dja
en marquant par l'accent de la caractéristique \y que les fonctions schins doi-
PHILOSOPHIE. cxxiij vent être développées suivant le procédé d'exclusion des ternies superflus ou zéro , provenant de ce que fa = o , ainsi qu'il a été enseigné dans l' Errata annexé à notre Philosophie de l'Infini ; et en donnant toujours aux exposants 62, S3, 64? • • • , de la permutation desquels dépendent ces fonctions schins, leurs valeurs susdites (19)', savoir . . . (27)"
De cette manière , le développement présent (27)', en y appliquant le procédé d'exclusion des termes superflus, que nous venons de citer, constitue la loi de la réduction à leurs derniers termes des résultats qui entrent dans la solution du problème-universel. En effet, appliquai! I ce procédé d'exclusion , il viendra . . . (27) "
W[ d^~l\fa f~\ d\fa f~ ' ] =
= f~\faf-%.#{faf-1 - d\faf-\^-\faf-1 ,
- d»-\faf-\d\faf-\d»-\faf-1 -4- d\faf-\dV-\faf-\dV-\faf-1
— c/ (/a) .rf [fa) .d [fa) 5 etc., etc.;
et , substituant ces valeurs dans la formule (27)', cette formule présentera manifestement la loi de la réduction à leurs derniers éléments des résultats qui entrent dans la solution du problème -universel , car elle se trouvera donnée immédiatement par les différentielles distinctes des fonctions fa, fa, /2«5 fïa-> etc., qui sont les éléments dans l'expression (24) de ce problème - universel. Il est vrai que ces différentielles, dans la formule (27)', seront prises, d'une part, sur les puissances de la fonction fa , et de l'autre, sur la fonction <I>a , c'est-à-dire, sur le produit des fonctions f a , f%a , f$a, etc.; mais, dans ces deux produits, l'application de ce que nous nommons le polynôme des différentielles (Introd. à la Philos, des Mathém. , pages 4^> a 47)) CI11' esl Ulu> des circonstances immédiates de la loi fondamentale du Calcul différentiel , donne le développement de ces produits en différentielles immédiates des fonctions /à, et fa, f%a , fa , etc., de sorte que la formule (27) présente effectivement la solution de notre question moyennant ses derniers éléments.
Il ne nous reste qu'à rendre ce développement (27/ le plus simple pour les calculs numériques. — Pour cela , faisons d'une part . . . (28)
l'U.da9+l
XVj.
cxxiv REFORME DE LA
el de l'autre part . . . (28)'
p et xS étant des nombres entiers quelconques, y compris zéro. On verra facilement que ces quantités ne sont rien autre que les coefficients dans les développements de ces fonctions , procédant par rapport aux puissances progressives de (.r — a) , savoir, dans . . . (28)"
{fPx-fnX'frX • « • d$x)
- = 30 + Zt.(x — a) -H ■a.(x-a) -+-
dx
%3.{x — a) -f- etc., etc.;
fa =/[i][°]+/[I][l].(o:-a) +/[x][2].(^-«)2+/[I][3].(^a)3 + etc.,
ÇA')2 =/WH + /[>]".(*-«) +/[2]W.(^-a)2 + /[2][3].(.r-a)3 + etc.,
CA / = /[3]W + /[3]W • (* - a) + /[3] [2] . (* - «)2 + /[3][3] . (* - af + etc., etc. , etc.
Or, ce sont précisément ces quantités (28) et (28)' qui entrent dans la loi (27)' dont il est question. Ainsi, en y substituant ces quantités, cette loi recevra l'expression très-simple . . . (29)
