L'INTUITIONNISME

donné aux propositions en soi [aux propositions formelles de la mathématique classique] » (1). C’est le procédé de réduction, déterminable pour toute proposition démontrée. Il peut arriver qu’il ne présente qu’un « lien assez lâche avec la forme de la proposition », qu'il soit plus fable que pour les propositions de même forme démontrées de façon finie (ainsi pour les propositions telles que £ % (x)

où le sens finitiste — procédé de réduction —- n’énonce pas qu'on peut donner un exemple z pour lequel YX (:) est vrai, mais dépend de la démonstration de £ % (x}). De toutes

façons ne représente-t-il pas le seul sens mathématique recevable ? [1 semble que la nécessité d’une interprétation dans l’intuitionnisme conduise pratiquement à la réduction à l’intuitionnisme. La mathématique classique aurait l'intérêt d’une présentation plus rapide ou plus harmonieuse : la mathématique authentique est intuitionniste (2).

La situation n’est en effet pas la même que lorsque KRo- NECKER voulait réduire les mathématiques à des opérations sur les nombres entiers. On se rappelle la réponse de DEDEKIND (°) : l'introduction d’un nouveau concept n’a de prix que si on abandonne les concepts primitifs en lesquels il se décompose. Ou, avec la comparaison des adjonctions d’idéaux (#) : c’est la 1'e opération de liaison avec le domaine primitif qui est ici effectuée (remp.acement du calcul nouveau par un système de calculs anciens) au lieu de la 2€ (élimination des éléments idéaux 11, X, «\ que les mé-

(x) GENTZEN (Il), p. 564.

(2) Sans se prononcer expressément sur la question (« si quelque chose de réel correspond au sens-en-soi d’une proposition transfinie, est un problème dont ne s'occupe pas une démonstration de non contradiction »),. GENTZEN semble se rapprocher de cette thèse ; il plaide seulement pour une valeur esthétique et pratique des énoncés classiques : puisqu'il y a non contradiction, ils dispensent au moins l’intuitionniste de chercher une démonstration pour leur négation.

(3) V. ci-dessus, p. 54.

(4) Ci-dessus, p. 97.

THÈMES HILBERTIENS 17I

thodes d'ACKERMANN, von NEUMANN avaient vainement essayé de réaliser directement. Pour la liaison, la 1'e opération — plus compliquée -- suffit (elle entraîne aussi la non contradiction puisque 0 £ o devrait être interprétable). Mais l'introduction de concepts, l’adjonction d’idéaux n’ont d'intérêt qu’en tant que moments insérés dans le développement dialectique des mathématiques. Si le nombre complexe est plus que le couple de nombres réels qu’il remplace, c’est qu'il est à son tour point d’application concret pour les raisonnements de la théorie des fonctions analytiques. La transformation des mathématiques en systèmes entièrement formels par l’adjonction des idéaux symboles transfinis n'avait de sens qu’autant qu’elle permettait un traitement concret métamathématique de ces systèmes, c'est-àdire principalement leur caractérisation et leur utilisation grâce au procédé de la décision (une proposition étant donnée on reconnaissait si elle pouvait être décidée dans un système ou s’il fallait en transformer etenrichir lesaxiomes). Or le procédé n’est applicable qu'aux systèmes saturés : ici encore le résultat de GôDEL intervient. La métamathématique telle que HILBERT l'avait définie et qui devait procurer son aspect véritable au développement des mathématiques apparaît sans objet. L'édifice formel classique n’est qu’une superstructure accessoire.

Il reste pourtant, non pas dans le formalisme radical mais dans les analyses propres de HILBERT deux thèmes qui, délivrés de leur lien avec le reste de la doctrine, ne sont pas touchés par les conséquences du théorème de GGDEL et donnent au système classique en face de la construction intuitionniste une signification indépendante : d’une part la théorie de la généralisation et de la méthode axiomatique, d'autre part la théorie du signe, la première justifiant la fécondité propre, la deuxième la portée objective du système.