POST-SCRIPTUM
Nous avons promis de prouver, à la fin de cet ouvrage, que la présente solution fondamentale ou philosophique des équations de tous les degrés ne pouvait être obtenue sans la connaissance des principes métaphysiques de la science. Et nous devions le faire en indiquant expressément et respectivement les principes métaphysiques de cette méthode philosophique ou fondamentale et ceux de la précédente méthode téléologique ou spéciale , tels que ces principes respectifs sont établis immédiatement , dans notre tableau génétique ou architectonique de l'Algorithmie (Voyez la deuxième partie de la Réforme des Mathématiques*), par l'application de la loi de création à cet ordre de réalités que forment , dans le monde , l'existence et la relation des nombres. Mais , nous craignons que les illustres académiciens de Paris ne trouvent, dans cette preuve, l'occasion de ne voir que de la métaphysique dans les deux fécondes et positives méthodes par lesquelles nous venons de donner la solution , algébrique et numérique, du grand problème qui leur paraissait insoluble. Nous renverrons donc cette preuve au second tome de notre Réforme du Savoir humain , nommément , à la Réforme de la Philosophie , où se trouve donnée , comme apanage de cette réforme , la présente solution philosophique ou fondamentale des équations , en nous bornant ici provisoirement , pour le lecteur intelligent , à lui signaler les principes métaphysiques que nous venons d'indiquer.
Ainsi , pour ne produire ici que la science elle-même , en faisant abstraction de ses principes métaphysiques , nous allons profiter de l'espace qui nous reste pour- donner le développement de la loi (208) par laquelle nous avons couronné la présente résolution des équations. — Pour cela , formons les quantités . . . (240)
M2 M3.A + M4.A2 - M5.A3 . . . (-1)\il±jîL.M^.A\
M4 2M5.A -f- 3MC.A2 - 4M7.A3 . . . (-,)». ^+'3 .M^.A"
M6 - 3M?.A + 6M8.A2 - - ioM9.A3 . . . (-,)».(**+;) .M^.A
M8 - 4Mg.A + ioMro.A* - - aoM^.A3 . . . (-1?. .M, etc. ;
xxviij.
ccxx REFORME DE LA
et nous aurons, pour la première des deux fonctions auxiliaires (207), le dé-
vt'loppenient
— x)S -+- P4.(B— xf — etc., etc
Formons de plus
les quantités . . . (242)
Qo
V 1 > • ilr 'iVV + 3-A 5
+ 6M7.A* — ioM8.A3 . .
• (-')'.^#-.Mf + 5.A%
+ ioM9.A2 — 2oMI0.A3 . .
• (— f.^^.Mf + ,.A',
etc.
, etc. ;
et nous aurons , pour la seconde des deux fonctions auxiliaires (207) , le développement . . . (243)
Q = Qo Qi.(B-^) + Q2.(B-^)2 - Q3.(B-^)3 + Q4.(B-^)4 - etc., etc.
Construisons maintenant , avec ces quantités (240) et (242) , qui ne sont fonctions que de la première A des deux quantités arbitraires A et B , le système général de quantités auxiliaires . . . (244)
R0 = Po-Qo,
R. = Po Q, + Pr.Q0 ,
K = P0.Q2 + Pr'Q: + P2-Qo.
R3 = P0.Q3 + Px.Qa + Pa.Qt + P3.Q0 >
R4 = P0.Q4 + Pf.Q3 + P2.Q2 + P3.Qt + P4.Q0,
etc. , etc.
Et en y substituant successivement, d'abord, pour Q la lettre P, et ensuite, pour P la lettre Q, construisons de plus les deux systèmes particuliers de quantités auxiliaires . . . (245)
sG = p:, t0 = q:,
S, = s.Po-P, , T, = 2.Q0.Qr ,
s2 = 2.po.p2 + p; , t2 = 2.q0.q2 + q; ,
53 = 2.PC.P3 + a.P,.?,, T3 = 2.Q0.Q3 + 2.QI.Q2,
54 = 2.P0.P4 + 2. P,.P3 + P2\ T4 = 2.Q0.Q4 + 2.Qt.Q3 + Q22, etc. , etc. etc. , etc.
Enfin , avec ces trois systèmes (244) et (245) de quantités auxiliaires R , S et
PHILOSOPHIE. ccxxj T, qui ne contiennent que la seule quantité arbitraire A, construisons, d'après la formule . . . (246)
en y considérant T 1 comme zéro , les quantités finales W0 , Wt , W2 , W3 ,
etc. , savoir . . . (247)
W0 = SQ - A.RQ - T I , Wr = S, - A.R - T0 ,
etc. , etc. ;
et nous aurons définitivement , pour les coefficients N0 , Nt , N2 , N3 , etc. , de l'équation transformée (202) , les expressions . . . (248)
+ Nc
= wG-
- Nt
- ioW5.B3
+ ioW5.B2
— 2oW6.B3
■ • \ 1 ) ' 3|i ' VVh- + 3-k 1
etc. , etc. ; jusqu'à
(-if.N,„ == W„ ;
en observant que les quantités finales , données par la formule (246) , deviennent zéro lorsque leur indice [j. est plus grand que l'exposant m de l'équation proposée (201). — Il est sans doute superflu de faire remarquer que ces quantités finales deviennent alors zéro par l'influence des coefficients MQ , M , M2 , M3, etc., de l'équation proposée (201), dans laquelle ces coefficients sont zéro lorsque leurs indices sont plus grands que le degré m de cette équation.
Ainsi , en connaissant la présente loi développée (248) , que suit la construction des coefficients N , Nt , N2 , N3 , etc., de l'équation transformée (202), on reconnaît que , pour établir entre ces coefficients les plus grands rapports (209) , rapports dont dépend la préparation générale des équations pour la prompte application (200) de la méthode en question , il suffit d'attribuer à la quantité arbitraire B une valeur assez grande pour que , dans tous les cas , ces rapports (209) soient aussi grands qu'on peut le désirer, ayant en outre la faculté de modifier ces résultats par une détermination convenable de la seconde quantité arbitraire A , dont les coefficients WQ , Wt , W2 , W3 , etc. , sont ici des fonctions. Et l'on reconnaît par là même , dans la présente loi développée (248) , qu'une seule transformation (201) à (202) suffit pour obtenir les rap-
ivxxij RÉFORME DE LA
poris en question (209), propres à la prompte résolution algébrique (200) des équations, et par conséquent que les transformations réitérées que, sous des conditions générales , ppur arriver à des relations quelconques entre les coefficients des équations transformées, ne sont pas nécessaires pour le simple établissement convenable des rapports (20g). — Quant à la solution numérique des équations , pour laquelle les quantités arbitraires A et B sont données par les déterminations antérieures (229) et (23 1), (238) et (239), etc., des racines cherchées-, il est manifeste que, par les procédés présents (240) et (242), (244) et (245) , (247) et (248) , on pourra calculer directement et très-facilement les coefficients N0 , Nr , N2, N3 , etc. , des successives équations transformées par lesquelles s'accomplit cette résolution numérique des équations.
Pour accomplir entièrement ces grandes questions , et par conséquent pour n'y laisser rien à faire de plus , nous allons enfin indiquer la méthode directe et la plus rapide pour la résolution numérique des équations, en nous bornant, dans l'espace qui nous reste , à en signaler les traits principaux. — A cette fin , ayant obtenu, par le procédé (221), à l'aide de la quantité fractionnaire £, une première détermination des racines x de l'équation (220) , détermination qui sera la solution rigoureuse de l'équation (222) , il suffira, pour la prompte détermination ultérieure de ces racines , de recourir immédiatement au problèmeuniversel (24). En effet, comparant l'équation proposée (220) et l'équation résolue (222) avec le problème-universel (24), on aura, pour ses fonctions constituantes , les déterminations . . . (249)
fx = A0 + Ç.|ae,« + A2.*2 -f- A3.*3 . . . + A,,,,,. + Am.xm , fx = Arx + A2.*2 + A3.*3 . . . + Am;.y*-' ;
et par conséquent , pour ses coefficients constants x{ , x , *3 , etc. , les valeurs
xt ' — ( 1 — £ ) , .r2 = o , ^3 = 0, etc. = o ; de sorte que cette détermination du problème-universel (24), savoir . . . (25 1)
o = fx + (1 — £)■./> > formera l'équation proposée (220), savoir . . . (252)
o = Ao + A,.* + A2.*2 + A3.*3 ... + Am.xm ,
et que l'équation fx = o , donnant les m valeurs x = a , se trouvera résolue rigoureusement. Il suffira alors , pour la solution complète de l'équation '25 1) ou (252) , de former la fonction . , . (253)
F* = *2 — A.x + B , en déterminant les quantités A et B, d'après les règles (229) et (23i), par les
PHILOSOPHIE. ccxxiij premières déterminations (2 2 5) et (227) des racines cherchées x , c'est-à-dire , par les présentes m valeurs x = a ; et l'on obtiendra immédiatement , par la solution générale (24)' du problème-universel (24), la valeur numérique de cette fonction F.r , savoir . . . (254)
+ B = S(o)D + iiZLÉI^i), + ii=iL.3(l, I)2 + i^-.E^ 1, 1)3
valeur dont on pourra facilement, par les susdits procédés (210) à (217), déduire les vraies valeurs de x, correspondant à chacune de ses m premières déterminations a. — Il est sans doute superflu d'ajouter que, dans le cas où la dernière série (254) ne serait pas encore convergente , il faudrait également ici multiplier sa fonction génératrice ( 1 — £ ) par une nouvelle quantité fractionnaire £1 qui puisse rendre convergente cette série ; et l'on procéderait ensuite de la même manière, jusqu'à la détermination complète des racines x en question. — Il ne restera donc qu'à déterminer, dans la présente loi (254)5 les coefficients S(o)u , H(i), , E(i , i)2, S(i, 1 , 1)3 , etc., d'après leurs expressions générales (24)", savoir . . . (255)
fa.dYa
S(o)0 = Fa , 3(1), = - ■
dfa
Ttf[ dêlfa . d^fWp .fxa .dFa)]
i.(dfa)
etc. , etc ;
en se servant pour cela des développements (27)' et (27)", ou bien de l'expression algébrique et définitive (33) , et en remarquant que , dans la fonction présente (253) , on a toujours . . . (256)
S(o)0 = Fa = o.
Nous laissons aux géomètres le plaisir d'accomplir cette belle et finale méthode pour la solution numérique des équations , qui est manifestement la solution directe et la plus prompte pour la détermination générale , dans des équations d'un degré quelconque , de toutes leurs racines , réelles et idéales ( imaginaires). Aussi, en nous fondant sur nos principes philosophiques de la science, pouvons-nous affirmer que la postérité n'aura jamais aucune autre méthode générale qui soit, tout à la fois, et plus directe et plus expéditive.
