SOLUTIONS TECHNIQUES

duisait directement au paradoxe de RICHARD (1). Quant aux remèdes localisés à la théorie, ils ne pouvaient être, en tant que localisés, qu'inopérants puisque d’une part ils rompaient les passages et que d’autre part les méthodes qu'ils amendaient se trouvaient ailleurs déjà en action. D'où la nécessité d’une reconstruction de l’édifice entier : dès le continu apparaissent les difficultés ; c’est par une théorie du continu, matière commune pour l’engendrement des objets mathématiques, qu’il importait de commencer.

En France, après les théories de PoINCARÉ, et sans doute sous leur influence, semble prédominer un courant empiriste. Dans les Cing lettres sur la théorie des ensembles, HADA- MARD est le seul à affirmer que l’existence des objets mathématiques est indépendante de nos moyens de les atteindre, position platonicienne dont il ne déduit d’ailleurs pas de solution pour le problème technique posé. En revanche, les analystes, militant dans la théorie concrète des ensembles, qu'ils développent au point d’en être de nouveaux créateurs, BAIRE, BOREL, LEBESGUE, sont tous empiristes. Il s’agit pour eux de leur travail même : loin de toute spéculation ils veulent fixer quels objets, quelles méthodes ils auront droit de considérer sans risque de se heurter à une contradiction.

Or, la première contradiction — et la source, des autres puisqu'aucun critère de vérité ne subsiste — est de raisonner dans le vide. « Je ne comprends pas, s’écrie BOREL, le

(x) Si on considère toutes les fractions décimales dont la définition la plus courte ne réclame qu’un nombre fini de signes il est possible de les classer d’après ce nombre minimum N. À chaque N correspond ainsi un nombre fini de fractions décimales : on peut donc ranger toutes les fractions décimales jouissant de la propriété en une suite ordonnée

A, As... (1) Si on définit la fraction b par la condition que son premier chiffre soit égal à 1 + le premier chiffre de a,, son nième à 1 + le nième chiffre de a», b ne peut appartenir à la suite (1) et cependant la définition précise qui vient d’en être

donnée ne comporte qu’un nombre fini de signes (les caractères d'imprimerie employés).

point de vue des analystes qui croient pouvoir raisonner sur un individu déterminé mais non défini ; il y a là une contradiction dans les termes sur laquelle j'ai plusieurs fois insisté » (1). Mais qu’entend-on par définition d’un individu ? Ici intervient la notion d’intuition opposée au discours, caractéristique du système de BoREL. Il rejette toutes « les mathématiques verbales » ou « constructions logiques. dans lesquelles on jongle avec des symboles auxquels ne correspond aucune intuition » (2). Correspondent à une intuition d’une part le nombre entier, d'autre part le continu géométrique : c’est à partir d’eux et d’eux seulement que pourront être engendrés les objets mathématiques. L’engendrement est soumis au même contrôle : si la suite indéfinie des entiers est parfaitement claire, c’est-à-dire quelque chose que « chacun comprend et est assuré de comprendre... comme son voisin » (?), c’est qu’elle est fondée sur la proposition -— résultat d’un acte effectif de l'esprit — : « après chaque entier il y en a un autre ». En revanche, la suite des ordinaux transfinis de la classe IT (et à fortiori des classes supérieures) (*) ne fait pas partie des mathématiques réelles « car la proposition analogue : au delà de chaque suite indéfinie de fonctions croissantes 1l y en a une autre, ne suffit pas à nous donner une idée nette du transfini ». Il n’y

(1) E. BoREL (II), p. 92.

(2) BoREL (1), p. 181.

(3) Les nombres ordinaux transfinis dénotent d’après leur ordre les ensembles bien ordonnés, c’est-à-dire ordonnés de telle façon que chaque partie possède un premier élément : dans la classe II de CANTOR figurent ceux qui dénotent les ensembles dénombrables (c'est-à-dire coordonnables à la suite des entiers ; v. n. p. 9) ; ainsi w pour l’ensemble

22027 ; OP ÉPTIDOUREE, 2. 30 1, GLS

Ce ne sont, dit BoREL, « que des notations abrégées pour indiquer l'ordre dans lequel doivent être effectuées une infinité dénombrable d'opérations comportant une infinité dénombrable de passages à la limite successifs ou superposés » (BOREL (1), p. 231). Pour l'explication des notions de la théorie des ensembles utilisées ici nous renvoyons à J. CAVAILLÈS (IT), dont le présent essai représente la continuation.

a pas de procédé régulier d’engendrement de tous les ordinaux : seuls ceux dont la définition est possible, c’est-à-dire une petite partie de la classe IT pourront être utilisés. Mêmes amputations pour l’ensemble des nombres réels : si « la notion de continu est. acquise par l'intuition géométrique » (1), le continu arithmétique n’est qu’une notion négative, l'assurance que l’on pourra toujours calculer de nouvelles fractions décimales, quelle que soit l’infinité (régie par une loi) de celles que l’on peut considérer comme déjà calculées (par exemple toutes les fractions rationnelles). Mais n'existent que les nombres calculables : « un nombre « est calculable lorsque, étant donné un nombre entier quelconque, on sait obtenir un nombre rationnel qui diffère de «

I re.

de moins de — » (2). Ainsi s’évanouit le paradoxe de RiI- ; ;

CHARD : on ne peut considérer dans la suite (I) que « les nombres décimaux qui sont définis d’une manière précise et sans ambiguïté possible au moyen d’un nombre fini de mots ». Or, le nombre b ne jouit pas d’une telle définition puisqu'il faudrait « pour que b soit défini sans ambiguïté que la suite des a soit elle-même définie sans aucune ambiguité possible. Or, ce n’est manifestement pas le cas pour la définition précédente, vu qu’il est douteux si le nombre b fait ou non partie de la suite des a ». À considérer les choses du point de vue empiriste — c’est-à-dire de ce qui est efiectivement pensé derrière les mots, ou « des réalités observables » — on voit comme la «prétendue définition RICHARD est insuffisante ... Pour la mettre en œuvre en effet, il faudrait d’abord avoir résolu tous les problèmes mathématiques qui pourront jamais être posés : car parmi les définitions possibles, il en est qui supposent la solution de ces

(1) BoREL (I), p. 160.

CRC r

problèmes » (1). Ainsi l’ensemble des termes de la suite (I) n'est pas réalisable : il est dénombrable (?) (puisque partie de l’ensemble des combinaisons d’un nombre fini de signes) mais non effechvement énumérable, « c'est-à-dire qu’on ne peut pas indiquer, au moyen d’un nombre fini de mots, un procédé sûr pour attribuer sans ambiguïté un rang déterminé à chacun de ses membres ». A la distinction entre ensembies dénombrables et non dénombrables (ces derniers n'étant qu’une fiction verbale) il faut substituer la distinction entre ensembles dénombrables et effectivement énumérables. Les derniers se caractérisent par la propriété « qu’une partie aliquote d’un ensemble effectivement énumérable n'est pas nécessairement effectivement énumérable »,. « Tous les prétendus paradoxes de la théorie des ensembles proviennent de ce qu’on a admis comme évidente la proposition.. : tout ensemble dénombrable est effectivement énumérable. »

À partir de ces principes en effet une théorie des ensembles et une analyse incontestable se peuvent construire. On ne considérera comme fonctions réelles que les fonctions calculables : « une fonction est calculable lorsque sa valeur est calculable pour toute valeur calculable de la variable ». D'où la conséquence que toute fonction calculable est continue pour les valeurs calculables de la variable. La notion d'ensemble de points est déterminée par là même : un ensemble étant défini par la fonction caractéristique prenant

(1) BOREL (1), p. 164.

(2) On dit qu’un ensemble est dénombrable lorsqu'il est possible d'établir (sans que soit précisé comment) une correspondance biunivoque entre ses éléments et ceux de la suite des entiers. D'une façon générale la puissance

d'un ensemble est le caractère qu'il a en commun avec tous les ensembles avec lesquels il peut être mis en correspondance biunivoque. Si un ensemble À a même puissance qu’une partie d’un autre B, la réciproque étant fausse, on dit que la puissance de À est < celle de B. Ainsi la puissance du dénombrable << celle du continu (ensemble des nombres réels). CANTOR désigne par No la puissance du dénombrable, N; celle de la classe II des ordinaux transfinis. L'hypothèse du continu est que N, = la puissance du continu.

la valeur o pour ses éléments et 1 pour les points extérieurs, et une fonction de cette sorte continue en un point étant évidemment constante dans un intervalle contenant ce point, on ne considérera comme ensembles bien définis (correspondant aux fonctions calculables) que les ensembles obtenus par addition (indéfiniment itérable) ou soustraction (:) d’intervalles « les extrémités des intervalles devant être étudiées à part ». Si on laisse de côté cette difficulté (?) (un ensemble bien défini ne l’est qu’à une infinité dénombrable ou même effectivement énumérable de points près) on voit que les ensembles bien définis coïncident avec les ensembles mesurables B introduits pour la théorie de l’intégration. On les classe, suivant le procédé donné par BAIRE, pour les fonctions d’après le nombre de passages à la limite successifs qu’exige leur définition à partir du continu numérique. Ainsi se rejoignent par une heureuse convergence les exigences du problème du fondement et les développements spontanés procurés dans la technique même par BAIRE et BoREL. Le champ de l'analyse classique ne dépasse pas les ensembles mesurables B.

Maïs il faut entendre par analyse classique l’analyse déjà faite : comment s’assurer de la science à venir ? BOREL a bien senti les transformations que son point de vue imposait aux méthodes traditionnelles. Le tiers exclu n’est plus utilisable : pour deux nombres calculables, entre les deux hypothèses égalité ou inégalité s’en place une troisième, impossibilité de décider, lorsque leurs modes de définition sont distincts et donnent cependant, si loin qu'on aille, le même développement décimal par exemple (#). De même, il fau-

(1) LusiN substitue à la soustraction l'intersection (partie commune), on obtient les mêmes ensembles.

(2) On s’en débarrasse en ne considérant que les intervalles à extrémités rationnelles.

(3) Egalement : « l’ensemble formé d’un seul point, serait-ce le point o, n’est pas bien défini en ce sens que le problème de savoir si un nombre donné

dra éliminer les fonctions anormales déjà introduites : « il faut se résigner à faire systématiquement ce que les mathématiciens ont fait spontanément et sans esprit de système, c'est-à-dire se borner à étudier les fonctions qui se présentent naturellement, ce que nous pouvons appeler les « êtres réels et normaux » par opposition aux « monstres artificiellement créés ou même conçus abstraitement » (1). La réalisation effective du programme n’a jamais été entreprise. Elle semble se heurter dès l’abord à une difficulté essentielle : la notion même d’ensemble bien défini reste ambiguë, dès qu'il ne s’agit plus d’ensembles effectivement construits. Or, dès qu’on s'élève dans la classification de BAIRE les difficultés deviennent bientôt insurmontables pour une construction effective : l’ensemble de classe la plus élevée dont on a pu jusqu'ici donner un mode effectif de construction (?) appartient à la classe 4. Que signifie alors un raisonnement où intervient un ensemble mesurable B quelconque ? comme il n’y a pas de borne supérieure aux passages à la limite qui le définissent, que l’ordre de ceux-ci, essentiel à la définition, est dénoté par un nombre fini ou un nombre de la classe IT, on fait intervenir en réalité pour la totalité des ensembles mesurables B la totalité de la classe IT. La réponse de BoREL est qu'il ne faut pas considérer une telle totaiité comme donnée (qui serait un ensembie mai défini). Les raisonnements où figurent — ou sont démontrées — les propriétés générales des ensembles mesurables B sont inductifs : «au lieu de partir des intervalles et

appartient ou non à l’ensemble peut exiger soit une infinité d'opérations, soit la résolution d’un problème difficile ou actuellement insoluble » (BOREL (1), p. 226).

(x) BoREL (Il), p. 146.

(2) Exemple donné par Mie KezDpycx ; cf. LUSIN (I), p. 94. La langue mathématique donne ici deux emplois au mot classe : il y a les classes d’ensembles (ou de fonctions) de la classification BAIRE, numérotées avec des chiffres arabes, et les classes de nombres ordinaux transfinis, numérotées avec des chiffres romains.

de suivre la construction de proche en proche, on suppose que la construction a été faite jusqu’à un certain point et possède certaines propriétés et l’on démontre que ces propriétés subsistent lorsqu'on avance d’un pas nouveau » (°). Ii ne s’agit donc pas d’un système donné, mais d’une réalité en devenir, d’un corps ouvert par opposition au corps fermé des nombres rationnels par exemple (invariant par rapport aux 4 opérations arithmétiques), fermé parce qu'on en peut donner une définition unique. Malheureusement toutes les propriétés rencontrées des ensembles mesurables B ne sont pas inductives : ainsi la propriété découverte par HAUS- DORFF et ALEXANDROFF qu'un ensemble mesurable B non dénombrabie contient un ensemble parfait n’est pas invariante par rapport à la 2€ opération génératrice (soustraction). Il faut avoir recours, note LUSIN, à une autre définition qui, cette fois, donne le corps fermé des ensembles mesurables B : « on obtient tous les ensembles mesurables B en prenant tous les ensembles finis dénombrables, et ceux qui servent d’ensembles de valeurs des fonctions f (x) régulières et continues fsur l'intervalle fondamental) ... à un ensemble dénombrable de points près » (2?) (une fontion régulière étant une fonction qui prend toujours deux valeurs distinctes pour deux points différents de son argument). «Il semble, ajoute LUSIN, qu’on ne peut faire d’objections à cette définition du corps fermé puisque la notion de fonction continue et celle de fonction régulière figurent dans les branches classiques des mathématiques. » Elle est pourtant évidemment inadmissible du point de vue précisé par BOREL. On doit donc ou perdre les propriétés non inductives ou considérer comme une totalité donnée (quoique illégitime) la totalité des ensembles mesurables B. Mais il est alors impossible même de s’y tenir : «si l’on admet tous les en-

(x) BOREL (I), p. 235.

(2) Lusin (1), p. 39.