SECOND MEMOIRE

SUR

Formules générales du mouvement de l’équilibre d’un système quelconque.

ARTICLE I er . — Définitions.

Lorsque le mouvement d’un point matériel n’est pas libre, c’est-à-dire lorsqu’on ne peut pas supposer que ce point, après un temps donné, occupera un lieu donné de l’espace et s'y mouvra avec une vitesse et dans une direction données, les équations qui expriment les conditions auxquelles le mouvement du point matériel est assujetti, sont nommées équations de condition du mouvement du point. Mais si deux ou plusieurs points matériels sont tellement disposés que le mouvement des uns soit dépendant du mouvement des autres, ces points composent un système, et les équations de condition du mouvement du système sont celles

iti MÉMOIRES

qui expriment, soit la dépendance mutuelle des points, soit les conditions particulières à chacun d'eux.

ARTICLE II. — Lemme.

Les coordonnées des différents points matériels d'un système sont, avec le temps t, les seules variables qui peuvent entrer dans les équations de condition du mouvement du système,

Demonstra tion .

Supposons entre les quantités variables qui représentent le mouvement des différents points matériels du système , c’est-à-dire entre les coordonnées, les vitesses, les angles de direction et le temps, une équation qui contienne encore une variable s, indépendante îles premières. En donnant aux coordonnées, aux vitesses, aux angles de direction, et au temps, des valeurs quelconques, on peut prendre la variable j, telle que l’équation supposée soit satisfaite. Donc cette équation n’exprime aucune condition relative au mouvement du système, puisqu’elle n’empêche pas qu’après un temps donné, un point matériel du système ne puisse occuper un lieu donné de l’espace, et s’y mouvoir avec une vitesse et dans une direction donnée.

Au contraire , si une équation tic contient pas d’autres variables que les coordonnées, les vitesses, les angles de direction et le temps , on ne peut plus satisfaire à cette équation en donnant à chacune des variables une valeur quelconque, c’est-à-dire en supposant que tous les points du système se meuvent librement. L’équation dont il s'agit est donc une

équation de condition entre les quantités qui représentent le mouvement du système. Or, parmi ces quantités, les vitesses et les angles de direction sont des fonctions différentielles des coordonnées des points matériels. Donc les coordonnées des points matériels et le temps sont les seules variables qui peuvent entrer dans les équations de condition du mouvement du système.

ARTICLE III. — Lemnie.

Les équations de condition qui ne contiennent pas le temps, sont incapables de produire du mouvement. Au contraire celles qui contiennent le temps produisent ou peuvent produire du mouvement dans le système quelles représentent

Démonstration.

I er Cas. Les relations exprimées entre les coordonnées des différents points matériels d’un système, par des équations indépendantes du temps, sont satisfaites, soit que le système se meuve, soit qu’il reste en repos. Ces relations ne sont donc pas une cause de mouvement, et par conséquent elles sont incapables de produire par elles-mêmes du mouvement dans le système.

II* Cas. La quantité qui représente le temps dans les équations de condition étant continuellement variable , il * faut, pour satisfaire à ces conditions, que les autres quantités 1 3

i8 MÉMOIRES

qui y sont contenues et qui peuvent varier , c'est-à-dire les coordonnées des points tnatéricis du système , varient nvec le temps. Donc, si les forces accélératrices sont nulles, le système se rnefut en vertu des équations de condition ; Ut si les forces accélératrices , sans être nulles , sont insuffisantes pourtpic les équations de condition soient satisfaites, il y a encore du mouvement produit dans le Système indépendamment des forces accélératrices et en vertu des équations de condition.

ARTICLE IV. — Lemme.

Un point matériel faisant partie d’un système quelconque, se meut comme «n point libre, sollicité par les forces accélératrices qui lui sont -appliquées et par d’au tire s forces équivalentes aux équations de condition.

Démonstration.

Les équations du mouvement du point matériel x t y, z, seraient ,

d (£)= Xdt -

d (iï)= Vd ‘'

d dri) =zd '-

si ce point sollicité par les forces accélératrices X, Y, Z, était libre. Supposons , comme on peut toujours le faire , qu’en vertu des conditions du Système, on ait

rf (ï) = ( X + P )^’

d(%)=(V+Q)d', d(ÿï)={l + K)dt,

P,Q, R, étant des indéterminées. Ces équations qui, par hypothèse , sont celles du mouvement du point matériel, faisant partie du système, et mu par les forces accélératrices X, Y, Z, sont aussi celles du mouvement du même point supposé libre et mi par les forces accélératrices X+P, Y-+-Q, Z+ R. Donc un point matériel faisant partie d'un système, etc.

I er Corollaire. En multipliant ces équations respectivement par les vitesses , ^>^71 parallèles aux axes , les ajoutant ensemble et mettant pour

sa valeur

ou bien d u étant la vitesse absolue du point matériel x, y, z, on a

d ^ = \dx + Y(/y + Zdt + P dx + Qdy +Rdz.

multipliant ensuite par la masse m du point matériel et désignant par le signe 2 , mis avant plusieurs termes entre parenthèses , la somme de tous les termes semblables , correspon-

ao MÉMOIRES

dants aux différents points materiels du système, il vient

dï ^ ) = 2 ( ni X dx + m Y dy + m 7.dz)

+ î(mPrfi + m Q dy + »/R dz).

II* Corollaire. Ia's forces P, Q , R,- P’, etc. , substituées aux conditions du mouvement du système, sont en tout équivalentes à ces conditions. Ainsi elles détruisent ou elles produisent dans le système tous les mouvements qui sont détruits ou produits par les équations de condition; et de plus elles ne peuvent produire ni détruire aucun mouvement qui n’est pas produit ou détruit par les équations de condition.

ARTICLE V. — Théorème.

La formule 1 ( m P d x •+ m Q dy -t- m R dz ) , des forces équivalentes aux équations de condition , s’évanouit lorsque les équations de condition sont indépendantes du temps.

Démonstration .

Les équations de condition, dans lesquelles le temps n’entre pas, étant, par l’article III, incapables de produire du mouvement, les forces équivalentes à ces équations sont aussi incapables de produire dn mouvement. Or, en vertu de l’équation

dïÇ~“ j = X(rnS.dx + mY dy t- m7.dz)

+ î(mPdx + mQdy + ml\dz ),

de l’article precedent, il est clair que si la formule î(mPrf* -t mQdy + mRdz) ne s’évanouissait pas, elle ajouterait ou retrancherait quelque chose à la somme des produits des masses par les carrés des vitesses , et par conséquent les forces équivalentes aux équations de condition produiraient du mouvement. La formule 2 (ni P dx -+- mQdy + m R dz) s’évanouit donc en donnant aux différentielles dx, dy, dz, dx, etc., prises par rapport au temps, les valeurs relatives déterminées par les équations de condition.

1 er Corollaire. Lorsque les équations de condition contiennent le temps, la formule 2 ( ni Pdx -+- mQdy+ rnRdz) des forcer substituées aux équations de condition peut encore s’évanouir, mais seulement dans le cas où les équations de condition sont satisfaites par les mouvements que les forces accélératrices seules produisent dans le système. Dans tout autre cas, les équations de condition qui contiennent le temps , produisent du mouvement dans le système , et la formule 2(/rePfi?x + mQdy + rn Rdz) ne s’évanouit pas.

II e Corollaire. De la formule

2 { m P d x + m Q dy ■+- to R z ) = o , résulte l’équation de la conservation des forces vives

d 2 Ç ) = ï(mXrf;i; + mY dy + m Z d z ).

ARTICLE VI. — Problème.

Etant données les équations de condition d'un système, on demande l’expression de chacune des forces P, Q, R, appliquées au point matériel quelconque m et substituées aux équations de condition.

Solution.

I er Cas. I^es conditions du système sont indépendantes du temps ; soit L = o ; F = o ; G = o , etc. ; les équations de condition et

d L = o, d F = o, rfG = o, etc.

leurs différentielles prises par rapport aux coordonnées variables as, y, z; x , y , i! , etc., la formule

dx mQdy-\-

étant égale à zéro, lorsqu'on donne à dx, dy, dz; d x', etc. , leurs valeurs relatives déterminées par les équations de condition, doit nécessairement être de la forme

j*dL + yrfF-t-idG + etc.

ou en développant

rrfl. , d L , d L, d L , . 1

*{jï dx +7ï d r+T t dz+ 7ü da >*' eXc ' J’

+ T [£ £ dz + si dxf+ etc ] -

+ x [£ dx+ ÿr d r + £j z +£ dx ' +etc ]'

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SUR LA MÉCANIQUE. a3

P, y.îi, étant des indéterminées. Il suit de là que le coefficient m P de dx est représenté par

âL

* dx

dŸ , d G 1 d^ + y -dlc

-f- etc.,

que le coefficient rnQ de dy est représenté par

+ X rfj + etc ’

que le coefficient mK de dz est représenté par

^ dz

etc. ,

II e Cas. Les équations de condition dn système contiennent le temps.

Soit dh = o ou j~dx + dy + ^ j dz- 1 - etc. — dl = o,

dV — a ou ^ dx + ^djr- rfs-t- etc. — dt= o,

ip rfG j » rfG j rfG »

du = o ou ^ «uT-f- + dz+ etc. — dt=o,

les équations différentielles de condition. La formule + mQdy+rnRdz) serait égale à zéro, si les coefficients

différentiels ~ , ~ ^ , etc. , étaient nuis Cette formule a donc pour valeur

OQ bien

d F dG

-t- etc ,

es*»-

d L , dh ,

d y + di dz '

etc.

+ t[dï

dF , dF ,

dy + ^ dz + etc

| aG , «G » aG i

x U^ rf ‘ r ' + 'rf7 rfr + ^ rf2 + etc - J +etc -

I*, y,x, étant des indéterminées. D’où il suit, comme dans le premier cas, que le coefïicient m P de dx est représenté

par

dF 1 dx

dG d x

que le coefficient rnQ de dy est représenté par

d\. d F ^ dy 1 dy

xÿ

-f- etc..

que le coefficient mR de rfj est représenté par

</F rfG T rfl + X lu + etC ’

On trouvera dans le mémoire suivant plusieurs problèmes de mécanique , pour lesquels les équations de condition sont des fonctions du temps

ARTICLE VII. — Problème.

Étant données les forces accélératrices qui agissent à chaque instant sur les différents points matériels d’un système , ainsi que les équations de condition auxquelles le mouvement du

SUR LA MÉCANIQUE. a5

système est assujetti , on demande les formules du mouvement et celles de l’équilibre.

Solution.

En adoptant les dénominations des articles précédents et en substituant dans les équations de l’article 4i les valeurs des forces P, Q, R, etc. ; on a, pour les formules du mouvement

du point m ,

/ dx"

) = dt

etc. J,

mX +

^di +

X dï +

md\

( d y' \ dt ,

)—dt

d L ** dy

etc.],

) —dt

md\

kJÏ.

ij-

't-Tz

etc. J ,

et pour

ilil autre point quelconque

rri

•rfï'N

.dt)

= dt[

A dx'

+■ etc.J

etc.

Les formules de l’équilibre s’obtiennent en égalant à zéro le second membre de chacune des formules du mouvement. En effet, on exprime par là , que les forces accélératrices sont

telles qu’elles ne font pas varier les vitesses actuelles ,

des différents points matériels, ce qui est la définition générale des forces en équilibre. Les formules de l’équilibre sont donc,

V dL dF • m X + ( 1 7ï + ïZÏ + x

mY + f t 3J + ï<F

</G d x dG

-3 1- etc. — o ,

+ etc. = o .

„ dL dF dG

mZ + t l dï + r7ï + *dï + etc -

, v . . dL dF s dG

mX + + etc '

etc.

et elles donnent immédiatement, lorsque les équations de condition L = o, F=o, G=o, etc., sont indépendantes du temps

2 (mXdx + m\ dy + m Z dz) = o,

équation qui représente le principe des vitesses virtuelles.

Corollaire. Les formules du mouvement et celles de l’équilibre contiennent les indéterminées (*, y, X; mais en combinant ces formules avec les équations de condition d L = o , r/F = o , i/G = o,on a, dans le cas de l’équilibre , autant d’équations que d’inconnues, c’est-à-dire trois équations correspondantes aux trois coordonnées de chaque point matériel , et autant d’équations de condition que d’indéterminées u, y, X. On peut donc , après avoir éliminé ces indéterminées, trouver les valeurs des coordonnées x, y, z, de chaque point, ce qui détermine la position du Système et les conditions particulières de l’équilibre.

Dans le cas du mouvement , l’intégration des équations différentielles du second ordre introduit deux constantes dans chaque équation intégrale , par conséquent six constantes pour chaque point. Ces six constantes sont faciles à déter-

. 1 n « 1 . . dx dy dz 1

miner lorsque Ion connaît les trois vitesses 777» 777» de

chaque point, soit à l’origine du mouvement, soit à une époque quelconque , ainsi que les coordonnées x, y, z, qui représentent la position du point à la même époque. 11 est clair qu'on a alors, pour chaque point, six équations qui contiennent les six constantes d'intégration et qui donnent par conséquent leurs valeurs. Mais, dans la plupart des questions.de mécanique, on ne connaît immédiatement que les vitesses imprimées à l’origine du mouvement, ainsi que les coordonnées des points. Or, en vertu des équations de condition du système, les vitesses imprimées diffèrent des

vitesses initiales, c'est-à-dire de 3 vitesses (777^» ’

’ (ïr) » etc., avec lesquelles les points m, m\ etc.,

commencent à se mouvoir, et qui doivent servir à la détermination des constantes d’intégration. Il ne suffit donc pas, en général, de connaître les vitesses imprimées; il faut encore connaître les relations entre ces vitesses et les vitesses initiales, afin que, les premières étant données, les dernières le soient aussi. Tel est l’objet du problème énoncé dans l’article suivant.

ARTICLE VIII. — Problème.

Etant données les vitesses imprimées aux différents points matériels d’un système quelconque à l’origine du mouvement, ainsi que les conditions auxquelles le mouvement du système est assujetti , on demande les vitesses initiales de chaque point, suivant les directions des axes des coordonnées.

Solution.

Soient/?, q, r, les vitesses imprimées au point ni, à l’origine du mouvement, suivant les directions des axes des coordonnées x,y, z; et (^r) o , ( J) o > (^) o> les vitesses initiales du même point. Soient aussi p', q', r, les vitesses imprimées au point ni'et » (fjy) » (jjj) * s®* vitesses ini-

tiales.

Cela posé , lorsque les équations de condition ne contienrtent pas le temps, I er cas, et sont par conséquent incapables d’imprimer par elles-mêmes aucune vitesse aux différents points du système, les vitesses /?, q, r, etc., qui sont les seules vitesses imprimées à l’origine du mouvement, sont

composées des vitesses , (j£) , {jp t ) , qui subsistent, et

des vitesses/? (37)0’ ?-(£?)„« (£).« ^ 8ont

détruites. Donc les forces correspondantes à ces dernières vitesses, c’est-à-dire les forces

w [p - (£)„] : m [i-(jr\\ ; Wi v~7i ) .] ;

et les forces sembla blés, relatives à tous les points du système, considérées toutes ensemble, sont en équilibre. Substituant • ces valeurs dans les formules de lequilibre, art. VII, il vient

+ u - 7 — -b y — -4- X — + r d. r 1 d x dx

dL d¥ % dG

etc. = 0, (1) etc. = 0, (a)

SUR LA MÉCANIQUE, r f H z\ *1 dJL rfF </G .

m [ r ~\TtXl + 't-Tz + '(?l + x dï + iitc - — °'

,r , "I dh d F , dG . k //v

m [v-KirU + v-dï+uz+'dï + etc.=o, (4)

etc.

mettant ensuite les équations de condition rfL = o, dV = o, dG =o, sous la forme

d L fdx\ d L fdr\ dL / dz\ d L fdx'\ . .

5ï-C^?)o + d}‘ W. + ^A7ïl + 3^A'3rJo +ete -— °’ d JL.(i£\ + d -l.(i£\ +ï*.(*±\ + 4L.(Ù\ + etc — o

dx \dtj« dy \dtJo dz \dtJa dx> \dtJo W

dG fd x\ dG fdy\ dG fdz\ dG /dx‘\

7Z'\7t), + dï\tï) 0 + dï\Tt) a + 7?’(,‘rf7A +etc - =0 ’

et donnant aux variables x, y, z, x, y, z; etc., les valeurs quelles ont à l’origine du mouvement, on a autant d’équations de condition que d’inconnues (^ 7 ) , )„>

etc., ji, f , X, etc.; toutes ces équations réunies sont donc suffisantes pour la solution du problème. On voit de plus que les inconnues sont au premier degré , et que le problème n’est susceptible que d’une seule solution.

II e Cas. Les équations de condition contiennent le temps : soient , comme dans le premier ca s,p,'q, r, p , etc. , les vitesses imprimées aux différents points matériels m, m’, etc. , du système^ l’origne du mouvement; et ’C^f) ’Gïï) > etc - ■>

les vitesses initiales et inconnues des mêmes points. De quelque manière que les vitesses initiales soient dépendantes des

3o MEMOIRES

vitesses imprimées , on peut toujours supposer qu’on a pour

chaque point des équations de la forme

K, M, N, étant des indéterminées. Or en donnant la même forme aux équations du premier cas, les indéterminées K, M , N sont telles qu’on a

dy dy

ci z dz

et par conséquent

2 (Kdx + M dy N dz ) = o, •

La somme 2 étant prise relativement à tous les points du système. Donc, lorsque les équations de condition contiennent

le temps, ou lorsque les coefficients différentiels ’-jy, -jj ,

-jl > ne sont pas nuis , la somme précédente est de la tonne

d I. , dV * dù i *-Tt dt+ 'lTt dt+X j^dt + etc.,

laquelle , en vertu des équations de condition , revient à celle-ci,

SUR LA MÉCANIQUE. 3i

f dL , dL j dL , 1

*[ïZ dx +dï d y + -r* dz + tXC - J

[ dF , dF , dl J . 1

+ r [3;** + + + etc J

+ x \d^ dx+ dï' i ï + ^ dz + etc -\>

(i, y, x, étant des indéterminées. D’où il suit que ie coefficient K de dx est représenté par

d L dF dG ' r

' l dï + tdï + r dï + etc >

(jue le coefficient M de dy est représenté par

dl dF dG

que le coefficient N de rfz est représenté par

dl dF . dG

^d7 + 1dI + ^-dT + etc

On a donc, pour résoudre le problème, les mêmes équations que dans le premier cas, c’est-à-dire

dG , *

7I + etc. = o,

-jj -+- etc. = o ,

j 7 + etc. = o,

etc. .

et les équations de condition

dL fdx\ dh /dj-\ d L (dz\ dx \dt )a~^~ dj \dt)o dz \dt)o~* d F / dx\ d F ^dj'\ d F f dz\

dx W( )o~*~ ~iïÿ U(J» + ~dz \dt) a ~*~ dG fdx\ d G (djr\ dG ///z\

dx\dt) o"^ djr Vi/tjo"*" dz \dt)a~*~

e tc.— %dt.=o,

etc. — ^dt. = o,

> ai

etc. — ^dt„ = o. •

I er Corollaire. Il est facile de conclure de là, qu'en multipliant les équations i, a, 3, etc., par (^) # , (jQ o . (£)„,

respectivement, et les ajoutant ensemble, on a, dans le premier cas,

-lm

f dx

+ (jlt

équation qui se réduit , lorsque les vitesses imprimées sont milles, à

o = 2 mül, u

et dans le second cas

* m [p(^) o +l(TX +r (^ 0 ]

= 2 «ai + + T * + ï + e^.,

qui devient, dans la même hypothèse ,

rfL </F ^dG

0 = ^: + ^ + ^ + etc.

Donc, lorsque les vitesses imprimées à l’origine du mouvement sont nulles , les vitesses initiales sont nulles aussi , en supposant que les équations de condition ne contiennent pas

le temps. Mais si les équations de condition contiennent le temps, les vitesses initiales ne sont pas nulles, et il ÿ a dn mouvement produit dans le système, en vertu des équations de condition.

II e Corollaire. S'il s’agissait de déterminer les vitesses p, q, r,p', etc., imprimées aux points m, m', etc. du système, dans le cas où les vitesses initiales seraient données, ce problème, qui est l’inverse du précédent, se résoudrait par les formules de cet article.

III e Corollaire. Les mêmes formules donnent encore la solution du problème suivant.

Un système étant en repos dans une position d’équilibre, on demande quelles vitesses il faut imprimer aux différents points matériels qui le composent, pour que le système, commençant à se mouvoir, passe par une position déterminée, infiniment voisine de la position d’équilibre.

Si on joint par une droite un point quelconque du système dans la position d’équilibre et le même point dans la position déterminée , et si on fait la même opération pour tous les points du système, il est clair que toutes ces droites infiniment petites, parcourues par les différents points du système, dans le même temps que le système met à passer de la première position à la seconde , seront proportionnelles aux vitesses initiales qu’il faut imprimer à chaque point. Les rapports de ces vitesses sont donc connus; et, en se donnant à volonté l'une d’elles, ce qui ne change rien à l’état de la question, les vitesses initiales sont aussi données. Cela posé, on déterminera les vitesses imprimées par ce qui précède; et /. 5

de ce que les équations qui servent à trouver ces vitesses sont linéaires, on conclura qu’il est toujours possible d’imprimer au* différents points matériels d’un système en équilibre, des vitesses telles, que le système commençant à se mouvoir passera par une position donnée infiniment voisine de la position d’équilibre.

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