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et en général , pour un indice quelconque (/. . (24) "

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Telle est littéralement la résolution générale du problème-universel que , sans démonstration, nous avons déjà fait connaître en 1812 dans la Réfutation de la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange (pages 3o et 3i). La déduction algorithmique ou la démonstration de cette grande solution , que nous venons ici de donner, en laissera enfin apercevoir le véritable esprit ; et la déduction architectonique ou philosophique que , dans la première Section de la Philosophie de la Technie , nous avons donnée de ce problème -universel lui-même, fait connaître toute l'importance dont il est pour la science; importance que nous constaterons dans la suite de nos ouvrages (*), et même ici, dans la résolution générale des équations.

Il ne sera peut-être pas inutile , pour l'histoire des mathématiques et de la philosophie, de rappeler que, lorsque cette grande solution du problème-universel fut présentée pour la première fois à l'Institut de France , dans le Mémoire sur la Réfutation de Lagrange, elle ne produisit, dans ce corps savant, d'autre effet que des invectives contre son auteur, qui fut taxé d'incapacité

(*) Nous venons de constater ainsi cette importance dans l'ouvrage présent de la Réforme des Mathématiques, en reconnaissant que ce problème-universel, qui offre l'une des méthodes absolues des mathématiques , constitue l'une des trois lois fondamentales de ces sciences.

PHILOSOPHIE. cxxj par les membres illustres de ce corps , en le déclarant hors d'état de démontrer cette résolution. [Voyez pour document le Rapport fait par MM. Arago et Legendre , et approuvé par l'Institut de France, sur la Réfutation de Lagrange, inséré dans le troisième Mémoire (page 86) de cette Réfutation]. — Mais , laissons là ces misères humaines , et revenons à notre noble but.

Le problème-universel des mathématiques se trouve ainsi tout à la fois posé et résolu complètement; et, ce cpi'il ne faut pas perdre de vue, c'est que cet établissement et cette solution du problème -universel se trouvent déduits uniquement de notre Loi suprême des Mathématiques. — Quant à l'application de ce problème aux cas principaux de l'Algorithmie , elle sera l'un des objets de la dernière Section de la Philosophie de la Technie (*). Cependant, pour donner au moins une idée de cette application, nous avons déjà, dans la Réfutation de Lagrange, sous les marques (17), (18), . . . (23), (pages 3a et suiv. ) , employé cette solution universelle pour la résolution technique d'une équation quelconque . . . (a5)

immanente ou transcendante, primitive ou dérivée, aux différences et aux différentielles; <I>(.r, a) désignant une fonction quelconque de la quantité inconnue x et d'une quantité arbitraire a. On concevra facilement que cette application , en tout conforme à ce que , dans la première Section de la Philosophie de la Technie , nous avons dit sur l'établissement du problème-universel , s'étend immédiatement à des équations . . . (2 5)'

o = <I>( x , a , b , c , etc. ) , où il entre plusieurs quantités données ou arbitraires, «, b , c, etc., et même à des équations à plusieurs inconnues; et, par là même, on concevra que cet exemple très-simple de l'application du problème-universel dépasse déjà de beaucoup le petit nombre de cas très-particuliers qui , dans la même question , ont été traités par Euler , Lagrange, Laplace , Paoli , Arbogast et Rramp. Mais, cette application générale du problème -universel aux différents cas de l'Algorithmie, n'est point notre objet présent (**). Nous devons nous borner ici à l'application de cette solution du problème -universel à la résolution générale des Equations d 'équivalence (***) de tous les degrés.

(*) On sait maintenant pourquoi cette dernière Section de notre Philosophie de la Technie n'est produite qu'aujourd'hui, du moins pour ce qui concerne les principes, dans le présent ouvrage sur la Réforme des Mathématiques.

(**) Cette application générale du problème -universel doit faire l'objet du cinquième des ouvrages annoncés dans le Programme scientifique qui est à la tète de la présente Réforme des Mathématiques.

(***) Suivant la nomenclature adoptée dans notre Introduction à la Philosophie des Mathématiques. — Les épithèles algébrique, et même immanente , ne suflisent pas pour caractériser cette sorte d'équations, parce qu'une équation transcendante, qui contient des logarithmes, ou des sinus, est nécessairement aussi une équation algébrique , et qu'une équation différentielle ou aux différences finies peut être une équation immanente.

cxxij RÉFORME DE LA

Vvant d'aborder cette application spéciale qui est ici notre véritable objet, nous devons encore reporter nos regards sur la solution précédente du problème-universel , afin de développer en leurs derniers termes élémentaires les résultats que nous avons obtenus pour cette solution, et de les rendre ainsi aptes à de prompts calculs numériques; ce qui nous deviendra utile dans la résolution même des équations , formant notre objet.

L'expression (24)"' du terme général de la solution précédente (24)' du problème-universel (24) est . (26)

1 1 si 1 ^ + J)

(1 .1 1 .1 1 . . . tn ).{dfa) 2

et elle se trouve, quant à la forme, parfaitement identique avec l'expression du terme général dans la loi fondamentale des Séries, tel qu'il est donné sous la marque (419)" de la Philosophie de la Technie (deuxième Section, p. 38i). Ainsi , faisant pour abréger . . . (27)

Upa'fqa'fra • • • dFa) = ®ai et suivant identiquement la marche qui , dans l'endroit cité , nous a conduits de l'expression (^ig)" à l'expression (420) formant le développement de la loi fondamentale des Séries , nous obtiendrons ici , pour notre expression présente (26) , le développement correspondant . . . (27)'

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