CHAPITRE II
De Paddition et de la soustraction des quan.
tites directes et inverses.
Ne avons déja observé qu’un certain nombre de problèmes, qui paraissaient 1 indiquer et demander des additions, ne pou- f vaient cependant se résoudre que par des soustractions. ( $. 17. 27. 28. 29.) | |
Le contraire a lieu aussi. Mais avant de | à nous occuper de ces sortes de questions, nous allons parler de celles qu’on peut prendre à la lettre; et qui n’ont aucun besoin
Addition effective.
$. 44. On ne peut vraiment ajouter,
d’être redressées ou rectifiées. À comme nous le savons, ($. 14. 1°.), que |
des quantités homogènes et semblables.
Ainsi, quand il s’agit de quantités directes ‘h
et inverses, on ne peut ajouter que le direct | !
avec le direct, et l'inverse avec l’inverse.
$. 45. Cela posé, ajoutons d’abord une quantité directe avec une autre quantité di-
recte plus grande ou plus petite que la première,
Ajoutons, par exemple, 4- 2 avec +3, OU + 3 avec 2
Ce sera ajouter 2 direct avec 3 direct, ou 3 direct avec 2 direct, pour avoir $ direct, ou E 5.
Pour représenter ces deux cas, nous écrirons: + 3 H +2 et+o Æ + 3; le signe L du milieu étant ici le signe de l’opération, ou de l’addition, et les deux autres marquant que les quantités 2 et 3 sont - directes.
Or, le résultat de ces deux additions devant manifestement être + $ , comme nous venons de le dire, nous aurons :
GET pétr U/TESS RTS SR SR SE re CR je
S. 46. Mais il est bien clair qu'on aurait
obtenu le même résultat, en considérant les expressions
(33 9 expressions + 3 Æ + 2 et L2H£L 3;
comme indiquant la combinaison d’une quantité directe, prise directement, (S. A1. 1°.), avec une autre quantité directe ; et en écri: vant, d’une manière abrégée :
$. 47. Or, comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’au< tres nombres directs quelconques, entiers ou fractionnaires, il en résulte que pour additionner deux quantités directes , il suffit de Les écrire l'une à ln suite de Pautre avec leurs signes ; et de les réduire alors à la plus Simple expressivn. é
$. 48. Ajoutons à présent une quantité inverse avec une autre quantité inverse plus grande ou plus petite que [a première.
Ajoutons, par exemple, — 2 avec — 3, OÙ — 3 ayEC — 2.
Ce sera ajouter 2 inverse ayec 3 inverse ,
ou 3 inverse avec 2 invérse, pour avoir f inverse , OU — $.
Pour représenter ces deux cas, nous écrirons: — 3 + — 29 et — 2 + — 3; le signe +- du milieu étant ici le signe de l’opétation , ou de l'addition, et les deux autres signes — marquant que les quantité 3 et 2 sont inverses.
Or, le résultat de ces deux additions devant manifestement être — $, comme nous venons de le dire, nous aurons :
$. 49. Mais il est bien clair qu’on aurait obtenu le même résultat en considérant les expressions — 3+—2et—2+—3, comme indiquant la combinaison d’une quantité inverse, prise directement, (S. AI. 2°.), ayec une autre quantité inverse, et en écri-
vant, d’une manière abrégée :
ASE = re CE).
PSE 9 — 2 — 3
S. so. Or, comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres inverses quelconques, entiers ou fractionnaires , il en résulte que pour additionner deux quantités inverses, il suffit de les écrire lune à Ia suite de l'autre, avec leurs signes ; et de les réduire alors à la plus simple
expression.
(1) On a vu, dans l’arithmétique, que toute expression comme celle-ci : 9 — 3 — 2, ne signifie point qu’il faille retrancher la dernière quantité de la seconde, avant de retrancher la seconde de la première; qu’elle signifie , au contraire , qu’il faut retrancher de la première quantité toutes celles qui viennent ensuite avec le signe ——; en disant, dans ce cas: 9 — 3 —6, et 6 — 2— 4; ou, tout d'un coup: 9—ç$ — 4,
Or, comme les quantités inverses doivent se rapporter aux quantités à soustraire, il en résulte que toute expression comme celle-ci: — 3 — 2, signifiera que les deux quantités inverses indiquées doivent être réunies, pour n’en former qu’une seule; en disant ,
dans ce Cas: ——3 2 —— 6,
$. sr. Donc, pour faire Paddition effective de deux quantités directes, (S. 46.), ou de deux quantités inverses, (S. 48.), 1l suffit d'écrire ces quantités l'une à la suite de Pautre avec leurs signes; ct de les réduire alors à la plus simple expression. Ce qui peut facilement s'appliquer à l’addition d’un plus grand nombre de quantités.
Soustraction effective bien présentée.
$. $2. La soustraction proprement dite ne peut avoir lieu, comme nous le savons, CS: 14. 1°.), qu'entre des quantités homogènes et semblables.
Ainsi, quand il s’agit de quantités directes et inverses, on ne peut soustraire que le di-. rect du direct, et l'inverse de l’inverse.
$. 53. Ce n’est pas tout: ce serait une illusion que de penser qu’on peut soustraire une quantité plus grande d’une quantité plus petite ; fussent-elles même homogènes et semblables, La question qui le demanderait
serait mal présentée, et elle exigerait sans doute une rectification. Nous en parlerons dans un moment. s
$. $4. Cela posé, soustrayons d’abord une quantité directe plus petite d’une quantité directe plus grande.
Soustrayons, par exemple, + 2 de + 3.
Ce sera soustraire 2 direct de 3 direct, pour avoir le reste I direct, ou +1.
Pour représenter cela, nous écrirons :
+3 —+2; le signe — du milieu étant ici le signe de l'opération ou de la soustraction, et les deux autres marquant que les quantités 3 et 2 sont directes.
Or. le résultat de cette soustraction devant manifestement être - 1, comme nous venons de le dire, nous aurons:
ne poor.
$. $5. Mais il est bien clair qu'on aurait
obtenu le même résultat en considérant l’ex-
pression + 3 — #} 2 comme indiquant la C 3
combinaison d’une quantité directe, prise inversément, (S. 41. 3°.), avec une autre quantité directe ; et en écrivant, d’une manière abrégée :
