LA LOGIQUE

rage individuel d’une expérience en tant à la fois que telle et qu’événement vécu d’une conscience, mais le repérage luimême dès qu’'objectif est expérience d’un autre ordre (°). Dans cet enchevêtrement la notion d'expérience pure ou conscience disparaît. Quant à l'application des mathématiques à la « réalité », c’est-à-dire au système d'interactions vitales entre homme et choses, il est visible d’après ce qui précède qu’elle n’intéresse plus le problème du fondement des mathématiques : l’enfant devant son boulier est mathématicien, et tout ce qu’il y peut faire n’est que mathématique ; mais l’ordre suivi, la liaison aussi avec d’autres expériences peuvent être dirigées par une intention technique de rôle d’abord négatif : arrêt de l’approfondissement de conscience réclamé par chaque expérience séparément. En second lieu abandon de tout à prior. La signification véritable de la logique semble avoir été définitivement précisée par BROUWER : c’est la traduction, dans la syntaxe du langage, d’expériences générales sur des systèmes finis ; son autorité est celle d’une première étape par laquelle il faut toujours passer, autorité identique à celle de l’arithmétique et de l’analyse pour les théories postérieures. Mais de là aussi, l'abandon d’une critique qui ne peut être efficace quand elle porte non sur les discours mathématiques mais sur la réalité des enchaînements. La contradiction n'est que l'expérience d’un échec (impossibilité d’accomplissement d’un geste prévu par la conscience inadéquate). D'où la confusion — que signalait HILBERT — entre existant, c’est-à-dire saisissable empiriquement, et non contradictoire : c’est, contrairement aux apparences, cela qui constitue le véritable sens de ceci. De même pour le tiers exclu : il ne fait que traduire l'indépendance dialectique

(1) D'où, par exemple, le rôle du calcul des probabilités qui semble le développement mathématique de l'expérience individu-collectivité. Nous espérons revenir ailleurs là-dessus.

de l’expérience par rapport à son actualisation dans une conscience individuelle ou dans un procédé donné. On l’a vu à propos du continu au premier stade : la notion de totalité y est identique à celle d’arbitraire. Dans toute théorie, transformer la négation d’une proposition universelle en proposition particulière n’est que le jeu préalable à des nouvelles opérations : rien n’interdit à priori que pour celle-ci suffise le point de départ négatif (qui n’est d’ailleurs pas situé dans le vide, mais dans un milieu doué de propriétés positives, par exemple dans l’analyse, si les propriétés restant attribuées à un nombre réel permettent d’agir sur lui). La négation a au contraire ici un effet de dissociation, elle permet de libérer une opération jusque-là jointe à d’autres (exactement comme les axiomatisations partielles). C’est un reste d’attachement à l’4 priori logique qui oblige les intuitionnistes à leurs interdictions. Pour séparer la nécessité mathématique des constatations expérimentales il leur faut une intuition originale et, puisqu’impossible à définir, dont la réalité au moins soit prouvée par la continuité de constructions enchaînées. Mais la rationalité de :a conscience est véritable immanence c’està-dire qu'aucune exigence — pas plus qu'aucune définition — ne peut la garantir. La mathématique intuitionniste est une partie au sein des mathématiques — pouvant d’ailleurs, en raison des conditions imposées, présenter des avantages pour la technique humaine (:).

BERNAYS niait en 1934 — c’est-à-dire peu après la déception des ambitions formalistes — qu'il y eut une crise des mathématiques : «en vérité les sciences mathématiques croissent en pleine sécurité et harmonie » (2). Crise philosophique seulement parce que des exigences extrinsèques ont

(1) Nous pensons ici à des remarques — verbales — de R. WAVRE sur l’utilisation des mathématiques intuitionnistes par la physique moderne. (2) BERNAYS (IV), p. 52.

J. CAVAILI ÈS 12

été posées, parce qu’aussi bien du côté de HILBERT que de celui des intuitionnistes un idéal d’évidence a été défini: ax1omatisation et formalisation ne sont plus moments d’une dialectique créatrice mais des uniformes obligatoires. D'où sans doute également pas mal d’exagération dans les difficultés de la théorie des ensembles : réellement il n’y a, semble-t-il, que celles qui proviennent du mélange entre spéculation philosophique et raisonnements mathématiques et celles, normales, que provoquent les insuffisances techniques. On a vu ailleurs (1) la naissance des premières, comment, des expériences effectives sur des ensembles de l'analyse, CANTOR, puis ZERMELO sont partis fonder les notions de nombre et de fonction sur une théorie qui leur soit préalable (c’est-à-dire qu'aucune dialectique expérimentale ne permet d'atteindre). Avec les axiomatisations formalisantes de FRAENKEL et de VON NEUMANN la théorie abstraite retrouve une signification sensible : les opérations effectuées sur les symboles. Qu'’eiles ne correspondent pas au sens initial n’a rien d’étonnant, la non catégoricité fondamentale de ces systèmes conçus comme traduction d’une autre réalité (impossible à atteindre concrètement) et non comme systèmes formels indépendants, en est la preuve. Ils ne sont mathématiques qu’en tant que formels, quelles que soient par ailleurs les possibilités de coordination avec d’autres systèmes pour certaines opérations effectuées celles-la sur des ensembles construits dans d’autres théories (le passage d’un ensemble à l’ensemble de ses parties). Quant aux paradoxes des ensembles analytiques ou projectifs — en dehors des liaisons inattendues qu’ils découvrent (entre usage de la totalité de la classe II et opérations géométriques) — ils ne font, en tant que paradoxes, qu’accentuer à nouveau le hiatus entre procédés géométriques et procédés analytiques. La situation est symétrique — et

(1) CaAvaiLLÈs (III), p. 74 et-118.

prolongement — de celle de la mathématique grecque au moment de la découverte des irrationnels : ici encore un moyen d'unification (les définitions des irrationnels données au xIx° siècle) se révèle inefficace. Pas plus qu’alors les objections des Sophistes contre la division de l'unité, n’en reçoivent aujourd’hui justification les doutes sur l’analyse. Ici comme ailleurs la nécessité dialectique se masque sous un échec, l’expérience nouvelle n’est donnée que par un effort positif d’authentique aperception.

Vu : le ro février, 1937.

Le Doyen de la Faculté des Lettres de l’Université de Paris,