CHAPITRE III
De ^addition et de la soustraction des quatù tités directes et inverses.
§.43. 1^0 U s avons déjà observé qu’un certain nombre de problèmes, qui paraissaient indiquer et demander des additions , ne pouvaient cependant se résoudre que par des soustractions. (§. 17. 27. 28- 29. )
Le contraire a lieu aussi. Mais avant de nous occuper de ces sortes de questions, nous allons parler de celles qu’on peut prendre ^ la lettre; et qui n’ont aucun besoin d’être redressées ou rectifiées.
Addition effective.
§. 44. On ne peut vraiment ajouter , comme nous le savons, (§. 14. l“. ), que des quantités homogèdes et semblables.
Ainsi , quand il s’agit de quantités directes et inverses, on ne peut ajouter que le direct avec le direct, et l’inverse avec l’inverse, . v
§, 4f . Cela posé , ajoutons d’abord une quantité directe, avec une autre quantité directe plus grande ou plus petite que la première.
Ajoutons , par exemple , + 2 avec + j , ou -f- 3 avec -f- 2.
Ce sera ajouter 2 direct avec 3 direct , ou 3 direct avec 2 direct , pour avoir f direct,
ou 4 - f-
Pour représenter ces deux cas , nous écrirons : 4 - 3 ++a et 4-2 + 4 - 3; le signe + du milieu étant ici le signe de l’opération , ou de l’addition , et les deux autres marquant que les quantités 2 et 3 . sont directes.
Or , le résultat de ces deux additions devant manifestement être + f , comme nous venons de le dire , nous aurons :
- §. 46. Mais il est bien clair qu’on aurait obtenu le même résultat , en considérant les
expressions
expressions + 34-
comme indiquant la combinaison d’une quantité directe, prise directement , ^l. 1“,),
avec une autre quantité directe; £t en écrivant , d’une manière abrégée :
§. 47. Or, comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres directs quelconques , entiers ou fractionnaires , il en résulte que pmr additionner deux quantités directes , il suffit de les écrire tune À la suite de Vautre avec leurs signes ; et de les réduire alors à la plus simple expression.
§. 48. Ajoutons à présent une quantité inverse avec une autre quantité inverse plus grande ou plus petite que la première.
Ajoutons , par exemple , — a avec — 3 , ou — 3 avec — a.
Ce sera ajouter a inverse avec 3 inverse ;
ou 3 inverse avec 2 inverse, pour avoir f inverse , ou — f.
Pour représenter ces deux cas , nous écrirons : — 34 ^ — 2+ —
signe + du milieu étant ici le signe de l’opération . ou de l’addition , et les deux autres signes — marquant que les quantité 3 et 2 sont inverses.
Or , le résultat de ces deux additions devant manifestement être — f , comme nous f venons de le dire , nous aurons :
§. 49. Mais il est bien clair qu’on aurait obtenu le même résultat en considérant les
expressions — 34 2 et — 24 * — 3 »
comme indiquant la combinaison d’une quantité inverse, prise directement , 41. 2°.),
avec une autre quantité inverse, et en écrivant , d’une manière abrégée :
§. fo. Or, comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres inverses quelconques , entiers ou fractionnaires , il en résulte que pour additionner deux quantités inverses, il suffit de les écrire l'ime à la suite de Vautre, avec leurs signes; et de les réduire alors à la plus simple expression.
( I ) On a vu, dans l’arithmétique, que toute expression comme celle-ci : 9 j — — 2, ne signifie point
qu’il faille retrancher la dernière quantité de laseconde, avant de retrancher la seconde de la première; qu’elle signifie, au contraire , qu’il faut retrancher de la première quantité toutes celles qui viennent* ensuite avec le
signe ; en disant , dans ce cas : 9 j = 6 , et
^ 2 = 4 ; ou , tout d’un coup : 9 — ■ ç rrr 4.
Or , comme les quantités inverses doivent se rappor* ter aux quantités à soustraire, il en résulte que toute expression comme celle - ci : — j — 2 , signifiera que les deux quantités inverses indiquées doivent être réunies, pour n’en former qu’une seule; en disant, dans ce cas ; — 3 3 rrx — i j,
§. fl. Donc, pour faire l'addition effective' de deux qiiajitite's directes , ( §. 45 . ) » ou de deux quantités inverses ^ ( §• 48* ) > suffit d'écrire ces quantités tune à la suite de Vautre avec leurs signes; et de les réduire alors à la plus simple expression. Ce qui peut facilement s’appliquer à l’addition d’un plus grand nombre de quantités.
Soustraction effective bien présentée.
§. f2. La soustraction proprement dite ne peut avoir lieu , comme nous le savons , (§.14. 1°. ), qu’entre des quantités homogènes et semblables.
Ainsi , quand il s’agit de quantités directes et inverses , on ne peut soustraire que le direct du direct , et l’inverse de l’inverse.
§. f 3. Ce n’est pas tout : ce serait une illusion que de penser qu’on peut soustraire une quantité plus grande d’une quantité plus petite j fussent - elles même homogènes et semblables. La question qui le demanderait
serait mal présentée, et elle exigerait sang doute une rectification. Nous en parlerons dans un moment.
§. f4. Cela posé, soustrayons d’abord une quantité directe plus petite d’une quantité directe plus grande.
Soustrayons, par exemple, +2 de + 3.
Ce sera soustraire 2 direct de 3 direct , pour avoir le reste i direct , ou 4- l.
Pour représenter cela , nous écrirons :
4“ 3 — + 2 ; le signe — du milieu étant ici le signe de l’opération ou de la soustraction ^ et les deux autres marquant que les quantités 3 et 2 sont directes.
Or, le résultat de cette soustraction devant manifestement être + i , comme nous venons de le dire , nous aurons :
§. f f. Mais il est bien clair qu’on aurait obtenu le même résultat en considérant l’expression + ^ -w 4" 2 comme indiquant la
combinaison d’une quantité directe, prise inversement, ( §. 41. 3° ), avec une autre quantité directe; et en écrivant, d’une manière abrégée :
Or, comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres directs , entiers ou fractionnaires , fussent - ils même égaux , il en résulte que pour soustraire une quantité directe éCune autre quantité directe égale ou plus grande , il suffit d’écrire ces quantités tune n la suite de Vautre , en changeant le signe de celle qui est à soustraire ; et de les réduire alors « la plus simple expression.
§. fy. Soustrayons à présent une quantité inverse plus petite d’une quantité inverse plus grande.
Soustrayons , par exemple , — 2 de — 3.
Ce sera soustraire 2 inverse de 3 inverse, pour avoir le reste l inverse, ou — I.
Pour représenter cela , nous écrirons ;
— 3 Z; le signe — ■ du milieu étant ici lé
signe de l’opération , ou de la soustraction , et les deux autres marquant que les quantités 3 et 2 sont inverses.
Or, le résultat de cette soustraction devant manifestement être — I „ comme nous venons de le dire , nous aurons :
§. f S. Mais il est bien clair qu’oa aurait obtenu le même résultat , en considérant l’expression — 3 2 comme indiquant la com-
binaison d’une quantité inverse prise inversément, ( §. 41. 4°. ) , avec une autre quantité inverse ; et en écrivant, d’une manière abrégée :
§. S" 9 - Or, comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres inverses , entiers ou fractionnaires, fussent- ils même égaux, il en résulte que pour soustraire une quantité inverse â!une autre quatité inverse égale ou plus grande , il
iùffit d'écrire ces quantités l'une à la suite de l’autre , en changeant le signe de celle qui est à soustraire ; et de les réduire alors à la plus simple expression,
§. 6o. Donc, pour soustraire une quantité directe d'une autre quantité directe , égale ou plus grande, (§. f6. ) > ou une quantité inverse d'une autre quantité inverse égale ou
plus grande , ( §. fp. ) , il suffit décrire ces quantités l'une n la suite de t autre , en changeant le signe de celle qui est à soustraire ; et de les réduire alors n la plus simple expression. Ce qui peut facilement s’appliquer à la soustraction d’un plus grand nombre 'de quantités.
§. 6l. Observons d’ailleurs une chose, qui 'résulte évidemment de tout ce que nous avons dit sur l’addition et la soustraction , c’est que:
I®. Ajouter une quantité B avec une quantité A , revient à combiner avec une quantité A une quantité B prise directement , ( §. 46. 49. ) , ou prise avec son signe. ( §. 39, )
2°. Soustraire une quantité B d’une quan-
tité A , revient à combiner avec une quantité A une quantité B prise inversement, - ( §• f f- f 8- ) ou prise avec un signe contraire au sien. ( §. 39. )
Soustraction effective mal présentée.
§. 62. Continuons d’appliquer la soustraction à des quantités homogènes; mais supposons qu’on nous demande de soustraire une quantité plus grande d’une quantité plus petite.
Nous avons déjà dit, (§. fj.), que ees questions , mal présentées , ne pouvaient se résoudre qu’au moyen d'une rectification.
§. 63. Imaginons donc que l’on nous demande de soustraire -f" 3 + 2 .
Pour tâcher de découvrir comment cette question doit être rectifiée , nous la traduirons ainsi : Combiner avec la quantité -J* 2 , la quantité -f- 3 prise inver sèment , ou prise avec un signe contt'aire au sien. ( §. 6I. )
. Cette traduction en amènera une autre que
voici : Combiner avec la quantité ^ 3 fi quantité — 3.
En d’autres termes : Combiner 3 inverse avec 2 direct ^ ou 3 direct avec 3 inverse.
Or, il est clair que la combinaison de 3 inverse avec 3 direct , ou de 3 direct avec 3 inverse , doit avoir pour résultat I inverse.
Mais ce résultat ne peut s’obtenir qu’en retranchant le nombre 3 du nombre 3.
Et comme on ne peut retrancher d’une quantité quelconque qu’une quantité homogène , il faut que la quantité 3 soit de même espèce que la quantité 3 ; c’est-à-dire, inverse comme elle. Sans cela on n’aurait pas une différence inverse.
D’où il suit que notre opération se réduit à soustraire — 3 de — 3 , pour avoir le reste — l.
Donc , demander de soustraire -f- 3 de -}- 3, c’est dans le vrai demander de soustraire — 3 de — 3 ; quoiqu’on ne voie pas, au premier moment, le rapport qu’il y a
entre ces deux questions; dont la première, prise à la lettre , est impossible C ^ '
( I ) Qu’on ne pense pas que j’aille trop loin , et que ce ne soit ici qu’une combinaison de l’inverse avec le direct ; car la question qui demanderait cette combinaison serait également mal présentée, et abrait besoin de rectification.
Combiner ou ajouter une quantité inverse plus petite avec une quantité directe plus grande , c’est proprement soustraire le direct du direct. (§. Jo*)*
En échange, combiner ou ajouter une quantité inverse plus grande avec une quantité directe plus petite, c’est proprement soustraire l’inverse de l’inverse ; comme nous venons de le faite voir.
La question du §. 29 pourra nous aider à éclaircir tout cela. Elle était conque en ces termes : A quedc distance vers l'orient est placé un point qui est à 6 mètres vers T orient ^ et en mime tems à 10 mètres vers r occident ?
Elle demandait donc de combiner 6 vers l’orient , ou 6 direct , avec 10 vers l'occident , ou 10 inverse , pour en former une distance vers T orient.
Notre réponse aurait dû être : 4 inverse vers Torient ; et le vrai sens de cela aurait été qu’en retranchant, 6 vers l’occident, ou 6 inverse ^ de 10 vers l’occident, ou de 10 inverse , il restait 4 vers l’occident , ou 4 in. verse } car il est impossible qu’un seul et même point soit en même tems vers l’orient et vers l’occident; c’està-dire qu’il occupe deux places à la fois.
Cette question , en demandant de combiner jo in.
Donc , ce cas revient exactement à celui
§• f 7 » *iui est une soustraction effective bien présentée.
Pour représenter cela , nous pourrons écrire :
Mais, — 3 2=— 34-2. (§. fS-)
Et d’ailleurs , il est bien clair, comme nous l’avons déjà fait sentir, que
verse avec 6 direct, demandait donc, dans le vrai, de soustraire 6 inverse de lo inverse.
Mais, comme nous n’avions pas encore appris à représenter le direct et l’inverse par leurs signes , nous avons traduit cette question ainsi : A quelle distance vers F occident est placé un point qui est à xo mètres vers F occident , et en même tems à 6 mètres vers F orient ?
Par cette traduction l’occident est devenu direct et l’orient inverse; et il a s’agi alors de cohibiner 6 vers I orient, ou 6 inverse, avec lo vers l’occident, ou lO direct , pour en former une distance vers Foccident.
Notre réponse a donc été ; 4 direct vers Foccident f ce qui est synonÿme de 4 inverse vers Forient ,• et le Trai sens de cela était également, qu’en retranchant 6 ▼ers l’occident, ou 6 direct, de 10 vers l’occident* ou de 10 direct, il restait 4 vers l’occident, ou 4 direct.
Ainsi , cette seconde question , en demandant de combiner 6 inverse avec 10 direct, demandait dans le Trai de soustraire 6 direct de 10 direct.
Digitizt C'iMigU
Donc, + 2 — 4 - 3 = + 2 — 3 =^I.
§. 64. Or , comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres directs , entiers ou fractionnaires , il en résulte que pour trouver la réponse aux questions mal présentées qui demandent de soustraire une quantité directe plus grande ééune quantité directe plus petite , il suffit d'écrire ces quantités i tune à la suite de Vautre ^ en changeant le signe de celle qui est à soustraire ; et de les réduire alors à la plus simple expression.
§. 6f. Imaginons , maintenant, qu’on nous demande de soustraire — 3 de — 2.
Pour tâcher de découvrir comment cette question doit être rectifiée , nous la traduirons ainsi : Combiner avec la quantité — 2, la quantité — > 3 prise inver sèment t ou prise avec un signe contraire au sien. (§. 6l.)
Cette traduction en amènera une autre que voici : Combiner avec la quantité — Z la quantité 4-3.
En d’autres termes : Combiner 3 direct avec 2 inverse , ou 2 inverse avec 3 direct.
Or, il est clair que la combinaison de 3 direct avec 2 inverse , ou de 2 inverse avec 3 direct , doit avoir pour résultat I direct.
Mais ce résultat ne peut s’obtenir ici qu’en retranchant le nombre 2 du nombre 3 .
Et comme on ne peut retrancher d’une quantité quelconque qu’une quantité homogène , il faut que la quantité 2 soit de même espèce que la quantité 3 ; c’est-à-dire , directe comme elle. Sans cela on n’aurait pas une différence directe.
D’où il suit que notre opération se réduit à soustraire + ^ de + 3 > pour avoir le reste + I-
Donc, demander de soustraire — 3 de —
2 , c’est dans le vrai demander de soustraire + 2 de 4“ 3 ; quoiqu’on ne voie pas, au premier moment , le rapport qu’il y a entre ces deux questions ; dont la première , prise à la lettre , est impossible. ( §. 63 . note.”)
Donc , ce cas revient exactement à celui
du §. f 4 , qui est une soustraction effective, bien présentée.
Pour représenter cela , nous pourrons écrire :
Mais, + 3 î-2 =4- 3 —2. (§. ff.)
Et, d’ailleurs, il est bien clair, comme nous l’avons déjà fait sentir , que
Donc, — 2 3 = — .2+î=+I.
§. 66 . Or , comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres inverses , entiers ou fractionnaires , il en résulte que, pour trouver la réponse aux questions mal présentées qui demandent de soustraire une quantité inverse plus grande ^ éCune quantité inverse plus petite , il suffit (Pé~ crire ces quantités, Vune à la suite de t autre, en changeant le signe de celle qui est à sous~ traire ; et de les réduire alors o la plus simple expression.
§. 67 . Donc, pour répondre aux ques^
tionS i mal présentées 3 qui demandent de sous~ traire une quantité directe plus grande , dune quantité directe plus petite , ( §. 64. ) , ou une quantité inverse plus grande , d'une quantité inverse plus petite , ( §. 66. ) , il suffit d'écrire ces quantités , tune à la suite de Poutre , e7t changeant le signe de celle qui est à soustraire; et de les réduire alors à la plus simple expression. Ce qui peut facilement s’appliquer à la soustraction d’un plus grand nombre de quan> tités.
Addition nominale.
[Véritable soustraction. ( §, 4}.)]
§. 68- Si l’on nous demandait d’ajouter une quantité inverse avec une quantité directe , ou une quantité directe avec une quantité inverse , nous reconnaîtrions bientôt que, sous le nom d’une addition , on nous- demande une véritable soustraction. ( §. 17. 27. 28 -' 29 . 30. 63 note. )
§. 69. Essayons d’abord d’ajouter une quantité inverse plus petite , avec une quantité directe plus grande, ou une quantité
directe
directe plus grande avec une quantité inverse plus petite.
Imaginons , par exemple , qu’<^n nous demande d’ajouter — 2 avec -J- 3 , o« -f. 5 avec — 2.
Pour tâcher de découvrir comment cette question doit être rectifiée , nous la traduirons ainsi : Combiner avec la quantité -f. j , la quantité — 2 , prise directement , c’est-à- -dire y prise avec son signe, ( §. 6 l.j; ou combiner avec la quantité — 2 , la quantité + 3 » prise directement , c’est-à-dire , prise avec son signe. (§. 6I.)
Cette traduction en amènera une autre que voici : Combiner avec la quantité ’d-'ila quantité — 2 ; ou combiner avec la quantité — 2 la quantité + 3 .
En d’autres termes ; Combiner 2 inverse avec 3 direct, ou 3 direct avec 2 inverse.-
Or, il est clair que la combinaison de 2 inverse avec 3 direct , ou de 3 direct avec 2 inverse, doit avoir pour résultat i direct.
Mais ce résultat ne peut s’obtenir ici qu’en
( fo ),
retranchant le nombre 2 du nombre J.’
Et comme on ne peut retrancher d’une quantité quelconque qu’une quantité homogène , il faut que la quantité 2 soit ici de même espèce que la quantité ? ; c’est-à-dire, directe comme elle. Sans cela on n’aurait pas une différence directe.
D’où il suit que notre opération se réduit à soustraire -f- 2 de -f* 3 > pour avoir le reste -f- I.
Donc demander d’ajouter — 2 avec + J ou + 3 avec — 2 , c’est , dans le vrai , demander de soustraire -j- 2 de -f- 3 ; quoiqu’on ne voie pas , au premier moment , le rapport qu’il y a entre ces deux questions ; dont la première , prise à la lettre , est impossible.
Donc ce cas revient exactement à celui du §. , qui est une soustraction effective bien
présentée; à laquelle nous avions déjà rapporté le cas du §. 6f.
C’est-à-dire que soustraire — 3 de — 2 , (§• et ajouter-!- 3 avec — 2,(§- 6^),
en)
tout cela revient , dans le fond , à soustraire H- 2 de + 9 - ( §. f 4 - )
Pour représenter l’opération actuelle, nous pourrons écrire :
ou ^ =zz + 9 — + 2-'
Mais + 9 — + 2 = + 3 — 2. (§. ff.)'
£t d’ailleurs il est clair que
Donc^ OU >— '] • I»
§. 70. Or , comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres, entiers ou fractionnaires, il en résulte que pour faire l’additiom nominale d'une quantité directe plus grande avec une quantité inverse plus petite , il suffit (décrire ces quantités lune après l autre , en conservant leurs signes , et de faire alors la réduction.
§. 71» Essayons, à présent, d’ajouter une quantité inverse plus grande avec une quantité directe plus petite , ou une quantité directe plus petite avec une quantité inverse plus grande.
Imaginons, par exemple, qu’on nous demande à' ajouter — 3 avec Z » ou Z avec — 3.
. Pour tâcher de découvrir comment cette question doit être rectifiée, nous la traduirons ainsi : Combiner avec la quantité -f- Z la quantité — 3 , prise directement , c'est-à^ dire, prise avec son signe, (§. 61.); ou combiner avec la quantité — i la quantité -J- 2 , prise directement , c'est-à-dire, prise avec son signe. (§. 61.)
Cette traduction en amènera une autre que voici : Combiner avec la quantité + Z la quantité — 3 ; ou combiner avec la quantité — 3 la quantité -f- 2.
En d’autres termes : Combiner 3 inverse avec Z direct , ou z direct an^ec 3 inverse.
Or , il est clair que la combinaison de 3
inverse avec 2 direct, ou de 2 direct avec î inverse, doit avoir pour re'saltat l inverse.
Mais ce résultat ne peut s’obtenir ici (fu’en retranchant le nonibre 2 du nombre
Et comme on ne peut retrancher d’une ' quantité quelconque qu’une quantité homogène , il faut que la quantité 2 soit de même espèce que la quantité 3 ; c’est-à-dire , inverse comme elle. Sans cela on n’aurait pas une différence inverse.
D’où il suit que notre opération se réduit à soustraire — 2 de — 3 , pour avoir le reste
Donc demander d’ajouter — 3 avec -f- 2 , ou -f- 2 avec — 3, c’est, dans le vrai, demander de soustraire — 2 de — 3 ; quoiqu’on ne voie pas , au premier moment, le rapport qu’il y a entre ces deux questions ; dont la première , prise à la lettre , est impossible.
Donc , ce cas revient exactement à celui du §• f 7 » qui est une soustraction effective bien présentée; à laquelle nous avions déjà rapporté le cas du §. 5 ?.
Cest-à-dire que soustraire +3 de -f* 2 , (§• 63 et ajouter — 3 avec -J- 2, (§.71), tout^cela revient, dans le fond, à soustraire
— 2 de— 3. (§. f?-)
Pour représenter l’opération actuelle , nous pourrons écrire ;
ou
- Mais — ? 2 = — 3 + 2. ( §. f 8- )
£t d’ailleurs il est clair que
Donc\ ou
§. 72. Or , comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres entiers ou fractionnaires , il en ré> suite que pour faire l’addition nominale d'une quantité inverse plus grande avec une quantité directe plus petite, il suffit d'écrire
X rr >
€€S quantités t tune après tautrCf en eonser- ‘vant leurs signes , et de faire alors la réduction.
§. 7 ?- Donc , pour répondre aux questions , mal présentées , qui demandent d’ajouter une quantité directe avec une quantité inverse y ou une quantité inverse avec une quantité directe , C§- 70. 72. ) , il suffit décrire ces quan- • tités tune à la suite de t autre , fn conservant leurs sigjtes ; et de les réduire alors à la plus simple expression. Ce qui peut facilement s’appliquer à. l’addition nominale'd’un plus grand nombre de quantités.
Soustraction nominale.
C Véritable addition. (§.4).)]
§. 74. Si l’on nous demandait de sous* traire une quantité inverse d’une quantité directe , ou une quantité directe d’une quantité inverse, nous reconnaîtrions bientôt que, sous le nom d’une soustraction , on nous demande une véritable addition.
§. 7f. Essayons d’abord de soustraire une
quantité inverse d’une quantité directe plus grande ou plus petite.
Imaginons, par exemple, qu’on nous demande de soustraire — a de ■+■ 3 , ou — J de “I” 2.
Pour tâcher de découvrir comment cette question doit être rectifiée , nous la traduirons^
• ainsi : Combiner avec la quantité •\-‘ila quoju tité — 2 prise inversement ^ c'est-à-dire , prise avec un signe contraire au sien, (§. 6l.); ou , combiner avec la quantité -\-2la quantité — 3 prise inversément , c'est-à-dire , prise avec un signe contraire au sien. (§. 6l.)
Cette traduction en amènera une autre que voici ; Combiner 'avec la quantité ‘i la quantité + 2 ; o« , combiner avec la quantité
2 la quantité -f- 3 .
En d’autres termes ; Combiner 2 direct avec 3 direct, ou 3 direct avec 2 direct.
Or , il est clair que la combinaison de Z direct avec 3 direct , ou de 3 direct avec Z direct , doit avoir pour résultat f direct
Mais ce résultat ne peut s’obtenir ici qu’en
ajoutant le nombre 2 avec le nombre 3 , ou le nombre 3 avec le nombre 2.
Et comme on ne peut ajouter que des quantités homogènes , il faut que les quantités 2 et 3 soient ici de même espèce ; c’est. à dire directes. Sans cela on n’aurait pas une somme directe. , ,
D’où il suit que notre opération se réduit à additionner + 2 avec + 3 . ou + 3 avec -i- 2 , pour avoir la somme + f .
Donc demander de soustraire — 2 de -jf- 3> ou — 3 de-f- 2, c’est, dans le vrai, demander d’ajouter +• 2 avec -h 3 , ou -f- 3 avec + 2 ; quoiqu’on ne voie pas , au premier moment, le rapport qu’il y a entre ces deux questions; dont la première , prise à la lettre , est impossible.
Donc , ce cas revient exactement à celui du §. 4f , qui est une addition effective bien présentée.
Pour représenter cela , nous pourrons écrire :
^3 2^ r+3+HFa
ou f = \ 0“
Mais < OU
Donc\ OU r \
§. 76. Or , comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres, entiers ou fractionnaires, il en résulte que pour soustraire kominalement une quantité inverse d'une quantité directe , il suffit d'écrire ces quantités , tune à la suite de l'autre , en changeant le signe de celle qui est à soustraire; et de les réduire alors à la plus simple expression.
§. 77. Essayons à présent de soustraire une quantité directe d’une quantité inverse plus grande ou plus petite. .
Imaginons, par exemple, qu’on nous demande de soustraire + 2 de — 3 , ou + 3 de — 2.
Pour tâcher de découvrir comment cette question doit être rectifiée , nous la traduirons ainsi : Combiner avec la quantité — 3 /a quantité + 2 , prise inversément , c’est-à-dire , prise avec un signe contraire au sien , ( §. 6 l . ) >' oit combiner avec la quantité — 2,1a quantité + 3 J prise inversément , c’est-à-dire , prise avec un signe contraire au sien. ( §. 6 1 . )
Cette traduction en amènera une autre que voici : Combiner avec la quantité — 3 la quantité — 2; ou combiner avec la quantité — 2 la quantité — 3.
En d’autres termes: Combiner 2 inverse avec 3 inverse , ou 3 inverse avec 2 inverse.
Or , il est clair que la combinaison de 2 inverse avec 3 inverse , ou de 3 inverse avec 2 inverse , doit avoir pour résultat f inverse.
Mais ce résultat ne peut s’obtenir ici qu’en ajoutant le inombre 2 avec le nombre 3 , ou le nombre 3 avec le nombre %.
Et comme on ne peut additionner que dei quantités homogènes, il faut que les quan> tités 2 et 3 soient ici de même espèce ; c’està-dire , inverses. Sans cela on n’aurait pas une somme inverse.
D’où il suit que notre opération se réduit à additionner — 2 avec — 3 , ou — 3 avec
— 2 , pour avoir la somme — f .
Donc, demander de soustraire + 2 de
— 3 , ou + 3 de — 2 , c’est , dans le vrai , demander d’additionner — 2 avec — 3 » ou.
■ — 3 avec — 2 ; quoiqu’on ne voie pas , au premier moment , le rapport qu’il y a entre ces deux questions; dont la première, prise à la lettre , est impossible.
Donc, ce cas revient exactement à celui du §. 48 , qui est une addition effective bien présentée.
Pour représenter cela nous pourrons écrire :
ou
§. 78. Or , comme nous aurions opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres , entiers ou fractionnaires , il en résulte que pour soustraire nominalement une quantité directe d^une quantité inverse , il suffit d’écrire ces quantités tune à la suite de Vautre, en changeant le signe de celle qui est tt soustraire; et de les réduire alors à la plus simple expression.
§. 79. Donc , pour répondre aux questions mal présentées , qui demandent de soustraire une quantité inverse dune quantité directe, ( §• 7^' ) > 0» une quantité directe dune quoau tité inverse, (§. 78.)> H ^Hffit décrire ces quantités tune à la suite de P autre , en cban^
géant le signe de celle qui est à soustraire ; et de les réduire alors d la plus simple expression^ Ce qui peut facilement s’appliquer h la soustraction nominale d’un plus grand nombre de quantités.
Résumé de ce qu'on vient de dire sur Paddîtion et la soustraction des quantités directes et inverses.
§. 80. En passant en revue tous les cas possibles de l’addition et de la soustraction des quantités directes et inverses, nous avons eu occasion d’observer :
I®. Que les deux cas de l’addition effective renfermaient les deux cas de la soustraction nominale.
2 ". Que les deux cas de la soustraction effective bien présentée renfermaient les deux cas de la soustraction effective mal présentée , et les deux cas de l’addition nominale ( i ).
(1 ) Voyez les tables numéros 1 et 2, à la fin de i’ouvrage.
Ensorte qu’il est de plus en plus de'montré qu’on ne peut additionner et soustraire que des quantités homogènes et semblables ; et , en outre, qu’on ne peut soustraire d’une quantité quelconque qu’une quantité plus petite.
Toutes les opérations qui sont présentées sous un autre point de vue sont mal présentées; mais les règles ordinaires , c’est-à-dire, celles que nous avons indiquées , ont le double avantage d’être générales, et de corriger, en quelque sorte , les questions vicieuses , souvent même sans que le calculateur s’en doute. Du moins, conduisent-elles toujours à des résultats vrais et conformes à ceux que donneraient ces questions , si elles étaient rectifiées.
Ces règles , éparses ici dans plusieurs arti. des différens , doivent maintenant être rapprochées , et nous les réduirons à deux ; celle pour l’addition, soit effective , soit nominale; et celle pour la soustraction, cfifcctive ou nominale , bien ou mai présentée.
§. 8 l- Résumant donc le contenu des §. f I et 75 , nous dirons :
Pour additionner plusieurs quantités quel* conques y il faut écrire ces quantitéi les unes à la suite des autres , sans changer leurs signes; et faire alors la réduction.
§. 82 . Résumant ensuite le contenu des §. 6 o y 6 ~l et 79 , nous dirons :
Pour soustraire une ou plusieurs quantités quelconques düune ou de plusieurs autres quantités y il faut écrire toutes ces quantités les unes à la suite des autres , en changeant les signes des quantités ti soustraire ; et faire alors la réduction.
§• 83 . Ainsi, pour ajouter -f* avec ' rh 2 f 3 , écrivez: 4- 12 f + 2 f 5 == Hh
. Pour ajouter — f T 4^ avec — 2 5 4 et avec
— 12 y écrivez : — 91^6 — 254 — =
Pour ajouter + i98 i avec — 97 II écrivez : 4- 298 I — 97 4 = 4“ 201 |.
Pour ajouter 4 r 999 2 avec — 23 <î 8 et
avec
avec — 6, écrivez: + I — 2368—
§. 84- De même, pour soustraire ■+• 1298 I de 4- 2f6o, écrivez : +• Zfdo — ■ 1298 l = + I25i l.
Pour soustraire — 2f5 z de — 2937,' écrivez: — 2937+2f6g = — 2680*.
Pour soustraire + 236 et + 1 1 de -f* I2f, écrivez: + I2f — 236 — H ==
Pour soustraire — f98 et — 1 1 de — 489, écrivez: — 489 Hh 5'98 +■ 1 1 = +• 120.
Pour soustraire — 7 1 2 de + 89 f, écrivez ; + 89f +712 = 4-1607.
Pour soustraire + f 4 de — 127, écrivez :
Pour soustraire — 208 de + 49, écrivez ; + 49 + 2o8 = + 2f7.
Pour soustraire + 296 § de — 67 1 , écrivez: — 67! — 296é= — 364|.
