LA GÉNÉRALISATION

On a vu le triple rêle de la généralisation (1), sous les différents aspects de définitions descriptives qu’elle engendre (telles qu’adjonctions d’idéaux, axiomatisations partielles ou complètes) : libération d'opérations de conditions extrinsèques à leur accomplissement, dissociation ou identification de processus accidentellement unis ou distingués, enfin position de nouveaux objets comme corrélats d'opérations reconnues autonomes. Dans tous les cas la fécondité du travail effectif est obtenue par ces ruptures dans le tissu mathématique, ce passage dialectique d’une théorie portant en elle-même ses bornes à une théorie supérieure qui la méconna‘t quoique et parce qu’elle en procède. Striage de lacunes, renversements volontairement opérés, rien n’est davantage opposé à la construction progressive de l’intuitionnisme qui relie tout par des processus engendrés les uns des autres et prenant comme départ unique la dyade. — Il y a cependant un rapprochement à propos du premier stade de la définition du continu : jusqu’à l’intervention des définitions non prédicatives, l’analyse classique n’est que raisonnements sur des fractions continues (ou suites dyadiques) quelconques, c’est-à-dire où r'importe pour le raisonnement que le fait qu’on a des fractions continues et non pas les nombres effectivement substituables aux places de leur développement. Mais ne retrouve-t-on pas exactement ainsi les suites libres de choix ? l’arbitraire au lieu d’être placé initialement dans l’exigence authentique du problème est en quelque sorte concrétisé dans un devenir indéfini. Pour dépasser l’énumérable, c’est-à-dire ce qui peut être atteint effectivement, il fallait se libérer de ses restrictions : en acceptant que le mathématicien fasse des raisonnements « pourvus de sens » sur des suites incomplètement déterminées, dans la mesure où il ne tient compte

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(1) Ci-dessus, p. 53 (analyse de DEDEKIND) et p. 96 (analyse de Hic- BERT).

que de ce qui en elle est déterminé, BROUWER réintroduit subrepticement l’un des moments essentiels de la généralisation classique, à peine masqué sous l’image — qui n’est pour lui-même qu’une image — du développement dans le temps. D'où l'accord partiel (les possibilités de réussite pour des entreprises comme celles de GENTZEN), l’inutilité, pour la plupart des problèmes à ce stade, de la distinction entre définitions positives ou négatives (de la séparation, de l’ordre) ; les raisonnements classiques peuvent se mettre alors sous forme hypothétique : si on sait séparer, ordonner tels nombres réels il en résulte ceci. — Reste le second stade, l'analyse complète avec définitions non prédicatives : ici de nouveaux objets sont posés, deviennent points de départ de raisonnements. La généralisation s’actualise en idéalisation. C’est le pouvoir de créer dont parle DE- DEKIND, que HILBERT avait cru légitimer avec les démonstrations de non contradiction. La théorie du signe doit alors intervenir.

Elle n’a pas chez HILBERT la valeur d’une simple description psychologique. Il s’agit de la reconnaissance phénoménologique (au sens husserlien) d’un caractère essentiel des énoncés mathématiques : ils ne sont jamais que la constatation d’une certaine situation entre objets sensibles. On a vu que KANT éprouvait déjà le besoin d’étendre sa théorie des démonstrations géométriques aux processus algébriques. Le mouvement général de formalisation au x1x® siècle n’est pas un accident historique : les symboles ne sont pas des adjuvants pour la mémoire, mais les nouveaux objets que l’on considère authentiquement (qui ne sont pas mis là pour autre chose qu'ils représentent) dans une théorie radicalement nouvelle engendrée par le processus de généralisation. L’attitude du Cercle de Vienne est iciinstructive : WIT- TGENSTEIN rejetait les propositions syntaxiques parce qu'une situation entre objets (ici éléments de la langue) se voit, ne s’énonce pas. Il est absurde d’écrire 4 = 4,4 b. Avec

ja distinction de syntaxes superposées (qui correspond au passage de la combinatoire intuitive aux mathématiques proprement dites), les énoncés syntaxiques reprennent un sens, mais en tant qu'ils s’insèrent dans un système formel. « La possibilité d’être traduit dans le mode d’expression formel... est le critérium qui distingue les vraies propositions de la logique de la science des autres propositions philosophiques [dépourvues de sens]» (1). On a vu le triomphe du formalisme sur le logicisme ancien de ce point de vue : cette insertion forcée oblige à ne donner au signe d’autre sens que ses modes d'emploi. L'énoncé d’une situation mathématique est lui-même une situation mathématique. Mais comme telle sans lien direct avec la première. Ce fut l'erreur commune au logicisme et au formalisme de vouloir transformer en liaison nécessaire un rapport quiappartient — si modifié soit-il — au phénomène général du langage. Aussi bien le logicisme actuel s’occupe-t-il de faire les distinctions indispensables (2). D’autre part les mathématiques elles-mêmes prêtent à confusion

est à la fois situation et expression de situation. Mais dès le jeu sur l'équation, son traitement effectif, se séparent acte et discours. Si les mathématiques sont travail sur des formules, elles ne sont ni le système formel de RUs- SEL ni celui de HirBERT. L'un et l’autre n’ont d'intérêt que pour la théorie des ensembles (ou pour la combina-

(1) CARNAP (III), p. 210.

(2) Déjà FREGE distinguait entre un symbole p en tant que représentant d'objet et la désignation de ce symbole ‘p’ (exemple de CARNAP : « Paris est la capitale de la France » et « ‘Paris’ est disyllabique »). Cf. les remarques de CARNAP (II), p. 109-113 et 184-192 sur le mode d’expression autonyme (où le symbole se représente lui-même, exemple la proposition p (Np) dans Gü- DEL (II), ci-dessus, p. 148) et de TARSKI (III) sur la superposition des langues.

toire logique) {?) où justement les raisonnements naïfs privés de support sensible risquaient de se référer implicitement à des images finies. On voit sans peine que l’étroit corselet des règles de la logique classique n’enserre que de façon incommode les expériences imprévisibles faites sur les formules (?). Ce sont celles-ci dans leur originalité concrète qui constituent la réalité objective, non leur traduction qui aussi bien se réduit à une suite d’expériences d’ordre différent. Il n'y à pas plus de raison de remplacer toutes les opérations effectuées en mathématiques par des opérations arithmétiques (3) qu’il n’y avait de raison de construire comme on faisait du temps de WEIERSTRASS toutes les relations en systèmes de relations de nombres réels. La formalisation complète aboutit paradoxalement à supprimer les indépendances opératoires que la méthode axiomatique aurait eu pour but de sauvegarder (‘).

(1) Indépendamment de développements techniques comme celui de la théorie des fonctions récurrentes chez HILBERT, ACKERMANN (ci-dessus, P- 119).

(2) GENTZEN (I) a essayé de définir un système logique (équivalent au système classique) plus proche des procédés naturels de la pensée, il insiste en particulier sur le procédé de distinction des cas pour l'élimination de V (les deux hypothèses de la disjonction sont successivement envisagées, si elles conduisent au même résultat celui-ci sera affirmé comme conséquence de la disjonction). — À propos de la formalisation de la démonstration d'EUcLIDE qu'il y a une infinité de nombres premiers (GENTZEN (Il), p. 506-511), il distingue différents modèles d’induction complète, en particulier l'induction complète descendante :

4a () ATX: (8%) > Xa (#1) ] æ 42 (0) #1 t étant un nombre particulier. On se trouve ici dans le cas de raisonnements arithmétiques dont les expériences comme telles sont voisines de celles de la syntaxe d’une langue. Cf. pourtant la longueur de la formalisation (avec le système classique) du début de l’arithmétique in HILBERT et BERNAYS (I), p. 405 sq., en particulier la démonstration de la symétrie de la relation Pr (a b) : a et b sont premiers entre eux.

(3) Celles de l'arithmétique récurrente où se traduisent les opérations logiques. Cf. aussi SKOLEM (Il).

(4) Cf. à ce sujet C. CHEVALLEY (I), p. 379.