INTRODUCTION

|E problème du fondement des mathématiques n’a pris toute son importance qu'avec la crise de la A j théorie des ensembles. Qu’était-ce jusque-là que fonder sinon choisir entre types distincts d’évidence, avantager telle démarche par rapport à telle autre ou situer l’activité mathématique tout entière par rapport aux autres activités de la conscience ? Mais la validité même des résultats, la structure interne de l’édifice n'étaient pas mises en question. Avec les paradoxes découverts entre 1890 et 1904, c’est au contraire à un danger menaçant la technique qu'il faut parer : la théorie des ensembles, née du tronc commun avec la même nécessité naturelle que les autres théories, n’utilisait pour son développement que les instruments normaux des mathématiques classiques. Inversement ses résultats se révélaient chaque jour plus précieux en analyse et dans les domaines voisins. Pouvait-on rompre cette double solidarité, isoler des régions incertaines une sorte de zone centrale où les robustes méthodes traditionnelles conservent une évidence concrète incontestable ? La tentative était aussi difficile à réaliser techniquement que peu satisfaisante pour l'esprit. Ainsi l'élimination du transfini par l'exigence que toutes les définitions d'objets

soient effectuables au moyen d’un nombre fini de mots con-

J. CA VAILLÈS