ANALYSE CLASSIQUE I

supprimant l’équivalence logique. Si Y qui appartient à la catégorie des fonctions ou des nombres, c’est-à-dire est une expression qui, toutes variables remplacées par des individus et tous calculs effectués, devient un individu fonction ou nombre —- ne contient qu’une variable libre &,,, on a :

SE ETC RE Ÿ (2) bis En Enr

Pour l'analyse classique on peut se contenter d’appliquer le schéma (2) bis lorsque la variable libre dans Y est de type 1 : le schéma exprime alors que toute relation, si compliquée soit-elle, peut être représentée par une fonction d’entiers et assure l’usage universel de l’axiome d’induction totale.

Tel est pour l'essentiel (1) le système développé dans les Pyincipia Mathematica. Il] permet d’édifier l’analyse classique et au moins une partie de la théorie des ensembles. Mais les conditions posées par HILBERT ne sont pas remplies. Les schémas (2) et (2) bis représentent une infinité d’axiomes qu'aucune loi ne permet d’engendrer (en raison de l’indétermination radicale de l’expression Y) : la pensée intuitive n’est pas maîtresse de la construction métamathématique du système (il ne faut pas qu'y intervienne la considération de toutes les expressions ou de l’ensemble des fonctions : notions confuses que le formalisme a pour mission d'éliminer). En particulier, une démonstration de non contradiction est évidemment hors de portée. D'où deux solutions essayées tour à tour : diviser la difficulté en ne

(1) On a laissé de côté, comme inutiles pour l'étude ici entreprise, l’axiome de l'infini et la théorie des types ramifés (avec l’axiome correspondant de réductibilité). Le formalisme de HILBERT n’a pas besoin d'un axiome spécial de l'infini. Quant à l’inutilité de la théorie des types ramifiés dans le développement même du système russellien, cf. RamsEY (1) et CARNAP (I), p. 98. L’axiome schéma (2) est plus faible que le véritable axiome russellien

de réductibilité.