordonnées , on a , comme dans l’article précédent ,

x — x' — W cos. A 1 ( t — f ’ ),

y y = W’ cos. B’ (f £’),

z — z=W'cos. C (t — *’), et

x — x' = (Vcos. a -+- V'cos. *’+ etc.) (t — t'),

y — y' = ( V COS. ë + V cos. 6’+ etc.) ( t O,

z — z' = (V cos . y + V' cos-y + etc.) (f — t').

Ces équations, dans lesquelles les facteurs de t — t’ sont les projections de la vitesse du point sur les axes des coor-

StJR LA MÉCANIQUE. 9

données, déterminent la direction et la position du point matériel, après un temps quelconque plus grand que t'.

En faisant x — x', y — y , z = z, quel que 6oit le temps, c’est-à-dire,

o — V cos. * h- V' cos.

o =Vcos. 6 -t- V' cos. 6’, o=Vcos. y -t- V’ cos. y' ,

011 a les formules de l’équilibre.

I er Corollaire. Supposons qu’à l'époque marquée par t”, les cordonnées du point matériel étant x", y 31 , z", une nouvelle résultante V" faisant avec les axes des coordonnées les .angles ê", y'", soit encore imprimée au point matériel; il suit de ce qui précède, qu’à compter de cette époque le mouvement du point sera représenté par les formules

x — x"— ( V cos. a -t- V'cos. a' + V"eos. a") ( t — <"),

.r— •/ — (V cos. 6 -t- V' cos. 6' 4- V" cos. €" ) ( t — t ") ,

2 — z"=(V cos. y -t-V'cos.y'+ V"cos.y") (t — f”),

dans lesquelles les facteurs de t — t" sont respectivement les projections de la vitesse du point sur chacun des axes des coordonnées x , y, z.

De même si aux époques marquées par t'", t", etc., de nouvelles vitesses V", V ,T , etc., ayant des directions représentées par les angles « y"'; y", etc., sont impri-

mées au point matériel dans les positions x'", y", z"; x", y", z", etc., les formules du mouvement du point, à compter de ces époques, seront :

IO

X — x" =(V COS.a-f-V'cOS. «' + V'coS.a'' + V"'cOS.a''')(f— f”'), y — y ’= (Vcos. € -t- V ' cos . ê ' -J- V ' 'cos. 6' ’ -t-V'”cos.é"')(t — t'”), z — z"'=(V cos.y4-Vcos.y' + V’cos.y" +V'"cos. r '")(t—ï”);

X — X"=(VcOS. a -h V" , COS.a"' + V”COS.a") (t — <”),

y — y=(Vcos. 64- V'"cos.6"’4-V"'cos.€"j (r — t"),

Z Z'"=(VcOS. y4- V’cOS.y ” 4- V"COS. y”) ( t £”),

les facteurs de t — t'", t — t", e'tant les projections de la vitesse du point sur les axes des coordonnées.

II e Corollaire. En différentiant , par rapport aux variables x,y, z, t, les formules du mouvement du point, entre deux époques consécutives t", t"', t ", auxquelles sa vitesse est modifiée par de nouvelles vitesses imprimées , il vient

— r -=Vcos.a + V'COS. a + V"cOS. a" 4- V'"cos. a'" H- V”COS. a’'-+ etc. ,

dt

— =Vcos. ê+V’cos. 6 ' 4 -V 'cos.6"4-V"'cos.€ "4-V ,, cos.6”4-etc. , — V COS. y=V cos. y 4- V'cos. y’ ’= V" 'cos. y" 4- V"cos- y" -t- etc. ;

d’où il suit qu’entre ces deux époques les expressions différentielles représentent les projections de la vi-

tesse du point matériel sur les axes des coordonnées x, y , z.

Cela posé, imaginons que chacun des intervalles t” — t', t"' — t ", t" — t'", etc., devenant plus petit qu’aucune durée finie , la vitesse du point matériel soit continuellement modifiée par de nouvelles vitesses imprimées; les trois dernières équations qui sont indépendantes des intervalles t" — f.

SUR LA MÉCANIQUE u

t'" — t" ,t ” — t"', ne cesseront pas d’avoir lieu, et par conséquent les projections de la vitesse instantanée du point matériel sur chacun des axes des coordonnées , à l'époque marquée par t, seront encore représentées par les expressions différentielles -r-, ‘-f ■

<it ’ dt ’ dt

ARTICLE V. — Problème.

On demande les formules du mouvement et de l’équilibre d’un point matériel libre, auquel de nouvelles vitesses sont continuellement imprimées pendant qu’il se meut.

Solution.

Soient x, y, z, les coordonnées du point matériel correspondantes au temps t , et ‘jj , les expressions des pro-

jections de sa vitesse sur chacun des axes des coordonnées.

Les vitesses imprimées au point matériel pendant qu’il se meut, se composent avec sa vitesse actuelle, et cette composition est telle, d’après le corollaire I er de l’article III, que la projection de la vitesse résultante, sur chacun des axes des coordonnées, est égale à la somme des projections de la vitesse actuelle et des vitesses imprimées simultanément. Les

projections ~p7> de la vitesse du point, reçoivent donc

pendant l'instant dt, des accroissements d(^^^,d

d > égaux respectivement à la somme des projections

sur les axes des x, y, z, des vitesses imprimées pendant le même temps.

ja MÉMOIRES

Or quelle que soit la loi suivant laquelle les vitesses imprimées varient , soit avec le temps , soit avec la position du point, ces vitesses sont constantes pendant le temps infiniment petit dt ; les sommes de leurs projections sont donc proportionnelles au temps, et, eri désignant ces sommes par \dt sur l’axe des x, par Y dt sur l'axe des y, par Z dt sur l’axe des z, Y, Y, Z, étant les sommes des vitesses supposées constantes imprimées pendaut le temps pris pour unité, on a pour les formules du mouvement d’un point matériel libre, dont la vitesse et la direction sont continuellement modifiées par de nouvelles vitesses imprimées,

d &i) = ' idt -

I" Corollaire. Ces formules suffisent non-seulement pour représenter toutes les circonstances du mouvement du point, lorsque les vitesses imprimées sont connues , mais encore pour déterminer la loi et la valeur des vitesses imprimées lorsque le mouvement du point est donné.

Dans le premier cas il faut intégrer deux fois chacune des équations différentielles ; les premières intégrales donnent

les vitesses instantanées^, parallèles aux axes des

coordonnées, par conséquent la vitesse absolue,

SUR LA MÉCANIQUE. i3

ainsi que les cosinus

dx d y d z

dj ' | dz') ! i' {dx'-\- dj-'-i dz'}';’ ( dx'+ dy'-\- rfa’)4 ’

des angles que la direction du point fait avec les axes des coordonnées x , y, z. Les secondes intégrales donnent ensuite les coordonnées du point , ce qui détermine sa position.

Dans le second cas, il faut supposer qu’on a en général trois équations entre les coordonnées du point et le temps. En différentiunt deux fois chacune de ces équations, il est facile d’en conclure les valeurs des différentielles premières

^dt ’ ~Tt ’ ~fi ’ et ce ^ es ^ cs différentielles secondes ^ ^ .

dt (Jft') ’ fit (Jiï') ’ f i u ‘ représentent les vitesses imprimées

X, Y, Z, lesquelles sont par conséquent données en fonction de x , y, z. Ces vitesses sont , comme nous l’avons dit , les sommes des vitesses imprimées nu point matériel, pendant le temps pris pour unité de mesure, en supposant que pendant ce temps les vitesses imprimées sont constantes.

II e Corollaire. Les vitesses X, Y, Z, sont nommées forces accélératrices, et on donne aux produit mX, m Y, tn Z, de ces vitesses par la masse m du point matériel, le nom de forces motrices. Il résulte de ces dénominations, que les forces accélératrices, ainsi que les forces motrices, se composent et se décomposent comme les vitesses imprimées; les forces accélératrices X , Y, Z , appliquées au point matériel m, sont donc les composantes, suivant les axes des

i4 MÉMOIRES

coordonnées x, y, z, de la résultante de toutes les forces accélératrices appliquées au même point.

III e Corollaire. Le mot force a dans l’usage ordinaire une signification différente de celle que nous lui attribuons ici. On désigne en général par ce mot la cause qui produit le mouvement ; cette cause réside soit dans les êtres animés, soit dans les corps en mouvement, soit dans quelques-unes des propriétés de la matière. C’est ainsi que l’on dit la force des animaux, la force du vent ou d’un courant, la force de l'affinité, de l’attraction, de l’élasticité. Mais la mécanique, c’està-dire la science mathématique du mouvement et de l’équilibre, ne considère les forces que dans leurs effets, qui sont les vitesses imprimées à des masses. Son objet est de définir et de mesurer, soit les mouvements qui résultent des vitesses imprimées, soit les vitesses imprimées, quand les mouvements sont connus ; l’équilibre est le cas particulier dans lequel les vitesses imprimées ne produisent pas de mouvement. Les idées de masses et de vitesses imprimées sont donc les seules notions préliminaires de la statique et de la dynamique, et c’est uniquement pour abréger des expressions qui reviennent très-souvent, que l’on donne à l'effet le nom de la cause, en nommant force accélératrice la vitesse imprimée à une masse, et force motrice le produit d’une masse par la vitesse qui lui est imprimée.