CHAPITRE IV

De la multiplication et de la division des quantités directes et inverses.

' §. 8f- ISfous avons vu C §. 41. ) quele

direct , pris directement , restait direct ; que l’inverse , pris directement , restait inverse ; que le direct , pris inversement , devenait inverse; et enfin que l’inverse, pris inversement, devenait direct. Je demande qu’on veuille bien relire , à cette occasion , le Chapitre second.

Ces résultats n’offrent rien que de très-simple et de très-naturel ; et je me flatte qu’ils ne présenteront aucune difficulté dans le Chapitre 'que je viens d’indiquer.

Celle de toutes ces propositions qui pourrait peut-être embarrasser un peu les commençans , c’est la dernière ; mais elle ne les arrêtera plus s’ils font attention que V inverse^ pris inversement , ce n'est pas l'inverse laissé inverse i mais que c’est t inver se pris dansk

sens contraire de t'inverse; et qui devient', pur conséquent, direct. (§.41. 4°.)

En d’autres termes : 'Prendre tinverse inversement , c'est prendre l’inverse de l’inverse.

Or, il est clair que l’jnverse de l’inverse,' c’est le direct.

Nous savons , par exemple, que l’occident est inverse de l’orient , et que l’orient , à son tour , est inverse de l’occident. ( §. 22. )

Ainsi , quand on parle de l’orient , l’occident est inverse, et, dans ce cas, l’inverse de l’inverse c’est l’inverse de l’occident , c’està-dire, l’orient.

De même, nous savons que les dettes sont inverses des biens , et que les biens , à leur tour , sont inverses des dettes, (§. 22. )

Ainsi , quand on parie de biens , les dettes sont inverses , et , dans ce cas , l’inverse de l’inverse, c’est l’inverse des dettes, c’est-àdire , les biens.

Je le répète donc encore L’INVERSE DE L’INVERSE C’EST LE DIRECT. ... -

§. ^ 6 . Mais , il est bien clair qu’au lieu de prendre les quantités directes et inverses une fois directement ,(§. 41. 1 *. 2 °. ) , ou une fois inversement, ( §. 41. 5',. 4°.), on peut les prendre plusieurs fois directement, ou plusieurs fois inversement

Rien ne nous empêche , par exemple , de prendre la quantité ^ 4 b^ois fois directement, ou trois fois inverséraent

Dans le premier cas , nous aurons :

Et dans le second nous aurons :

Or, ces deux opérations sont deux multiplications ; et nous pouvons dire que la quantité + 4 a été multipliée , dans le premier cas , par 3 directement , ou par -f- 3 , et , dans le second cas , par 3 inversément , ou par

11 est bien vrai que, dans ce dernier cas, la multiplication de ^ 4 par — 3 revient à

DigitL-. by^

une multiplication de — 4 par j , ou pac + 3 ; comme on le voit évidemment ici ; mais nous sommes déjà accoutumés aux opérations mal présentées, et nous reconnaîtrons sans peine que celle-ci en est une.

Du reste les réflexions que nous venons de faire nous engageront à examiner en détail les multiplications par des quantités directes, et les multiplications par des quantités inverses ; et c’est ce qui va nous occuper maintenant.

Quant à ce qu’il faut penser des multiplicateurs fractionnaires , c’est un objet qui a déjà été traité dans l’arithmétique, et sur lequel nous ne reviendrons pas ici ; les signes des quantités étant essentiellement ce qui doit Axer notre attention.

Multiplication effective bien présentée t le multiplicateur étant direct.

§. 87. D’après tout ce que nous avons dit, il est bien clair que multiplier une quan-

tité quelconque par un nombre direct , c’est prendre cette quantité directement, c’est-àdire , avec son signe , autant de fois que l’indique le multiplicateur. ( §. 39. 40. 41.86-)

Il en résulte que le produit se trouvera direct si le multiplicande est direct; et qu’il se trouvera inverse si le multiplicande est inverse.

C’est môme là la seule multiplication véritable , car le produit n’ctant composé que du multiplicande pris autant de fois que l’indique le multiplicateur, ces deux quantités, le multiplicande et le produit doivent nécessairement être homogènes et semblables.

§. 88- Multiplier , par exemple , -f- 4 par -f- 3 , c’est prendre -f- 4 trois fois directement , c’est-à-dire , trois fois avec son signe.

D’ailleurs, en général, le direct pris directement reste direct. (§.41. 1°. )

Donc + 4X + 3 = + 4 + 4 + 4 =

§. 89- Et comme on pourrait raisonner de la même manière avec d’autres nombres ,

qui seraient dans le cas de ceux-là , il eri résulte qu’«wf quantité directe , multipliée par une quantité directe , donne un produit direct. (§• 87- ) ' — C' V- '

Ou, ce qui revient au même ,;qtte

90. De même, multiplier — 4 par 4" 9 » c’est prendre la quantité — 4 trois fois directement; c’est-à-dire trois fois avec son signe. ( §. 87- ) .

D’ailleurs , en général , l’inverse pris directement reste inverse. ( §. 41. 2°. )

Donc — 4 X- 4-3 = — 4— -4— -4 =

§. 91. Et comme on pourrait raisonner de la même manière avec d’autres nombres, qui seraient dans le cas de ceux-là , il en résulte qu’««e quantité inverse , multipliée par une quantité directe, donne un produit inverse.

- “ir'p, ; t;.; T T’.'-

C 1 ) Lisez : Le direct pris directement c’est le direct,

Ou , ce qui revient au même , que

§. 92. Donc , dans toute multiplication , quand le multiplicateur est direct , le produit a le même signe que le nudtipücande. ( §. 87* .89- 91)

Multiplication effective mal présentée ^ le multiplicateur étant inverse.

§. 93. Si multiplier une quantité' quelconque par un nombre direct, c’est prendre cette quantité directement , c’est-à-dire , avec son signe , autant de fois que l’indique le multiplicateur, C§. 87O; en échange, multiplier une quantité quelconque par un nombre inverse , c’est prendre cette quantité inversement, c’est-à-dire, avec un signe contraire an sien, autant de fois que l’indique le multiplicateur. (§• 39 40- 41- 86. )

Il en rcsulte que le produit se trouvera

(1 ) Lisez: L’invenepris direçtçment c'est f inverse»

inverse si le multiplicande est direct ; et qu’il se trouvera direct si le multiplicande est inverse. '

Mais nous entrevoyons déjà que ces opérations ne peuvent être que mal présentées , (§. 86 . 87 .); et c’est ce que nous allons examiner plus en détail.

§. 94. Multiplier, par exemple, -i-4par — 5 , c’est prendre la quantité 4 “ 4 inversément ; c’est-à-dire , trois fois avec un signe contraire au sien. ( §. 93* )

D’ailleurs , en général , le direct pris inversément devient inverse. (§.4I* )

Donc -1- 4 x — 3 = — 4 — 4 — 4 =

§. 9f. On voit manifestement ici que cette multiplication revient à celle du §. 9® > que demander de multiplier -j- 4 — 3 *

•c’est dans le vrai demander de multiplier — 4 par 3 , oupar-4- 3. (§. 86- ) (O*

(i) Demander de multiplier 4 direct par ) inverse ^

§. Ç 6 . Nous savons, d’ailleors, qu’un produit ne peut contenir que des quantités semblables à celles du multiplicande , et que , par conséquent, un multiplicande vraiment direct, ne saurait donner un produit inverse.

Si nous parlons , dans la suite, comme si la chose était possible , et si nous indiquons des produits inverses pour des multiplicandes directs , ce ne sera là qu’une manière de répondre à des questions mal présentées; et nous serons , du moins , bien avertis de ce que nous ferons.

§. 97. Par exemple , nous venons de voir que 4 - 4 X — 3 n’est autre chose , dans le vrai, que — 4 X + 3 , ( §. pf. ). Mais comme— 4 x~h 3 =— ia,(§.90),iln’jr

c’est demander de prendre 4 direct trois fois inversé* ment, ( §. 86. ) '

Mais 4 direct, pris inversément, n’est antre chose que 4 inverse. ( §. 41. j“. )

Donc demander de multiplier 4 direct par ) inverse, c’est demander de prendre trois fois 4 inverse s ou de multiplier 4 inverse par j.

aura pas d’erreur à craindre en disant, immédiatement , ainsi que nous l’avons déjà fait , (§•94). que + 4 X — 5 =— 12.

§. 98 .i Et comme on raisonnerait de la même manière avec d’autres nombres qui seraient dans le cas de ceux-là, on peut dire, en général, que pour trouver la réponse aux questions mal présentées, qui demandent de multiplier une quantité directe par un nombre inverse, il suffit de prendre un produit inverse.

Ou, ce qui revient au même, que

§. 99. De même, multiplier — 4 pat — 3 , c’est prendre la quantité — 4 trois fois ‘ inversément ; c’est-à-dire trois fois avec un signe contraire au sien. ( §. 95. )

D’ailleurs, en général, l’inverse pris inversèment devient direct. (§.41.4° et §. 8f . )

Donc 4x— 3=-1-44-4 + 4 =

by Guogic

( I ) Lisez : Le direct pris inversément c'est rinverse.

§. 100 On voit manifestement ici qué cette multiplication revient à celle du §. 88 ; et que demander de multiplier — 4 par — 3 , c’est dans le vrai demander de multiplier 4- 4 par 3, ou par + 3 . (i).

§. loi. D’ailleurs, et nous le répe'tons encore , un produit ne peut contenir que des quantités semblables à celles du multiplicande; et , par conséquent , un multiplicande vraiment inverse ne saurait donner un produit direct.

Si nous parlons , dans la suite, comme si la chose était possible, et si nous indiquons des produits directs pour des multiplicandes inverses, ce ne sera là qu'une manière de répondre à des questions mal présentées; et

( t) Demander de multiplier 4 inverse par ) inverse., c’est demander de prendre 4 inverse trois fois inversement. ( §. 86 . ) 9

Mais 4 inverse pris inversement , n’est autre chose que 4 direct. ( §. 41. 4“. et §. 8î- )

Donc I demander de multiplier 4 inverse par ) inverse, c’est demander de prendre trois fois 4 (ürcct , ou de multipliée 4 direct par ].

Di^iîi4-3d by GoOgU

mus serons , du moins , bien avertis de ce que nous ferons.

§. 102. Par exemple, pous venons de voir que — 4 x — 3 n’est autre chose, dans le vrai, que + 4 >< + 3 > (§• 100) Mais comme + 4 x 4- 3 = + 12 . ( §. 88- ) , il n’y aura pas d’erreur à craindre en disant, immédiatement , ainsi que nous l’avons déjà feit , ( §. 99 - ) . que — 4 X — 3 = 4 - 12.

§. lOi. Et comme on raisonnerait de la même manière avec d’autres nombres qui seraient dans le cas de ceux-là, on peut dire,

en général , que pour trouver la réponse aux questions mal présentées , qui demandent de multiplier une quantité inverse par un nombre inverse , il suffit de prendre un produit direct.

Ou , ce qui revient au même , que

§. 104. Donc, dojts toute multiplication ^

( I ) Lisez : L'inverse pris inversement c'est le dûect. ( 5 . 8 s.)

quand le multiplicateur est direct^ le produit a le même signe que le multiplicande , ( §. 92 ) ; et quand le multiplicateur est inverse , le produit a un signe contraire à celui du multiplicande. (§.93*98. lO?.)

§. lOf. Faisons encore ici une observation , et ne craignons point dans des matières semblables , de nous répéter , et de nous'répéter souvent.

S’il est incontestable qu’il n’jr a de véritables multiplications que celles dans lesquelles le multiplicateur est direct , il n’en est pas moins vrai pour cela que ces opérations se présentent souvent au calculateur sous le point de vue de multiplications par des nombres inverses.

Or , en suivant la règle donnée pour ces cas-là , on obtient un résultat qui répond bien plus à la véritable question qu’à la question mal présentée.

L’essentiel est que les commençans soient prévenus ; et il me paraît qu’on néglige de le faire.

S’ils sont prévenus , ils sauront qu’on n’a jamais de véritable multiplicateur inverse; et que multiplier , par exemple , l’inverse par l’inverse , c’est proprement et rigoureusement, multiplier le direct par le direct ; ce qui doit donc, sans aucune difficulté , donner un produit direct. ( §. 9f. loo. ) ( i

Divisions effectives bien et mal présentées.

1*. Le dividende et le diviseur ayant le même signe.

§. 106. La division sert à partager une quantité en parties égales , soit pour connaître le nombre de ces parties , la valeur d’une seule étant donnée, soit pour connaître la valeur d’une partie , leur nombre étant donné. ( F'qyez ' t Arithmétique ^ Emile. )

Ainsi , si l’on nous demande de diviser 4“ 1 2 par + 4 > ce sera , ou pour chercher combien de lois -f* 4 est contenu dans + 12 j ou pour diviser Hh 12 en 4-4 parties égales. Et

( t ) Voyez la table numéro }, à la fin de l’ouvragée

ainsi des autres exemples qu’on pourrait choisir.

Quant à ce qu’il faut penser des diviseurs fractionnaires, c’est un objet qui a déjà été traité dans l’arithmétique , et sur lequel nous ne reviendrons pas ici ; les signes des quantités étant essentiellement ce qui doit à présent fixer notre attention.

§. 107. Cela posé, divisons d’abord une quantité directe par une quantité directe ; par exemple , + 12 par -h ^4.

Chercher combien de fois -|- 4 erf contenu dans 4 - I a , c’est chercher combien de fois la quantité directe 4 est contenue dans la quantité directe la.

Or , il est clair que le direct est contenu directement dans le direct ; puisque le direct pris directement reste direct. (§.41. l“. )

Donc, H- 4 est contenu dans + la directement 3 fois , ou 4- 3 fois.

Et, en effet , • 4 - 4 x 4 - 3 = 4 -i 2 .

§. 108. Diviser 4-12 par 4 " 4 revient aussi à chercher la quatrième partie df + 12,

Digilized by GoogI

(§. I06), qui est manifestement 4 * ? ; puisque + 3 x 4 “ 4 = + i2.

Donc , dans tous les cas , *f“ I S : 4 - 4 ==+ 3 -

§. 109. -Et comme on aurait opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres directs , il en résulte qu’ime quantité directe , divisée par une quantité directe , donne un quotient direct.

Ou , ce qui revient au même , que :

Et, en effet, le diviseur direct, multiplié ’ par le quotient direct, (§. 107), ou le quotient direct multiplié par le diviseur direct^ C §• Io8- ) > redonne le dividende direct.

§. IIO. Maintenant divisons une quantité inverse par une quantité inverse, par exemple, 12 par — 4.

. Chercher combien défais — 4 est contenu dans — 12 , c’est chercher combien de fois

fa quantité inverse 4 est contenue dans la quantité inverse 12.

Or , il est clair que l’inverse est contenu directement dans l'inverse , puisque l’inverse pris directement reste inverse. ( §. 41-

Donc, — 4 est contenu dans — 12, directement trois fois , ou + 3 fois.

Et, en etfet, — 4 x + 3 = — 12.

§. III. Si l’on voulait diviser — 12 en 4 parties égales , pour avoir la valeur d’une de ces parties , qui serait manifestement — J , ce serait alors — 1 2 : +• 4 > appar-

tenant h celui dans lequel le dividende et le diviseur ont un signe contraire , nous en renverrions l’examen.

§. 112. Mais si l’on demandait de diviser

1 2 en — 4 parties égales y (§ 106. ) , il serait clair que cette question serait mal présentée ; et voici comment nous pourrions l’envisager.

Diviser — 1 2 — 4 parties égales c’est

diviser 12 inverse dans un nombre inverse 4

de parties égales ; ou bien c’est chercher la quatrième partie inverse de — 12.

Mais pour savoir quelle est la quatrième partie inverse d’une quantité, il importe de savoir d’abord quel est le tout inverse de cette quantité ; car la quatrième partie inverse sera évidemment la quatrième partie du tout in»

verse.

Or , il est clair que le tout inverse de — 12, ou , en d’autres termes , que t'inverse de — ^ 12 , c’est -H 12. ( §. 8f- )

Donc, la quatrième partie inverse de — I2, sera la quatrième partie de + i2, c’est-àdire, + ^

Et , en effet , -f- 3 x — 4 = — 1 2.

§. 113. Ainsi donc la division de — i 2 par — 4 , offre deux cas différens , l’un bien présenté, l’autre mal présenté. •

Le premier cas a lieu quand on divise — 1 2 en parties égales , valant chacune — 4 , et qu’on demande le nombre de ces parties; qui est 3 , ou 4- 3. C§. 110. ) '

Le second cas a lieu quand on demande

^de diviser — 1 2 en — 4 parties égales , pour avoir la valeur d’une de ces parties. Demander cela , c’est dans le vrai demander de diviser 4- 1 2 en 4- 4 parties égales pour avoir au quotient + 3 , ( §• 1 1 2 ) ; ce qui fait que ce cas revient exactement au cas bien présenté du io8-

§. 114. Donc, dans tous les cas , — i2 ; — 4 = -h 3- (§• "O- )

§. 1 1 f . Et comme on aurait opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres inverses, il en résulte qu’ttwe quantité inverse , divisée par me quantité inverse , donne un quotient direct.

Ou, ce qui revient au même, que

Et, en effet, le diviseur inverse, multiplié par le quotient direct , ( §. no.), ou le quotient direct multiplié par le diviseur inverse, (§. II2. ), redonne le dividende inverse. (§. 104.)

§. 116. Donc , dans toute division , quand

/e dividende et le diviseur ont le même signe le quotient est direct. (§. 109. iif. )

2*. Le dividende et le diviseur ayant des signes con* traires.'

§. 117. Divisons à présent une quantité inverse par une quantité directe ; par exemple, — 12 par •+* 4.

Chercher combien de fois -f" 4 sst contenu dans — 12, c’est chercher combien de fois la quantité directe 4 est contenue dans la quantité inverse 12.

Or, il est clair que le direct ne saurait être réellement contenu dans l’inverse.

Mais , s’il était permis de s’exprimer ainsi, on pourrait dire que le direct est contenu inversément dans l’inverse ; puisque le direct pris inversément devient inverse. (§.41.3“.)

Donc, dans ce sens, + 4 est contenu dans — 1 2 inversément trois fois , ou — % ^ fois.

Et , en effet , 4 - 4 x — 3 = —

§. 118. Mais , dire que + 4 est contenu

inversêment 5 fois dans — 1 2 , c’est dire que + 4 , pris à l’inverse , ou — 4 , est contenu 5 fois dans — 1 2.

Ensorte que le quotient — 3 fait sentir ici que la question est mal présentée , et qu’on pourrait la rectifier en demandant combien de fois — 4 est contenu dans — 1 2 .

Ce cas se rapporte donc , pour le sens de la question, à celui du §.110; mais il ne s’y rapporte pas pour le résultat , qui est là direct , tandis qu’il est ici inverse.

C’est-à-dire qu’on ne peut répondre à la question actuelle par le résultat du §. iio; à moins qu’on ne rectifie auparavant cette question.

On sentira mieux encore le rapport des deux cas indiqués , en reprenant la preuve de la dernière opération ; et en répétant le diviseur 4- 4 autant de fois qu’il est contenu dans le dividende — 1 2 , c’est-à-dire, — 3 fois ; car on aura alors :-f-4x — 3 = — 4 — 4

( I ) Faisons une application de ces principes , et

• \ §.119. Diviser — 1 2 par + 4 , revient

aussi à chercher la quatrième partie de — 12»

( §. 1 06. ) ou à diviser — 1 2 en + 4 parties

égales , pour avoir la valeur d’une de ces

parties.

Or , la quatrième partie de — 12 ^est évidemment — g ; puisque — 3x+4= — 12.

Donc , dans ce cas , — 1 2 : -f- 4 = — ?• §. 1 20. Donc , dans tous les cas , — 1 2* ;+ 4 = — 3. (§.117. 119.)

§. i2i. Et comme on aurait opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nom-

supposons qu’on nous demande Combien 12 vers F occident contient de Jois 4 vers l'orient. Nous répondrons :

I fois s ou, }fais inversement ^ et cela signifiera

qu’il faut prendre 4 vers l’orient trois fois inversement» ou qu’il faut prendre trois fois l’inverse de 4 vers l’orient , ou, enfin, qu’il faut prendre trois fois 4 vers l’occident, pour faire 1 2 vers l’occident.

Ensorte que cette question a le même sens que celleci ; Combien 1 2 vers F occident contient-il de fois 4 vers Voccident? Mais on répond à cette dernière par plus 4 ; tandis qu’il faut répondre à la première par moins 4 ; si elle n’est auparavant rectifiée ; et transformée dans !a seconde.

bres qui auraient été dans le cas de ceux-ci , il en résulte o^'une quantité inverse , divisée par une quantité directe , donne un quotient inverse.

Ou , ce qui revient au même , que ' : 4 - =

Et , en effet , le diviseur direct , multiplié 'par le quotient inverse , ( §. 1 1 7 ), ou le quotient inverse multiplié par le diviseur direct , ( §. 119.)» redonne dividende inverse- (§. 104. )

§. 122. Enfin, divisons une quantité directe par une quantité inverse ; par exemple , 4-12 par 4.

Chercher combien de fois — 4 contenu dans -J- 1 2 , c’est chercher combien de fois la quantité inverse 4 est contenue dans la quantité directe 1 2.

Or , il est clair que l’inverse ne saurait être réellement contenu dans le direct.

Mais , s’il était permis de s’exprimer ainsi , on pourrait dire que l’inverse est contenu

^ inversement dans le direct ; puisque l’inverse pris inversément devient direct. ( §. 41. 4“. )

Donc, dans ce sens, — 4 est contenu dans 4-12 inversément trois fois , ou — 3 fois.

Et, en effet, — 4x — "3= +12.

§. 123. Mais, dire que — 4 est contenu inversément 3 fois dans + 12 , c’est dire que — 4 pris à l’inverse , ou + 4 , est contenu 3 fois dans +12.

Ensorte que le quotient — 3 fait sentir ici que la question est mal présentée, et qu’on pourrait la rectifier , en demandant combien de fois + 4 est contenu dans + 12.

Ce cas se rapporte donc , pour le sens de la question , à celui du §. 107; mais il ne s’y rapporte pas pour le résultat , qui est là direct, tandis qu’il est ici inverse.

C’est-à-dire qu’on ne peut répondre à la question actuelle par le résultat du §. 107 ; à moins qu’on ne rectifie auparavant cette question.

' On sentira mieux encore le rapport des

deux cas indiqués, en reprenant la preuyô^ de la dernière opération j et en répétant le diviseur — 4 autant de fois qu’il est contenu dans le dividende + 1 2 , c’ést-à-dire , — J fois ; car on aura alors : — 4 x — 3 = +4

§. 124. Si l’on voulait diviser + i2 en 4 parties égales, pour avoir la valéur d’une de ces parties , qui serait manifestement + 3 > ce serait alors + 1 2 : + 4 ; et ce cas a déjà été examiné. (§. 108.)

§. 1 2f. Mais, si l’on demandait de diviser

1 2 — 4 parties égales , ( §. 1 06. ) »

il serait clair que cette question serait mal présentée ; et voici comment nous pourrions l’envisager.

Diviser + 12 — 4 parties égales;

c’est diviser 12 direct dans un nombre inverse 4 de parties égales ; ou bien c’est chercher^ la quatrième partie inverse rfe +• 12.

Mais pour savoir quelle est la quatrième partie inverse d’une quantité , il importe de savoir d’abord quel est le tout inverse de cette

quantité ; car la quatrième partie inverse sera évidemment la quatrième partie du tout inverse.

Or , il est clair que le tout inverse de +

GU , en d’autres termes , que Vinverse de -J- 1 2 , c’est — 1 2..

Donc, la quatrième partie inverse de +• 1 2 , sera la quatrième partie de — 1 2 ; c’està-dire, — 3.

Et, en effet , — 3x — 4=+i2.

§. 126. Ainsi donc , la division de -f- i2 par — 4 renferme deux cas , tous deux mal présentés.

' Le premier a lieu quand on cherche combien — 4 est contenu de fois dans + i2w Nous avons vu ce qu’il fallait penser de ce eas-là. (§. 122*. I2J.) * '

Le second a lieu quand on demande de diviser -J- 1 2 en — 4 parties égales. Demander cela-c’est, dans le vrai ,* demander de diviser ■— 1 2 en -f- 4 parties égales , pour avoir au quotient — J. ( §üi2f. ) ; ce qui

î:; vjOOglc

fait que ce cas revient exactement au cas bien pre'senté du §. 115.

§. 127. Donc, dans tous les cas, -|- i2 : 4 3. (§. 122. i2f.)

§. 128- Et comme on aurait opéré et raisonné de la même manière avec d’autres nombres qui auraient été dans le cas de ceux-ci, il en résulte qu’««e quantité directe, divisée par une quantité inverse , donne un quotient inverse.

Ou , ce qui revient au même , que

Et, en effet, le diviseur inverse', multiplié par le quotient inverse , ( §• 1 22. ) , ou le quotient inverse, multiplié par le diviseur inverse, ( §. i2f. ), redonne le dividende direct. ( §. 1 04. )

$. 129. Donc, dans toute division, quand le dividende êt le diviseur ont le même signe ^ le quotient est direct; (§. II6); et quand le dividende et le diviseur ont des signes contrai* res , le quotient est inverse. ( §. 1 2 1. 1 28* )

§. I 30 . Observons ici que la division du direct par le direct renferme deux cas , tous \

DEUX BIEN présentés ; ( §. 107. log. ); que celle de t'inverse par t inverse , en renferme UN BIEN présenté et un mal présenté; (§.110.

ii2. ); que celle de t inverse par le direct ^ en renferme un mal présenté , et un bien présenté; ( §. 117. 119. );‘et enfin que celle du direct par tinverse , en renferme deux, tous deux mal présentés, (§. 122.

§. I 3 I. La division comprend donc huit cas, dont quatre sont bien présentés, et quatre mal présentés; mais ces derniers se rapportent aux premiers.

Parmi les quatre cas mal présentés , il y en a deux qui donnent le même résultat que les cas bien présentés auxquels ils se rapportent. Ensorte que sans rectifier les questions qui donnent ces cas mal présentés , on peut y faire la même réponse qu’on ferait aux questions bien présentées dans lesquelles les premières rentrent. (§. 113. 126.) '

En échange, les deux autres cas mal présentés donnent un résultat opposé , pour la direction , au résultat que fournissent les cas bien présentés auxquels ils se rapportent. En.sorte que la même quantité ne peut servir de réponse à la question bien présentée, et à la question mal présentée ; à moins qu’on ne rectifie celle-ci! (§. ii8*ï2 rj.)(^)

§. 132 . Voici quelques exemples de multiplications et de divisions.

Pour multiplier 4- 3 ï 4* ^ > écrivez :

Pour multiplier — 7 ? écrivez:

^7ix4-| = -?r

Pour multiplier 4* ^ par — a , écrivez ;

Il I i

Pour multiplier — par — 2S > écrivez : — 4,03 X — 2.5' =4- I0>07f'

§• 1J3* Pour diviser 4" 5" par 4~ 8 > écrivez : + 5” : 4- 8 = 4“

( I ) Voyez le quatrième tableau , à la fin de l’ou. vtage.

Pour diviser — | par — | , écrivez : — a :

Pour diviser — 2 I par + 2 ï , écrivez :

Pour diviser -f- io,07f par — 2,f, écrivez : + io,07f : — . 2,f = — 4,03.

Naissance des caractères généraux et de l'algèbre.

§134. On n’a point fait usagé 'eii arithmétique des caractères généraux , et des lettres de l’alphabet , avant d’avoir senti qu’il était possible d’employer de semblables caractères , et qu’il y aurait de l’avantage à le faire.

Nous allons voir comment on a pu être conduit à cette espèce de calcul, et, pour cela nous essayerons de résoudre quelques problèmes.

§. I3f. Première question: Fingt personnes ^ hommes et femmes , mangent dans une auberge ; Ncot d’un homme est de 8 décimes; técot d!une femme est de 6 décimes; et la dépense totale est de 190 décimes. On demande le nombre des hommes^ et celui des femmes ( , ).

(1) Algèbre d’Euler, §. 567.

A. Nous

A. Nous observerons , d’abord , que si le nombre des hommes était connu , celui des femmes le serait aussi ; puisqu’il est dit qu’il y a en tout 20 personnes.

B. Ainsi donc , comme nous avons appelé Xi dans l’arithmétique, le terme inconnu d’une proportion , nous appellerons ici x le nombre inconnu des hommes.

c. En retranchant le nombre des hommes du nombre total , nous aurons le nombre des femmes, qui sera, par conséquent, repré^ senté par 20 — a *.

D. Maintenant, l’écot d’un homme étant de 8 décimes, s’il y a avait 4 hommes , l’écot de tous les hommes serait de S décimes multipliées par 4 ; ou , ce qui reviendrait au même , il serait de 4 décimes multipliées par 8; ce qui ferait toujours 32 décimes. ^

E. Mais le nombre des hommes est x, et, par conséquent , l’écot de tous les hommes est de X fois 8 décimes ; ou , ce qui revient au même , il est de 8 fols x décimes.

Et comme la quantité 8 fois x peut évidemment être représentée par 8 ^ . on aura l’écot de tous les hommes égal à 8 décimes.

F. De même , le nombre des femmes étant représenté par 20 — x , ( §. 1 3 f . c. ) , et la dépense de chacune étant de 6 décimes, l’écot de toutes les femmes sera égal à 6 décimes multipliées par 20 — x , nombre abstrait ; ou , ce qui revient au même , cet écot sera égal à 20 — X décimes , multipliées par 6 , nombre abstrait. ( §. I J f. d. )

Voyons donc comment on peut multiplier 20 — iv par 5.

‘ Si , au lieu de 20 — x , nous avions le nombre 20 , tout entier , à multiplier par 5, il est clair que le produit serait 6 fois 20, ou 1 20 .

• Mais, ce produit est trop grand, parce que le multiplicande devait, ayant l’opération, être diminué de x.

Ayant donc pris 6 fois le nombre 20^, tout entier , nous avons pris 6 fois x de trop.

Il n’y a donc , pour corriger l’erreur , qu’à retrancher 6 fois x , ou 6 x , de 1 20 ; et nous aurons alors : 120 — 6 x pour le produit de 20 — X par 6 .

Et, par conse'quent, l’écot de toutes les femmes sera égal à I20 décimes — 5 x décimes ; ou, ce qui revient au même , à 120 — 6 X décimes.

G. La dépense des hommes , ( §. ï 5 f . e. ) > jointe à celle des femmes, (§. Ijf. f. ) j sera donc de 8 a-' décimes plus 120 — 6 x décimes ; ce que l’on pourra écrire .ainsi :

H. Mais, la dépense des hommes , jointe à celle des femmes , fait la dépense totale ; et nous savons d’ailleurs que cette dépense totale est de 130 décimes.

Nous avons donc deux expressions pour la dépense totale; et ces deux expressions ne pouvant appartenir qu’à un seul et même nombre , il est clair qu’elles ont la même valeur. Ainsi

( lOO ' )

Voilà ce qu’on appelle I’équation du problème , du mot latin cequare , qui signifie égaler.

Les quantités séparées par les [signes et — , se nomment les termes de l’équation.

Tous ceux qui précédent le signe d’égalité forment ensemble ce qu’on appelle le premier MEMBRE de l’équation , et ceux qui le suivent forment le second membre.

J. Pour réduire le premier membre à sa plus simple expression, il faudrait retrancher 6 X de 120, et joindre le reste avec 8 x.

Mais , il est clair qu’on obtiendra le même résultat en retranchant 6 x: de 8 et en ajoutant le reste avec I20.

Or , la différence de 8 et de 6 a: est manifestement 2 a: ; i ce qui fait que notre première équation se change en celle-ci :

K. Maintenant, nous approchons du but; car s’il faut ajouter 120 à 2 x pour faire 130, en n’ajoutant rien h 2 x on n’aura

( loi )

que 130 —• 120, ou lo, pour la valeur às 2 X.

Nous aurons donc ainsi une troisième et une quatrième équation , qui seront :

2 X = lo.

L. Or, puisque 2x valent lo, il est manifeste qu’un seul x vaut f ; ce que l’on trouvera en divisant par 2 chacun des' membres de la dernière égalité.

Afin de représenter cette opération finale , on écrira :

3î. Comme tout a été réduit en décimes.

(i) On a vu, dans l’arithmétique, qu’il était indifférent, pour indiquer une division, d'écrire le diviseur • à la suite du dividende, en les séparant par deux points, ou d’écrire le diviseur sous le dividende, en les sépa<< Tant par un trait.

Ainsi 10 : a ^ 25

ceci signifie , proprement , que x décime»

égalent f décimes.

' Mais il est clair que si l’on a la quantité X décimes égale à f décimes , on aura aussi la quantité x hommes égale à f hommes.

N. Il y a donc , dans l’auberge , f hommes , et , par conséquent , I f femmes.

Les f hommes dépensent f fois 8 décimes, ou 40 décimes; et les 1 y femmes dépensent If fois <5 décimes, ou 90 décimes; ce qui fait bien 130 décimes pour la dépense totale.

- .§. 136. Rapprochons maintenant nos diiférentes opérations , pour en saisir mieux la suite. Nous avons d’abord eu :

Le nombre des hommes . x Celui des femmes . . . . 20 — x.

' La dépense des hommes . 8

Celle des femmes . . . . 120 — 6 x.

Nous avons alors formé successivement les •équations suivantes; qui nous ont conduit à la valeur de x.

t X + ISO — 6 X = 150.

§. 157. Tout ceci n’est pas encore de l’algèbre ; car on ne voit là qu’un caractère étranger au calcul arithmétique ; et les opérations que nous avons faites , pour connaître la valeur de ce caractère , ne sont que de simples opérations en chiffres.

Il faut , avant d’arriver à notre but , résoudre encore quelques problèmes analogues à celui-là. *

§. 138 - Seconde question: Douze personnes , hommes et femmes , mangent dans une auberge ; l'écot d'un homme est de 60 décimes ; técot d'une femme est de fo décimes ; et la dépense totale est de 660 décimes. On demande le ttomlrre des hommes et celui des femmes.

Cette question ne diffère de la précédente

que par les nombres. Nous suivrons donc , pour la résoudre, la marche que nous avons suivie pour résoudre la première; et nous aurons :

Le nombre des hommes . x.

Le nombre des femmes . 12 — x.

La dépense des hommes . 60 x.

La dépense des femmes . 600 — f o x.

Cela nous donnera les équations suivantes, qui nous conduiront à la valeur de ;f.

A — lo*

Il y a donc 6 hommes , et , par conséquent , 6 femmes.

Les hommes dépensent 6 fois 60 décimes, ou 360 décimes; et les femmes 6 fois fo

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( lor )

décimes, ou ^OO décimes; ce qui fkit bieH 660 décimes pour la dépense totale.

§. TaoisiiME question : Trente deux ouvriers , français et espagnols , travaillent ensemble à un même ouvrage; on donne 20 décimes par jour à chaque français , et If à chaque espagnol; et la dépense journalière est de f 40 décimes. On demande le nombre des ouvriers français et celui des espagnols.

Cette question , quoique différente , pour le fond , des deux précédentes , a cependant avec elles un si grand rapport que nous suû vrons encore , pour la résoudre , la marche que nous avons suivie pour résoudre les autres. l^fous aurons donc :

Le nombre des ouvriers

français

. Celui des espagnols . . .

La journée de tous les

français

. Celle de tous les espagnols

480— If X

Ce qui nous donnera les équations suî) vantes ; - ■

ao AT + 480 -- If X = f40.

Il y a donc la français, et, par conséquent , 20 espagnols.

La journée de tous les français est de IZ fois 20 décimes , ou de 240 décimes ; et la journée de tous les espagnols est de 20 fois If décimes, ou de 300 décimes; ce qui fait bien f40 décimes, polir la dépense totale.

§. 140. Quatrième auESTiON : Huit tuyaux de fontaine i les uns de fer, les autres de fonte , coulent ensemble dans un même réservoir ; chaque tuyau de fer donne 12 hectolitres d'eau , pendant que chaque tuyau de fonte en fournit 10; alors le réservoir est

plein, et contient 86 hectolitres. On demande le nombre des tuyaux de fer, et celui des tuyaux de fonte.

Encore ici la question varie ; et cependant elle a , avec les autres , un rapport qu’il sera facile d’appercevoir , sans que je m’y arrête, et qui nous obligera de suivre , pour la quatrième fois , la marche que nous avons suivie. Nous aurons donc :

Le nombre des tuyaux de fer x.

Celui des tuyaux de fonte . • 8 — x.

La dépense de tous les tuyaux de fer , pendant que le réservoir se remplit , exprimée en hectolitres 12 X.

Celle des tuyaux de fonte . . 8o — lOx.

Ce qui donnera :

la X -J- 8o — lO X = 86.

' H y a donc 3 tuyaux de fer , et , par conséquent, f tuyaux de fonte.

Tous les tuyaux de fer donnent donc 3S hectolitres d’eau , pendant que les tuyaux de fonte en fournissent fo. Alors le réservoir est plein, et contient, en effet, 86 hectolitres d’eau.

§. 141. Si nous réfléchissons maintenant sur ce qu’il nous a fallu faire pour résoudre nos quatre questions , nous verrons que nous avons été forcés de répéter un même calcul quatre fois de suite : du moins la marche des quatre opérations s’est-elle toujours trouvée la même; et cela à cause du rapport qu’il y avait entre les problèmes qu’il fallait résoudre. Ces opérations n’ont absolument différé entr’elles que par les nombres, qui ont , en effet , varié d’une question à l’autre.

Cela bien saisi nous fera penser que la solution du premier problème aurait pu nous conduire à la solution des autres , si dans les différentes égalités successives par lesquelles nous ayons passé pour arriver au résultat

final de celui-là , nous n’eussions fait qu’indiquer les opérations , au lieu de les effectuer; car alors les calculs à faire pour résoudre chacun de ces problèmes auraient paru dans le résultat du premier ; et ils auraient été réduits là au plus petit nombre possible.

En reprenant notre première question; ( §• 1 3 f • ) > j’expliquerai plus clairement mon idée.

§. 142. Nous avons d’abord représenté le nombre des hommes par x, ( §. IJf. b.).

Alors celui des femmes a eu pour expression : 20 — x; C%. I B f. c. ) ; et la dépense de tous les hommes : 8 ( §. 1 3 f. e. )

A. Pour désigner celle de toutes les femmes , nous avons multiplié 20 — x par 6 ; (§• F-)» ce qui nous a donné 120

Maintenant , au lieu de faire cette multiplication , je me bornerai à l’indiquer, afin qu’elle paraisse dans le résultat final. J’aurai donc , pour la dépense de toutes les femmes.

20x5 — 6 x; ou , ce qui revient au même,

B. En réunissant alors les deux dépenses , j’aurai l’équation : , ;

. c. Parvenu là, je devrais retrancher 6 x de 8 ^ ; mais , au lieu de faire cette soustraction , je me contenterai de l’indiquer ; et je la représenterai par Sx — 6 x; ou par

On doit très-bien comprendre le sens de cette dernière expression : elle montre que le nombre 6 doit être retranché du nombre 8 , et que le reste 2 de cette soustraction doit être écrit devant la lettre a: , comme son multiplicateur. Cette expression a donc pour valeur 2 X , comme il faut que cela soit.

Les parenthèses ont là leur utilité , car si on les ôtait, et qu’à la' place de 8 — 6 x

on voulut écrire 8 — 6x , sans parenthèses , cela signifierait alors que la quantité 6 x doit être retranchée du nombre 8 , ce qui aurait