BJ B2.S

Tels sont donc les premiers ordres progressifs , de plus en plus exacts , de la génération finie des coefficients Y , Yt , Ya , Y3 , etc. , des équations réduites (83) ou (188); ordres auxquels on pourra, au besoin, ajouter Tordre suivant, qui , sous la susdite marque (797) , se trouve de même déterminé complètement dans notre Réforme des Mathématiques. Et poursuivant les degrés ultérieurs de cette génération -neutre , d'après les lois que nous avons signalées dans cette Réforme des Mathématiques , et que nous avons même reproduites , du moins en partie , dans l'ouvrage présent , sous les marques (56) à (60) , on s'acheminera progressivement vers le but demandé , et l'on pourra même arriver finalement à ce but, c'est-à-dire, à la forme théorique et fondamentale (88) ou (189), qui est une telle génération-neutre, et qui, comme nous l'avons découverte , est précisément la forme théorique et finie de ces coefficients Ym des équations réduites (83) ou (188), desquelles dépend ainsi la solution finie des équations.

PHILOSOPHIE. " ccv

Enfin, le septième résultat décisif que nous allons faire connaître, pour couronner cette solution philosophique des équations, est cette préparation générale des équations que nous venons d'annoncer, et par le moyen de laquelle tout ce qu'il y a de prédominant dans l'influence technique, c'est-à-dire, dans les générations indéfinies qui font partie de cette solution philosophique , se trouve diminué de manière à rendre prépondérante l'influence théorique , c'està-dire , la génération finie qui est le véritable objet de la présente solution philosophique , au point même , si on le voulait absolument , de rendre immédiatement convergentes toutes ces générations techniques ou indéfinies qui peuvent prédominer ainsi. Et pour peu que l'on examine les procédés de la présente méthode philosophique de la résolution des équations , on reconnaît que l'on atteindra ce dernier but en transformant les équations proposées , qu'il s'agit de résoudre, en des équations spéciales dans lesquelles le terme Ao, qui, d'après (91), forme le dénominateur de la fonction génératrice 0, soit, par rapport aux autres coefficients AI , A2 , A3, etc., de ces équations transformées ou spéciales, tellement grand que les générations indéfinies (92) ou (192), et (196) ou (198), soient immédiatement convergentes, ou du moins assez peu divergentes pour que leurs transformations (200) en génération-neutre deviennent suffisamment exactes, et par conséquent, pour que les trois premiers degrés (200) , ou du moins un petit nombre de ces degrés progressifs de la génération-neutre des coefficients YOT des équations réduites (83) ou (188), puissent suffire à tous les besoins de la science, comme nous l'avons annoncé. — Or, cette spéciale transformation des équations ne présente aucune difficulté , comme nous allons le voir.

Soit l'équation proposée d'un degré quelconque m, savoir . . . (201)

o = M0 - M^z + M2.z2 - . . . + (— i)mMm.zm ;

et soit son équation transformée dont il est question , savoir . . . (202)

o = N0 Nt.x -f- N2.*2 - N3.*3 ...+( ifj„,/ .

Il est manifeste que, pour pouvoir, dans cette équation transformée, établir des relations quelconques entre son terme indépendant No et ses coefficients Nt ,

N2 , N3 , . . . Nm j , ainsi que nous venons de nous le proposer, il faut

que ces coefficients contiennent des quantités arbitraires qui , par une détermination convenable , puissent servir à rétablissement de ces relations en question , sans que le degré de l'équation transformée (202) soit différent de celui de l'équation proposée (201). — Pour cela, établissons entre les racines z et x de ces équations, la relation . . . (2o3)

dans laquelle les quantités A et B sont ainsi des quantités arbitraires et propres à concourir, par une détermination convenable , à l'établissement des relations

ccvj RÉFORME DE LA

<'ii question entre les coefficients N0 , Nt , N2 , N3 , etc., de l'équation transformée. Donc, si la relation problématique (2o3) est bien appropriée au but présent, et le résultat va nous le montrer, il ne reste qu'à éliminer l'inconnue z entre l'équation proposée (201) et la relation problématique (2o3) j pour pouvoir déterminer les coefficients des puissances de la nouvelle inconnue x , qui seront les coefficients N0 , Nj , N , N3 , etc. , de l'équation transformée (202), et qui seront ainsi des fonctions des deux quantités arbitraires A et B , et des coefficients de l'équation proposée (201). — Sans entrer ici dans les détails de ces calculs , que le lecteur saura bien suppléer , nous allons en présenter immédiatement les résultats , que voici.

Formons, avec la présente relation problématique (2o3), l'équation du second degré . . . (204)

o — z1 — A.z -f- (B — x) , en considérant ainsi la nouvelle inconnue x comme faisant partie du dernier terme (B — x) de cette équation. Et déterminons, pour cette équation du second degré (204) , ses fonctions alephs à exposants positifs. — Or, en suivant les lois de la génération de ces fonctions , telles que nous avons produit ces lois dans notre Méthode téléologtque, sous les marques (7), (9), et (174)5 (I7^), nous obtiendrons , pour la présente équation du second degré (204) , les fonctions alephs que voici . . . (2o5)

B-xf ,

4A3.(B — x) + 3A.(B — xf ,

5A4.(B — x) -+- 6A2.(B — xf -

6A5.(B— x) + ioA3.(B — *)2

7A6.(B — x) + i5A4.(B — xf

— 20. A3. ( B — xf

»(io)

- 9A8.(B — x) + 2.8.A6.(B— x (B — xf — (B — xf ,

- 10. A9. (B — x) + 36. A7. (B — (B — xf — 6A.(B — *)5 ,

xf — 56. A°. (B — x

etc. ,

etc. ;

la loi spéciale de la génération de ces fonctions alephs étant donnée par les derniers termes de la susdite loi générale (9) de notre Méthode téléologique , savoir, pour un exposant quelconque xS , par les termes . . . (206)

PHILOSOPHIE. ccvij

tf(rô) = A .A .( B — x) + -A- -z .A . ( B — x)

(^~3)3|-t ^-6 ^ 3 (^-4)4'"T ,A~-8.(B-*)4 etc., etc.

Formons de plus , avec ces fonctions alephs et les coefficients MQ , Mt , M2 , Mj, etc., de l'équation proposée (201), les deux fonctions auxiliaires . . . (207)

P = MG — (B — x). | M2.tf(o) M3.»(i) + M4,K(a) — M5.«(3) . . . (— i)m.Mm.#(m — 2) J,

Q = Mx.«(p) — M2.K(i) + Ms,»(a) — M4.»(3) + M5.K(4) . . . (— i)'""' .Mm.X(m — 1) .

Et nous aurons , pour les coefficients en question NQ , Nt , N2 , N3 , etc. , de l'équation transformée (202) , l'expression générale , correspondant à un indice * quelconque p., savoir . . . (208)

en marquant par l'indice extérieur ( x = o ) qu'après la différentiation , prise par rapport à la variable X, il faut faire zéro cette quantité x. — Or, on voit, dans cette expression générale (208) , d'abord , que tous les coefficients No , Nr , N2 , N3 , etc., de l'équation transformée (202) contiendront les deux quantités arbitraires A et B , de sorte que , par leur détermination convenable , on pourra déjà établir une double relation entre ces coefficients N , N , N , etc. ; et l'on voit de plus , clans cette expression générale (208) , que , pour un indice \x plus grand que le degré m de l'équation proposée (201), les coefficients No , Nj , N2 , etc. , de l'équation transformée (202) deviennent zéro , de sorte que cette équation transformée (202) sera toujours du même degré m que l'équation proposée (201).

Tel est donc ce septième et dernier résultat décisif que nous obtenons pour couronner la présente méthode philosophique de la résolution des équations , en les rendant ainsi, par cette transformation préparatoire (202), aptes à la prompte et utile application de tous les procédés qui composent cette méthode philosophique. En effet, par tout ce que nous savons déjà de ces procédés, il est manifeste que leur prompte et utile application a lieu suivant le degré que, dans l'équation proposée (i85) , le terme Ao est plus grand par rapport à tous les autres coefficients Aj , A2 , A3 , . . . Am I qui entrent dans cette équation , au point que lorsque ce rapport est suffisamment grand, toutes les générations techniques et indéfinies qui se trouvent parmi ces procédés en question , deviennent convergentes, et donnent ainsi immédiatement les quantités qu'elles

^[p2 — A.PQ + Q2

ccviij RÉFORME DE LA

servent à engendrer, comme nous l'avons vu dans l'exemple que nous a présenté l'équation spéciale (55) du cinquième degré. Mais, lors même que ce rapport n'est pas assez grand pour rendre convergentes ces générations techniques ou indéfinies qui concourent à la présente méthode , il suffit toujours que le terme AQ soit plus grand que les coefficients AT , A2 , A3 , etc., pour que les générations -neutres en lesquelles on transforme ces générations techniques ou indéfinies , soient d'autant plus rapides que ces rapports entre ces quantités AQ et Aj , A2 , A3 , etc. , seront plus grands. Ainsi , par exemple , dans le premier degré de génération-neutre que nous avons allégué, sous la marque (171), pour la transformation progressive de la génération technique ou indéfinie (166) qui donne, pour l'équation du quatrième degré (1 55) , le premier coefficient Y2 ou Qj de son équation réduite (164) ou (164)', lorsque le terme AQ est zéro, ce premier degré (171) donne zéro et se trouve alors complètement inexact, puisque la génération indéfinie (166) devient alors indéterminée; mais lorsque ce terme AD est infini, ce même premier degré (171) de génération-neutre donne la quantité ( — AQ), et se trouve déjà parfaitement exact, puisque la génération indéfinie (166) donne alors la même quantité infinie ( — A0 ). — Il importe donc généralement , pour la prompte et utile application de la présente méthode philosophique, de préparer les équations de manière à ce que, dans l'équation préparée (i85), à laquelle on appliquera cette méthode, le terme AQ soit le plus grand possihle par rapport aux coefficients At, A2, A3, . . . A.m l de cette équation finale (i85); et c'est à cette préparation que servira manifestement la loi (208) que nous venons de donner pour transformer les équations de manière à ce que , en réitérant cette transformation , s'il en est besoin , on puisse introduire , dans les coefficients A0 , A , A , A3 , etc. , des équations transformées , autant de quantités arbitraires que l'on voudra , et dont on aura besoin pour établir , entre ces coefficients , des relations quelconques , nommément ici les plus grands rapports possibles . . . (209)

K ' K ' A3 ' A4 ' Am t •

Nous venons de dire qu'il faut , s'il en est besoin , réitérer cette transformation (208), parce que, comme on le voit par cette loi (208), chacune de ces transformations n'introduira que deux quantités arbitraires A et B ; et pour la détermination des rapports en question (209), il faut, sous des conditions générales, jusqu'à (m — 1) de ces quantités arbitraires, en observant d'ailleurs que, pour le dernier de ces rapports (209), on pourra toujours, par les moyens connus, rendre zéro le coefficient Am x.

Il ne nous reste qu'à montrer comment , en connaissant les m racines x de i'équation transformée (202), à la solution de laquelle on aura appliqué la présente méthode philosophique , on pourra obtenir la connaissance des m racines

PHILOSOPHIE. ccix a de l'équation (201) que l'on aura transformée ainsi. Et ce retour aux équations primitives ne présente plus aucune difficulté. — En effet , considérant les racines x trouvées sous la forme générale , comme réelles , ou comme idéales , savoir . . . (210)

on aura , en vertu de la relation générale (2o3) , pour la détermination des racines primitives z, l'équation . . . (211)

z1 — A.z + B = p + q.Y^— 1 , qui donnera . . . (212)

z = A -+- v/j-^ B + p + q.Y/^il = a + b\Z~^~i ,

en désignant ainsi par a et b les deux quantités qui établissent la forme générale , réelle ou idéale, de ces racines primitives z. Et pour la détermination de ces quantités a et b, on aura l'équation générale . . . (21 3)

y/j-^ B + p + 7. 1/^7 j = -^.ha — A) + 6.»/^ï,

qui , en prenant les carrés des deux membres , et en égalant séparément les quantités réelles et les quantités idéales , donnera , pour la détermination en question des deux quantités a et b, les deux équations . . . (214)

B + p = .(2fl A) — b ,

Éliminant la quantité (2a — A ) entre ces deux équations , on obtiendra , pour la détermination de la quantité b, l'équation du quatrième ou du second degré . . . (21 5)

qui donnera . . . (216)

»' = -t-(4-b+')+tV((4-b+,

expression où il faudra attribuer convenablement au radical [/ son double signe -H ou — . Et la seconde des équations (214) donnera ensuite, pour ta quantité a , la détermination générale . . . (217)

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les différentes conditions de cette transformation générale (208) des équations ; transformation que l'on peut réi-

xxvij

«ex RÉFORME DE LA

terer autant que l'on voudra, pour introduire, dans tous les termes des équations , un nombre quelconque de quantités arbitraires , et par conséquent propres à établir, entre ces termes , des relations quelconques. Nous savons que les géomètres suppléeront facilement ces détails, et surtout que, suivant la formule (208), ils pourront, pour les équations (201) des premiers sept ou dix degrés , construire d'avance les coefficients NQ , Nt , N2 , N3 , etc. , des équations transformées (202) , tels que , dans notre Métbode téléologique , nous avons construit ces coefficients sous la marque (107), en y suivant la loi pareille (ioi), qui est un cas particulier de la présente loi générale (208), savoir le cas correspondant à A = o. — Nous nous bornerons donc à faire remarquer expressément que , par ces transformations (208) des équations , en les réitérant autant qu'il en sera besoin , on pourra toujours introduire , dans les équations transformées ainsi , autant qu'il faudra de quantités arbitraires pour rendre, par une convenable et facile détermination de ces quantités arbitraires, les susdits rapports (209) , entre le terme AQ et les coefficients Ar , A2 , A3 , etc., assez grands pour que toutes les générations techniques ou indéfinies, qui font partie de la présente méthode philosophique , soient toujours convergentes et donnent ainsi immédiatement les quantités qu'elles servent à engendrer. Et alors, les différents procédés de cette méthode conduiront ainsi immédiatement à la résolution des équations , sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir l'algorithme de la génération - neutre pour transformer ces générations techniques ou indéfinies en génération théorique et finie. — Toutefois , pour éviter l'embarras que causerait la transformation (208) réitérée plusieurs fois, lorsque cela serait nécessaire pour la complète détermination convenable des rapports (209) , on pourra, dans presque tous les cas, se borner à une seule, ou tout au plus à deux de ces transformations (208) , parce que les deux ou les quatre quantités arbitraires qu'on introduira ainsi dans ces équations, suffiront, dans presque tous les cas , pour rendre les rapports (209) propres à ce que , dans l'application complémentaire de l'algorithme de la génération - neutre , les degrés progressifs de cette génération -neutre soient toujours suffisamment rapides. A proprement parler, une seule transformation (208) suffit généralement , parce qu'on peut toujours considérer les coefficients M0 , Mt , M2 , M3 , etc. , de l'équation à transformer (201), comme provenant de transformations antérieures , et comme formant ainsi des quantités indéterminées , et par conséquent propres à établir des relations quelconques entre les coefficients NQ , Nt , N2 , N3 , etc. , de l'équation transformée (202) , pourvu que l'on détermine ensuite , d'une manière conforme, les premiers coefficients MQ , Mi , M2 , M3 , etc., à l'aide des quantités arbitraires qu'ils contiendraient par suite de leurs transformations antérieures. Et c'est ainsi, en effet, que, par une telle détermination convenable des rapports (209) en question , les trois degrés progressifs (200) , ou un petit nombre de ces degrés progressifs de la génération-neutre des coef-

PHILOSOPHIE. ccxj ficients Ym des équations réduites (83) ou (i 88) , suffiront toujours, comme nous l'avons annoncé , pour donner une détermination algébrique , également suffisante , de ces coefficients Ym , et par conséquent , pour donner la solution algébrique des équations , propre à tous les besoins de la science. Et c'est de même que , par une telle détermination convenable des rapports (209) , à l'aide d'une ou de deux transformations (208) des équations proposées, la génération-neutre, en laquelle on transformera alors la génération technique ou indéfinie qui constitue le polynôme dans la loi (92) ou (192) , et qui sert à déterminer les parties constituantes Ç , £2 , £3, etc., dans la forme absolue (5o)IV ou (186) des racines des équations, sera toujours assez rapide pour que les premiers degrés de cette génération-neutre suffisent à la détermination numérique de ces parties constituantes £ , £ , £3, etc., et par conséquent à la solution numérique des équations , d'après les procédés que nous avons indiqués sous les marques (58) à (61), en considérant, dans la série générale (58), les coefficients A[l\ , , A3'^, etc, comme étant les coefficients H^ , îlj, H^, H3!), etc., dans le polynôme (92) ou (192), et la fonction génératrice cp.r de cette série (58) , comme étant la fonction génératrice © de ce polynôme (92) ou (192).

Mais, quelque vraie, directe même, et par conséquent pratique, que soit cette dernière solution numérique des équations , par l'application des procédés (58) à (61) de la génération-neutre à l'évaluation de la génération technique et indéfinie (92) ou (192) dès parties constituantes £r, £2, £3, etc., des racines (186) des équations , nous ne pouvons encore considérer comme absolue cette solution numérique , précisément parce qu'elle est opérée par l'algorithme de la génération- neutre , qui ramène la question vers la théorie, tandis que l'évaluation numérique des racines doit être opérée immédiatement par le seul algorithme technique, et nommément ici par la génération technique elle-même (92) ou (192) qui donne ainsi immédiatement ces parties constituantes en question £2, £3 , etc., des racines des équations. Il se présente donc, pour l'accomplissement absolu de la grande question de la résolution des équations , le problème de leur solution numérique et absolue, par la seule génération technique (92) ou (192) des parties constituantes £ , £ , £3 , etc., de leurs racines. — Nous allons donner encore la solution de ce dernier et grand problème.

Avant tout , nous devons faire observer que le concours de l'algorithme de la génération-neutre, par lequel, dans les expressions (200), nous parvenons à la détermination algébrique des coefficients Ym p des équations réduites (83) ou (188), et par conséquent à la solution algébrique des équations, loin de n'être ici qu'un procédé accessoire qui nuirait à la pureté algébrique , c'est-àdire , à la pureté théorique de cette solution , est au contraire le procédé essentiel et principal, par lequel la génération technique (198) de ces coefficients Y,„ p se trouve ramenée à leur génération théorique; et cela d'autant plus que

\w ij.

ccxij RÉFORME DE LA

c'est précisément cet algorithme de la génération -neutre (200) qui constitue la forme primitive et purement théorique (88) ou (189) des coefficients en question YB| des équations réduites (83) ou (188). Aussi, sommes- nous par là même fondés à considérer comme étant absolue la solution algébrique des équations, que présentent ces degrés progressifs (200) de la génération - neutre , en tant que, non-seulement ils conduisent, autant qu'on peut le demander, à la vraie forme théorique et finie (88) ou (189) des coefficients Ym p des équations réduites (83) ou (188), mais que, de plus, ils réalisent progressivement cette forme finale , avec telle exactitude qu'on peut demander également. Ces conditions absolues de la présente solution algébrique (200) des équations sont même tellement manifestes que nous pouvons , avec certitude , la léguer à la postérité comme la véritable et l'unique solution algébrique et générale des équations ; car, la solution qu'on voudrait tirer de nos équations fondamentales (81) ou (187), et c'est la seule qu'on peut encore concevoir idéalement, comme un problème possible, ne saurait, quand même on voudrait exécuter et réaliser ainsi ses conditions immenses, s'étendre qu'à quelque degré déterminé, et ne saurait jamais s'étendre généralement à tous les degrés , comme s'étend effectivement, et même avec facilité, la présente solution algébrique et générale (200) , par laquelle , en suivant nos voies philosophiques , nous arrivons ainsi tout à coup jusqu'au dernier terme de la science. — Or, c'est de la même manière , en n'employant , à son tour , que la seule génération technique (92) ou (192) des parties constituantes £t, £2 , £3, etc., des racines (186) des équations , cette génération technique qui généralement est seule propre à l'évaluation numérique des quantités , c'est de cette même manière , disons-nous , que nous devons donner la solution absolue du deuxième grand problème qu'il nous reste encore à résoudre , de celui de la résolution numérique des équations. — Nous allons le faire.

Partons de la loi primordiale (92) ou (192) qui donne la génération technique des parties constituantes | , ^ , £3, etc. , ou S , S9, S3, etc., des racines (49)"' ou (5o)IV des équations, savoir, de la loi (2I^) m J

V% B, = (-A0)"\ {b4° + H(;U + Hi'U2 + H*0.©3 + H^.e4 + etc., etc. J ,

qui, comme génération technique, doit, non-seulement suffire à l'évaluation numérique des quantités Ç - ou S. en question, mais de plus donner directement et exclusivement cette évaluation numérique. — Or, lorsque la suite indéfinie qui constitue cette génération, savoir, la suite . . . (2I9)

H = + H*0.© + H2l).0a + -h + etc., etc.,

est convergente , elle donne immédiatement les valeurs numériques des quantités \i ou 3 ■ • , qui , par la construction (49)"' ou (5o)IV des racines des équa-

PHILOSOPHIE. ccxiij tions, opéreront ainsi la solution numérique de ces équations, prises dans toute leur détermination générale (i 85) , savoir . . . (220)

o =z AG + Ax.« + A2..r2 + A3.^3 . . . + Am.x"' ;

comme nous en avons vu un exemple dans la pareille solution numérique (55)v de l'équation du cinquième degré (55). — Ce n'est donc que lorsque la suite indéfinie (219) n'est pas convergente, qu'il peut y avoir une question nouvelle; et cette question se résout ici avec facilité.

En effet , il suffit alors de multiplier la fonction génératrice 0 par un nombre £ plus petit que l'unité, et tel que la suite résultante . . . (221)

= Hi° + H<0.(«0 + H^.CeÇ)' + H^.(0O3 + <}.(0O4 + etc., etc. , soit convergente. On obtiendra alors , en déterminant ainsi les parties constituantes ou S{. des racines (186), la solution numérique de l'équation partielle . . . (222)

comme on peut s'en convaincre facilement en examinant l'expression générale (93) ou (193) des coefficients de la suite indéfinie (219). Et l'on aura

conséquemment une première déterminai ion numérique des racines de l'équation proposée (220) ; détermination qui sera d'autant plus proche de la vraie valeur des racines que le nombre auxiliaire £ sera plus proche de l'unité.

Il est sans doute superflu de prévenir qu'au lieu de calculer ainsi immédiatement les racines du degré m des quantités £ , | , £3, etc., telles que ces racines sont les parties constituantes des racines (186) des équations, on pourrait , tout aussi bien , calculer, de la même manière , par une quantité auxiliaire £, ces quantités £ , £2, £3, etc., elles-mêmes, par les polynômes développés (106), savoir, par les suites indéfinies . . . (223)

f.f = (A0)t'.j(Hi!))'"+ W{;\@ + W(;\tf + + W^.e4 + etc., etc.

dont nous avons réalisé les valeurs, d'abord, sous la marque (i65) , pour les équations du quatrième degré (1 55) , et ensuite, sous la marque (181), pour les équations du cinquième degré (172). On extrairait alors , des quantités numériques trouvées par le susdit concours (221) de la quantité arbitraire les racines du degré m , pour avoir les quantités S ( , c'est-à-dire , les racines des quantités , qui sont proprement les parties constituantes dans les racines (186) des équations. — Mais, ce procédé, qui parfois peut devenir plus rapide, l'est plus purement technique , puisqu'il implique l'algorithme théorique de l'extraction des racines.

Quel que soit, au reste, celui des deux procédés techniques (218) ou (223) par lequel, en introduisant ainsi (221) la quantité arbitraire Ç, on aura obtenu, pour l'équation proposée (220), les racines (186), ces racines ne seront

ccxh RÉFORME DE LA

proprement que les racines de l'équation partielle (222) ; et elles ne formeront conséquemment , comme nous l'avons déjà dit , qu'une première détermination numérique des racines de l'équation proposée (220). — Pour avoir les déterminations ultérieures de ces racines, et d'abord, la deuxième détermination numérique, supposons que l'équation proposée (220) ait la forme (201), savoir . . . . . (224)

o = MQ - Mt.z + M2.z2 — M3.Z3 ... + (—i)"'.Mm.z'\

et que l'on ait ainsi, par le concours (221) de la quantité arbitraire obtenu les premières déterminations numériques de ses racines z , déterminations que , pour un indice quelconque [jl, nous désignerons généralement par . . . (225)

en observant que les présents indices p. et — (/.) sont précisément aussi les indices des racines de l'unité et pm ^ qui , dans la forme absolue (186) des racines , ont servi à ces déterminations distinctes. Et observons de plus que , lorsque ces premières déterminations sont des quantités réelles, comme cela peut arriver, dans les équations de degrés pairs 2 n , pour les racines ayant les indices zn et z2re, et comme cela arrive toujours, dans les équations de degrés impairs [in -+■ 1), pour les racines ayant les indices ^(are + i)' nous pouvons supposer que , dans la présente forme générale (225) des racines , on ait alors

• • • (226) g = o , et h — \Z~=Tk ■

ce qui donnera , à ces racines à valeurs réelles , que nous désignerons généralement par zv la forme . . . (227)

zv = + \/Tt , ou zv = — \/k ,

le signe ou — du radical \/~ étant toujours donné. — Or, pour en venir aux déterminations ultérieures , et d'abord à la deuxième détermination numérique des racines z de l'équation proposée (224), établissons, entre ces racines z et une nouvelle inconnue x , la susdite relation (2o3), savoir . . . (228)

z2 — A.z + B = .r ; et l'on comprendra qu'en donnant aux quantités arbitraires A et B, les valeurs . . . (229) A = + zm J = 2£, et

B = K X f) = g* + h\ pour former la relation . . . (23o)

z — %g.z -h ( g* + h* ) = x ; la nouvelle inconnue x servira pour compléter les premières déterminations (225) des racines générales z^ et z.m , ayant des valeurs idéales (imaginaires). Et pour les racines zv, ayant des valeurs réelles (227), on aura, d'après leurs déterminations (226) , pour les deux quantités arbitraires (229) , les valeurs

PHILOSOPHIE. ccxv . . (23i) A = o , et B = — k ;

et pour la relation correspondante (23o) , la relation spéciale . . . (23a)

Il ne reste donc qu'à connaître la quantité x , qui , par la relation générale (228) , doit servir à compléter les premières valeurs numériques (225) et (227) des racines z de l'équation proposée (224). — Et pour cela, suivant la loi (208), il suffit, d'après cette relation générale (204) ou (228) des inconnues z et x , de transformer l'équation proposée (224) en l'équation (202), savoir . . . . . (233)

o = N0 — Nt.* + N2..z2 - . . . + (- i)m.^m.xm ;

car, ce seront manifestement les racines x de cette équation transformée qui formeront , pour la présente relation générale (228) , les quantités complémentaires et propres à donner, par les susdits procédés (210) à (217), les valeurs totales et exactes des racines primitives z de l'équation proposée (224).

Nous nous trouvons ainsi ramenés à la solution d'une équation (233) du degré m, pareille à l'équation proposée (224). Et par conséquent, en employant le même procédé (221) du concours d'une quantité fractionnaire et arbitraire £, nous parviendrons de nouveau , et avec la même facilité , à une première détermination numérique des présentes racines xy analogue à la détermination précédente (225) et (227) , savoir, sous la forme générale . . . (234)

% = P + q\/~ 1 > et *m|x = P — q-V11^ ,

lorsque ces racines x sont idéales (imaginaires), et sous la forme spéciale . . . . . (235)

&v — + Vr , ou xw = — \/r ,

lorsqu'elles sont réelles. Et ce sont manifestement ces premières déterminations (234) et (235) des présentes racines x qu'il faudra introduire dans la relation générale (228) , pour pouvoir, en y donnant , aux quantités A et B leurs premières valeurs (22g) et (23 1) , obtenir une deuxième détermination numérique des racines primitives z de l'équation proposée (224) , en tirant ces nouvelles valeurs de z de cette relation générale (228), par les susdits procédés (210) à (217). On obtiendra donc ainsi, pour cette deuxième détermination des racines la forme générale . . . (236)

Z[1 — a + b.V— 1 , et zm^ = a — b.\/^~x ,

lorsque ces racines sont idéales , et de plus , lorsqu'elles sont réelles , la forme spéciale . . . (237)

zv = + Vs , ou zv = IX? ,

le signe -+■ ou — du radical 1/ étant toujours donné. — Mais, ce qu'il faut observer essentiellement dans ces déterminations progressives des racines corres-

. cxvj RÉFORME DE LA

pondantes z et x de l'équation proposée (224) , et de l'équation transformée i33 , c'est qu'il ne faut joindre ensemble que celles de ces racines z et x qui répondent aux mêmes indices p, ou v des racines de l'unité ou pv par lesquelles ces racines se trouvent déterminées respectivement, en vertu de la forme générale et absolue (186) des racines des équations.

Or, avec ces deuxièmes déterminations (236) et (287) des racines primitives z, les deux quantités A et R , dans la relation générale (228), recevront également, en vertu de leur formation (229) et (23 1), de nouvelles et plus exactes déterminations, savoir, pour les racines idéales . . . (238) A == + = ia , et

et pour les racines réelles . . . (239)

A = o , et B = — s .

Et ce sont ces nouvelles et plus exactes valeurs des deux quantités A et B qu'il faudra maintenant introduire dans l'équation transformée (233), pour pouvoir en tirer, toujours par le susdit concours (221) d'une quantité fractionnaire et arbitraire une deuxième détermination numérique des racines complémentaires x, qui, par la nouvelle relation générale (228), déterminée par les présentes valeurs (238) et (239) des quantités A et B , donnera, par les susdits procédés (210) à (217), une troisième détermination numérique des racines primitives z de l'équation proposée (224).

Et continuant ces déterminations progressives des racines primitives z de l'équation proposée (224) et des racines complémentaires x de l'équation transformée (233), on parviendra directement, et avec tel degré d'exactitude que l'on voudra, à l'évaluation numérique des racines z, réelles et idéales (imaginaires), de l'équation proposée (224) d'un degré quelconque m , et par conséquent à la solution numérique et générale des équations de tous les degrés. — Nous aurons ainsi la méthode purement technique, et par conséquent directe et absolue, pour la solution numérique et générale des équations de tous les degrés ; comme nous avons obtenu plus haut, à la marque (200), la méthode purement théorique, et par conséquent aussi directe et absolue, pour la solution algébrique et générale des équations de tous les degrés. — Et la science se trouve définitivement accomplie.

Que reste-t-il , en effet , à faire pour achever complètement cette partie principale et décisive de la science ? — Rien qui , suivant les lois que nous venons de donner, ne puisse être fait par les géomètres eux-mêmes. Nous allons 1 indiquer en très-peu de mots , car il y a très-peu de chose à faire.

D'abord, pour ce qui concerne 1' application pratique de la présente solution

PHILOSOPHIE. ccxvij fondamentale ou philosophique des équations, il est manifeste que, pour la seule dignité de la science, en faisant même abstraction de son utilité, il faut étendre jusqu'aux dix premiers , du moins provisoirement jusqu'aux sept premiers degrés des équations , toutes les règles que nous avons prescrites pour leur solution , en étendant en outre toutes les générations techniques ou indéfinies qui sont impliquées dans cette méthode , jusqu'aux termes qui contiennent la dixième ou du moins la septième puissance de leur fonction génératrice 0. Et ce travail qui, comme nous venons de le dire, est aujourd'hui requis, autant pour la dignité que pour l'utilité de la science, ne présente plus aucune difficulté, surtout après l'initiative assez étendue que nous en avons prise et réalisée nousmêmes. — Nous n'avons pas besoin de faire remarquer aux géomètres que ce ne sont pas ici des travaux arbitraires ou conventionnels , qui dépendraient de quelques dispositions ou arrangements des savants, ovi de quelques insignifiants problèmes académiques. Ils savent tous que l'objet de ces travaux complémentaires forme ici une partie intégrante de I'objet absolu de la science , et par conséquent que le nom des géomètres qui accompliront, plus ou moins, ces travaux complémentaires , et qui légueront ainsi à la postérité ces résultats fondamentaux , sera inscrit , non sur de factices et périssables listes académiques , mais bien sur l'éternelle liste de l'histoire de la science.

Ensuite , pour ce qui concerne les principes théoriques de la présente solution fondamentale ou philosophique des équations , il est également manifeste qu'à l'exception des lois fondamentales (8i) ou (187), tous les principes sont ici démontrés rigoureusement , et qu'ils le sont même en remontant jusqu'aux lois fondamentales des mathématiques. Et il en est de même de notre solution spéciale ou téléologique des équations , tous les principes , à l'exception de la loi primordiale (19) et (20), ou (78) et (79), sont également démontrés rigoureusement dans l'ouvrage actuel de la Résolution générale des Equations (*), où se trouve donnée cette Méthode téléologique. Mais , ces lois respectives , philosophique (81) et téléologique (79), sont désormais constatées complètement par la vérité de leur application générale à la solution des équations de tous les degrés. Néanmoins , il importe à la dignité de la science que ces principes et ces lois , sur lesquels est fondée la grande question de la résolution des équations , soient , non-seulement constatés ou avérés , mais de plus démontrés rigoureusement. Et cette démonstration rigoureuse est en outre un des besoins impératifs de la raison de 1 homme. En effet, quelque décisive et utile que puisse être cette doctrine de la résolution des équations, si son principe et sa base ne sont pas reconnus par la raison , toute cette doctrine , malgré la vérité de ses résultats , n'a elle-même aucune valeur péremptoire aux yeux de la raison. — Il importe donc essentiellement, comme condition de l'existence scien-

(*) C'est l'ouvrage qui est indiqué ci-dessus, dans la note de la page clxj de l'ouvrage présent.

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ccxviij RÉFORME DE LA

tilupie de la présente doctrine de la résolution des équations, que ses principes premiers, savoir, les lois fondamentales (81) ou (187), pour la méthode philosophique, et la loi primordiale (78) et (79), pour la méthode téléologique , soient démontrés rigoureusement.

bien, c'est ici l'occasion solennelle de nous acquitter, envers l'illustre Académie des sciences de Paris , pour la destruction de nos ouvrages mathématiques en France , pour cette destruction barbare qui , dit-on , a été causée par L'influence perversive de cette savante Académie, nommément par l'influence que, pendant longtemps, elle avait d'abord exercée secrètement, et qu'enfin, pour frapper un coup mortel , elle a exercée et avouée ainsi publiquement , en faisant insérer, dans son journal politique, le National, du 5 juin 1844 ? un rapport où , par de grossières injures , elle a cherché et réussi à tromper le public, spécialement le Conseil général des Ponts et Chaussées , sur la vérité et sur 1 importance de la réforme scientifique de la locomotion, que l'auteur avait soumise à ce Conseil administratif, et qui était sa dernière ressource pour produire ses nombreux travaux, scientifiques et philosophiques.

Mais , que Dieu nous garde d'accuser injustement une si illustre Académie. Bien au contraire , nous allons lui offrir le moyen ou plutôt l'alternative de repousser victorieusement ce grave et odieux soupçon , ou bien , en persistant à considérer comme nuls nos travaux , d'avouer et de constater formellement son inlluence dans leur destruction. — Pour cela, en supposant que l'Académie des sciences de Paris comprenne la haute importance scientifique de la présente résolution générale des équations de tous les degrés, et par conséquent qu'elle conçoive l'importance égale de la démonstration mathématique des principes et des lois qui président à cette décisive résolution, nous offrons de lui donner sur-le-champ cette démonstration rigoureuse , dans le cas où , commençant à entrevoir enfin la présente réforme des mathématiques , elle demanderait au gouvernement les frais nécessaires pour la réimpression de nos ouvrages , de ces ouvrages qui ont été détruits en France, et qui, comme on peut le voir maintenant, forment la préparation scientifique à cette grande réforme. — Dans le cas contraire , dans celui où cette illustre Académie ne voudrait pas provoquer la réimpression de ces ouvrages , en cherchant ainsi à réaliser la prédiction de Hobbes , celle que « même les vérités mathématiques ne sauraient s'établir, si des corps puissants avaient un intérêt à leur destruction , » l'auteur, pour pouvoir léguer à la postérité un exemple décisif de cet infernal abus de l'autorité de la science , se verrait forcé d'ensevelir dans sa tombe ces vérités fondamentales , en faisant ici solennellement à cette savante Académie un défi éternel de donner elle-même, car elle ne le pourra jamais, la démonstration mathématique de ces hautes vérités, afin que la postérité puisse prononcer, tout à la fois, et sur la capacité scientifique et sur la valeur morale des corps savants.