EE
tité quelconque par un nombre direct, c’est prendre cette quantité directement, c’est-àdire, avec son signe, autant de fois que l’indique le multiplicateur. ($. 39. 40. 41. 86.)
Il en résulte que le produit se trouvera direct si le multiplicande est direct; et qu’il se trouvera inverse si le multiplicande est inverse.
C’est même là la seule multiplication véritable, car le produit n’étant composé que du multiplicande pris autant de fois que l'indique le multiplicateur, ces deux quantités, le multiplicande ét le produit doivent nécessairement
être homogènes et semblables.
$. 88: Muitiplier, par exemple, + 4 ‘14 par +3, cest prendre + 4 trois fois directement, c’est-à-dire, trois fois avec son signe. fl CS. 87.) 1 D'ailleurs, en général, le direct pris directement reste direct. ($. 41. 1°.)
l Donc+4x+3=+4+4+4— À + 12.
! | &, 89. Et comme on pourrait raisonner | de la même manière avec d’autres nombres,
Crrer) qui seraient dans le cas de ceux-là, ilenrésulte qu'une quantité directe, multipliée par une quantité directe, donne un produit direct.
Ou, ce qui revient au même, que
$. 90. De même, multiplier — 4 par +3, C’est prendre la quantité — 4 trois fois directement ; c’est-à-dire, trois fois avec son signe. ($. 87.)
D'ailleurs, en général , l'inverse pris direc-
tement reste inverse, ($. 41. 2°.)
Donc — 4 x+H 3 ——4—4—4—
$. 91. Et comme on pourrait raisonner de la même manière avec d’autres nombres, qui seraient dans le cas de ceux-là, il en résulte qu'uve quantité inverse, maultipliée par une quantité directe, donne un produit inverse.
(x) Lisez: Le direct pris directement c’est Le direct.
C172) Ou, ce qui revient au même, que OX = — (r).
$. 92. Donc, dans toute multiplication , quand le multiplicateur est direct, le produit a le ième signe que le multiplicande. (S. S7.
Mulsiplication effective mal présentée, le mul-” tiplicateur étant inverse. *
$. 93. Si multiplier une quantité quelconque par un nombre direct, c’est prendre cette quantité directement, c’est-à-dire, avec son signe, autant de fois que l'indique le multiplicateur, (S.87.); en échange, multiplier une quantité quelconque par un nombre in= verse, c’est prendre cette quantité inversément, c’est-à-dire, avec un signe contraire au sien, autant de fois que l'indique le multiplicateur. ‘CS: 39. 40. 4I. 86.)
Il en résulte que le produit se trouvera
(x) Lisez: Linverse pris directement Cest l'inverse.
CEE 0) | inverse si le multiplicande est direct; et qu’il | se trouvera direct si le multiplicande est in- |
Yerse.
Mais nous entrevoyons déja que ces opé- M rations ne peuvent être que mal présentées, "4
CS. 86. 87.); et c’est ce que nous allons À examiner plus en détail.
$. 94. Multiplier, par exemple, + 4 par — 3 , c’est prendre Ja quantité + 4 trois fois inversément ; c’est-à-dire, trois fois avec un
Te
Lee
signe contraire au sien. ($. 93.) D'ailleurs, en général, le direct pris inver- 14
EE
sément devient inverse. ($. 41. 3°.) ESPt2: |
| | Donc 4x—3 ——4—4—14— | $. 95. On voit manifestement ici que cette multiplication revient à celle du $. 90; et !1 que demander de multiplier + 4 par — 3, k c’est dans le vrai demander de multi-
plier — 4 par 3 , ou par + 3. ($. 86.) (1). Ip:
. } | (x) Demander de multiplier 4 direct par 3 inverse, 6
$. 96. Noussavons, d’ailleurs, qu’un pro= duit ne peut contenir que des quantités sem blables à celles du multiplicande, et que, par conséquent, un multiplicande vraiment direct, ne saurait donner un produit inverse.
Si nous parlons, dans la suite, comme si la chose était possible , et si nous indiquons des produits inverses pour des multiplicandes directs, ce ne sera là qu’une manière de répondre à des questions mal présentées; et nous serons, du moins, bien avertis de ce que nous ferons.
$. 97. Par exemple, nous venons de voir que + 4 x — 3 n’est autre chose, dans le vrai, que — 4 x +3, (S. 95.). Mais comme — 4x3 ——12,(S.90),ilny
c'est demander de prendre 4 direct trois fois inversé. ment. ((. 86.)
Mais 4 direct, pris inversément, n’est autre chose que 4 inverse. (.41. 32.)
Donc demander de multiplier 4 direct par 3 inverse, c’est demander de prendre trois fois 4 inverse; ou de multiplier 4 inverse par 3.
Cas) | aura pas d'erreur à craindre en disant, immé- 1 diatement, ainsi que nous l'avons déja fait, | C$S.94), queæ4x—3—— 12. - 4 $. 98. Et comme on raisonnerait de la 1 même manière avec d’autres nombres qui seraient dans le cas de ceux-là, on peut dire, en général, que pour trouver la réponse aux questions mal présentées, qui demandent de | multiplier une quantité directe par un nombre inverse, il suffit de prendre un produit inverse, | CS 93.) : (| |
Ou, ce qui revient au même, que
Hx——=— (GG) |
$. 99. De même, multiplier — 4 par ‘4 — 3, c’est prendre la quantité — 4 trois fois | inversément ; c’est-à-dire trois fois avec un signe contraire au sien. (S. 93.) LJ D'ailleurs, en général, l'inverse pris inver- ge: sément devient direct. ($. 41. 4°. etS. 85.) (1 Donc — 4 x—3—=+4+4+4 4 — Le + 12.. |
(zx) Lisez : Le direct pris inversément c'est inverse.
$. 100. On voit manifestement ici qué cette multiplication revient à celle du S. 88; et que demander de multiplier — 4 par — 3, c’est dans le vrai demander de multiplier + 4 par 3, oupar+ 3. (1).
$. 101. D'ailleurs, et nous le répétons encore, un produit ne peut contenir que des quantités semblables à celles du multiplicande; et, par conséquent, un multiplicande vraiment inverse ne saurait donner uñ produit direct.
Si nous parlons, dans la suite, comme si la chose était possible, et si nous indiquons des produits directs pour des multiplicandes inverses, ce ñe sera là qu’une manière de répondre à des questions mal présentées; et
(x) Demander de multiplier 4 inverse par 3 inverse, c’est demander de prendre 4 inverse trois fois inversé. ment. ( ( 86. )
Mais 4 inverse pris inversement, n’est autre chose que 4 direct. (%. 4r. 4°. et (. 85.)
Donc, demander de multiplier 4 inverse par.3 inverse, c’est demander de prendre trois fois 4 direct, ou de multiplier 4 direct par 3.
nous serons, du moins, bien avertis de ce que nous ferons.
$. 102. Par exemple, nous venons de voir que — 4x— 3 n’est autre chose, dans le vrai, que + 4x +3, (S$. 100). Mais comme + 4x+3—+I12,(S.S88.),il n’y aura pas d'erreur à craindre en disant ; immédiatement, ainsi que nous l’avons déja fait , (S. 99.) , que — 4x—3—"%+# 102.
S. 103. Et comme on raisonnerait de Ia même manière avec d’autres nombres qui seraient dans le cas de ceux-là, on peut dire, en général, que pour trouver la réponse aux questions mal présentées , qui demandent de anultiplier une quantité inverse par un nombre inverse, 11 suffit de prendre un produit direct. CS: 93.)
Ou, ce qui revient au même, que
—— XX — — + (1 )E $. 104: Donc, dans toute multiplication |
(x) Lisez: L’inverse pris inversement c'est le direct.
(ECS, guand le multiplicateur est direct, le produit a le mème signe que le multiplicande, (S. 92); et quand le multiplicateur est inverse, le produit a un signe contraire à celui du multiplicande. (S. 93.98. 103.)
&. 105$. Faisons encore ici une observa.
tion, et ne craignons point dans des matières semblables; de nous répéter, et de nous ré.
péter souvent.
S'il est incontestable qu'il n’y a de véritables multiplications que celles dans. lesquelles le multiplicateur est direct, il n’en est pas moins vrai pour cela que ces opérations se présentent souvent au calculateur sous le point de vue de multiplications par des nombres inverses.
Or, en suivant la règle donnée pour ces cas-là, on obtient un résultat qui répond bien plus à la véritable question qu’à la question mal présentée.
L'essentiel est que les commençans soient prévenus ; et il me parait qu’on néglige de
le faire.
S'ils sont prévenus, ils sauront qu’on n’a jamais de véritable multiplicateur inverse; et que multiplier, par exemple, linverse par l'inverse ; c’est proprement et rigoureusement, multiplier le direct par le direct; ce qui doit donc, sans aucune difficulté, donner un produit direct. ($. 95. 100.) (x).
Divisions effectives bien et mal présentées.
21°. Le dividende et le diviseur ayant le même signe.
$. 106. La division sert à partager une quantité en parties égales, soit pour connaître le nombre de ces parties , la valeur d’une seule étant donnée, soit pour connaitre la valeur d’une partie , leur nombre étant donné. ( Z’oyez l'Arithmétique à Ernile. )
Ainsi, si l’on nous demande de diviser 12 par + 4, ce sera, ou pour chercher combien de fois + 4 est contenu dans + 12, ou pour diviser + 12 en +4 parties égales. Et
(:) Voyez la table numéro 3, à la fin de l'ouvrage,
