SECONDE PARTIE
raKSF.yrtK le a février i8a3, a la société royale î»e cormcui \
Il reste encore à exposer quelques recherches destinées à étendre et à éclairer la théorie précédente.
Cherchons d'abord si l'élimination qui fournit les variables x, y y z, etc. , en fonction de £, >j, etc. , est toujours possible. Puisque le nombre des équations est égal à celui des inconnues, on sait que cette élimination sera possible si Sï^? clc * sont indépendants les uns des autres; dans le cas contraire, elle serait impossible.
Supposons, pour un instant , que £, » , f , clc* , ne soient pas indépendantes , niais qu il existe entre ces quantités l'équation identique
o = FH -h G» -h HÇ -\ -f-K;
nous en conclurons
F^fl , + G^fl6 + H^flc+.,. = o >
Posons
la F -h & G + cH+...= 0, J a' F -H V G -f- ✓ H -*-...= G',
il viendra
fle + û'0'H-fl"9"-f.., = o, ^ + ^ + W + ...= o, cG -h SB' H- c"G"-K . .= o,
tQ+l'B' -f. l" Q" + . . ,z= — K.
En multipliant les équations (i), respectivement par 0, & y 0", etc., et ajoutant , il vient
«t cette équation entraîne les suivantes :
De là nous concluons, en premier lieu, K = o. En second lieu, les équations (i) montrent que les fonctions t>, v', t>", etc., sont telles, que leurs valeurs ne changent pas lors-
que les variables :r, 7, 2, etc. , prennent des accroissements proportionnels à F, G, H, etc. Il en sera évidemment de même des fonctions V, V, V, etc. : or cela ne peut avoir lieu que dans le cas où il serait impossible de déterminer jr, y, z, etc. , à Taide des valeurs de V, V, V", etc. . lors même que celles-ci seraient exactement connues \ mais alors le problème serait indéterminé par sa nature , et nous exclurons ce cas de nos recherches *
Désignons par j3, fi\ |3", etc., des multiplicateurs qui jouent le même rôle relativement à l'inconnue^, que les multiplicateurs a , a', a", etc., relativement à l'inconnue x, cVst-à-dirc tels, que l'on ait
a ($*) + b (ft) + c (Pv)H-...= p, ^(p«)-{-^(PP)4-c'(p 7 )-+-...= P' 1 « ir (Ppt) + ^pP)+c ,r (P7)+...= P\
on aura identiquement
p^-t-pv-hpv.. .=r — b.
Soient y, y', /', etc. , les multiplicateurs analogues relatifs à la variable z tels, que l'on ait
et, par suite,
7PH 7 V-f- /',/'-+-• . .= z — C.
De la même manière que Ton a trouvé (art. 20)
Digitiz
nous trouverons ici
et ainsi de suite.
On aura aussi , comme dans l'art. 20,
Multiplions les valeurs a, a', a", etc. (art. 20), respectivement, par |3, JS', etc., et ajoutons \ nous aurons
c'est-à-dire
En multipliant 0, etc., respectivement, par a, a',
a", etc., et ajoutant, on trouvera
donc
On trouverait, de la même manière,
(« y )=( 7 «) = 2«7. (P7) = (7P) = 2PV».«.-
Désignons par X, X', X", etc., les valeurs que prennent les fonctions f, ^, ^, etc., quand on y remplace x,y, z, etc., par leurs valeurs les plus plausibles, A, 13, C , etc., c'est-àdire posons
aA + iB + cC + ...+ /=)i, a'A+i'B+f'C+. .-|-/'=à', * 'A + i"B + c"C-f... + /" = r,
Si nous faisons
de telle sorte que M soit la valeur de la fonction £1, qui répond aux valeurs les plus plausibles des variables -, M sera (art. 20) la valeur minimum de £1.
Par suite,
sera la valeur que prend £ , lorsque
Cette valeur est nulle, d'après la manière même dont A , B, C, etc., ont été obtenus. On aura donc
on obtiendrait de même
^^ôX = o, = o, . . . ,
et
Enûn, en multipliant les valeurs de X, X', X", etc., respectivement, par X, X', X", et ajoutant, il viendra
/; + n'+rri — = v -h x" +v" + ...,
c'est-à-dire
Remplaçons , dans l'équation
v = ax by -+- cz -+■ . . . ■+• /,
x> j, z, par les expressions (7) [art. 21], on trouvera, en employant des réductions faciles,
Multipliant respectivement, ou ces équations ou les équations (i) de l'art. 20, par X", etc., et ajoutant ensuite, on obtient l'identité
La fonction A peut se présenter sous plusieurs formes qu'il est important d'indiquer.
Élevons au carré les équations (i) [art. 20], et ajoutonsles membre à membre, nous trouverons
a = x * 2 ** + j2 2 b * + 2 ' 2 c ' + " ' * + 2 ^ 2 ah nxz^ac+ lyz ^ bc-\-, . .H- a* ^) fl/ + 2 / 2
c'est la/; remière forme.
Multiplions les mêmes équations, respectivement, par ^, ^, t>", etc. , et ajoutons, on aura
remplaçons y, ^, etc. , par les valeurs indiquées dans l'article précédent , nous trouverons
ft = |x-4-«r -4- ÇzH-.. . — Aç — Ryj — CÇ — . . . -f- M,
ou
c*est la seconde forme.
Enfin, remplaçons , dans cette seconde forme, x — A, y — B, z — C, etc., par les expressions (7) [art. 21 J, nous obtenons la troisième forme :
ft = (aa) ¥-h(W)ri 7 -h(yy)V-h. . .-f-2(ap)Ç„ + 2(«7)ÇÇH-a(P7)uÇ-h...-+-M.
On peut donner une quatrième forme qui résulte évidemment de la troisième et des formules des articles précé-
dents,
n = + (</ - v)> + (</'- yy + . . (+ m,
c'est-à-dire
ft = MH- 2 ("->)'•
Sous cette dernière forme on voit clairement que M est la valeur minimum de ft.
Soient e, e / , e", etc., les erreurs commises dans les observations qui ont donné
Les vraies valeurs des fonctions V, V, V", etc., seront alors
et les vraies valeurs de f", etc. , seront respectivement
par conséquent, la véritable valeur de x sera
A — a<? v(/t? — aV \fp r —a"e"ffî—...,
et Terreur commise dans la détermination la plus convenable de l'inconnue x sera , en la désignant par Ex,
E* r= <xe -h ftV v9" -H <*V' vf*" + • • • •
De même, Terreur commise dans la détermination la plus convenable de la valeur de j- sera
Ej = sfc 4- fV y 7 ? -+- P"'" V / ? / + - • • • La valeur moyenne du carré (Ex)* sera
tri 1 p (a 1 -f- a'» -h a" 3 + . . . ) = /«'/>(««)• La valeur moyenne de (Er) s sera de même
connue nous l'avons déjà reconnu. On peut également assigner la valeur moyenne du produit Ex. Ey, qui sera
m 7 p ( a p + a' p' -f- a" (J" -H . . . ) = mjp (ap).
On énonce ces résultats plus brièvement de la manière suivante :
Les valeurs moyennes des carrés (Er)', (E^)*,etc, sont
respectivement égales aux produits de par les quotients différentiels partiels du second ordre
d : ïi d'à
et la valeur moyenne d'un produit tel que Ex . E/ est le
produit de ^m*p par ^ ? en regardant H comme fonction de £, »7, f , etc.
Soit t une fonction donnée et linéaire des quantités x, y, z, etc., par exemple,
t =/x -h gj -h /<z -h . . . -h * ;
la valeur de £ déduite des valeurs les plus plausibles de x, y, s, etc., sera
nous la désignerons par K. En désignant par Et Terreur commise en l'adoptant, on aura
Et =/Ex-h gEj -+- A Es -h. . .;
la valeur moyenne de cette erreur sera évidemment nulle, c'est-à-dire que Terreur ne contiendra pas de partie constante, mais la valeur moyenne de (Et)*, c'est-à-dire de la somme
/ , [Ej) 5 + *fgEx.Ey -h 2///Ex.Ez-i-.. .
sera, d'après l'article précédent , égale au produit de m f p par la somme
/»(aa) •+■ 2/^(ap ) + 2/// («y) -h . . .
c'est-à-dire au produit de m*/; par la valeur de la fonction il — M, lorsqu'on y fait
Désignons parw cette valeur de II — M ; l'erreur moyenne à craindre, lorsque l'on prend £ = K, sera m^ptù, et le
poids de cette détermination sera Puisque Ton a identiquement
a — M = (x — A) Ç -h (y — B) îj -4- (a — C)Ç+..., w sera égal à la valeur de l'expression
[qui représente (f — K)]î dans laquelle on remplacera x 9 y, z, etc., par les valeurs correspondantes à £ = Y) = g, £ = ^, etc.
Enfin , observant que f , exprimé en fonction des quantités £, >}, f , etc., aura K pour partie constante, si l'on suppose
t = FÇ -f- G* -h HÇ+... + R,
on aura
Nous avons vu que la fonction il acquiert son minimum absolu M, lorsque l'on y fait
■r = A, J =B, s — C, . . . , ou , ce qui revient au même,
Si lou attribue à l'une des inconnues une autre valeur ; que l'on fasse, par exemple,
les autres inconnues restant variables, ft pourra acquérir une valeur minimum relative, qui s'obtiendra à l'aide des équations
da dCl X==AH ~ A ' 7fy = ° y dz = °""
et, par suite,
or, puisque
* = À + (aa)Ç+(ap)nH-(«7)Ç-*-.. M
on en conclut
On trouvera de même
La valeur minimum relative de ft sera
HP + H = M-f-
Nous en conclurons, réciproquement, que si il ne doit pas surpasser M -f- /i a , la valeur de x est nécessairement comprise entre les limites A — ^^(aa), et A -h fz \/(aa). Il
est important de remarquer que p <J(*ol) devient égal à l'erreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plausible de x, si Ton pose
c'est-à-dire si ^ est Terreur moyenne d'observations telles, que leur poids soit l'unité.
Plus généralement, cherchons la plus petite valeur de la
fonction il qui puisse correspondre à une valeur donnée de t , t désignant , comme dans l'article précédent , l'expression linéaire
% f* + gy hz+ . . . + x,
dont la valeur la plus plausible est K ; désignons par K-t-y. la valeur donnée de t. D'après la théorie des maximum et minimum, la solution du problème sera donnée par les équations
d£i de dx dx ' da dt djr dy d£l ^dt dz dz*
0 désignant un multiplicateur encore indéterminé.
Si, comme dans l'article précédent, nous posons identiquement ,
/ = F5 + G«-l-HÇ + ... + K,
nous aurons
K + x = G(/F+ffG + AIi + ...) + £;
d'où
w ayant la même signification que dans l'article précédent.
Puisque — M est une fonction homogène du second degré, par rapport aux variables £, yj, etc., sa valeur pour
sera évidemment
Jigitizedi ^ >gle
et, par conséquent, la valeur minimum de H, lorsque
sera
Réciproquement, si doit rester inférieure à une valeur donnée M + |x. ! , la valeur de t sera nécessairement com-
. prise entre les limites R — u v'o), K-h^y/c»), et fW^ sera Terreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plausible de t , si {A représente Terreur moyenne d'observations dont le poids serait l'unité.
Lorsque le nombre des inconnues x, j', etc., est un peu grand , la détermination des valeurs numériques de A, B, C, etc., par l'élimination ordinaire, est assez pénible. C'est pourquoi nous avons indiqué, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, et développé plus tard, dans le Mémoire sur les éléments de l'orbite de Pallas [Commentaires de Gottingue, t. I), une méthode qui simplifie ce travail autant que possible.
La fonction £1 doit être ramenée à la forme suivante :
a>° " ui/ ' z" ' or M '
où les diviseurs <A>°, ifi/, CD'", etc., sont des quantités déterminées; m 0 , m', il", etc., sont des fonctions linéaires de x,y y z, etc., telles que la seconde ii ne contient pas x* la troisième u" ne contient ni a: ni j-, la quatrième ne contient ni x, ni y, ni z, et ainsi de suite, de sorte que la dernière u(° — 0 ne contient que la dernière des inconnues j, etc.; enfin les coefficients de x, y, z, etc., dans u°, m', zi", etc., sont respectivement égaux à «Ao 0 , atë/, O^etc. Alors on pose
et Ton aura très-facilement les valeurs de x> y, z, etc.,
en résolvant ces équations et commençant par la dernière. Je ne crois pas nécessaire de répéter de nouveau l'algorithme qui conduit à cette transformation de la fonction II (*).
Mais l'élimination qu'il faut effectuer pour trouver les poids de ces déterminations exige des calculs bien plus longs encore. Nous avons montré, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, que le poids de la détermination de la dernière inconnue, qui entre seule dans m(*~0, est égal au dernier terme de la série des diviseurs JU, ift/, G", etc. Cette recherche est facile ; aussi plusieurs calculateurs, voulant éviter , une élimination pénible, ont eu l'idée, faute d'autre méthode, de répéter la transformation indiquée en considérant successivement chaque inconnue comme la dernière. J'espère donc que les géomètres me sauront gré d'indiquer, pour calculer les poids des déterminations, une méthode nouvelle qui ne me semble plus rien laisser à désirer sur ce point.
Posons
/ uo = x 9 x -f- ni>° y H- £° z -h . . . 4- -C,
on aura identiquement
dïl z= \âx -f- * dr -f- Ç dz -+- . . .
du 0 u' du' u'du"
-f- a" (rfs 4- • .)
. ( * ) On trouvera ces calculs dans une Note à la fin du volume. J. B.
d'où nous déduirons :
Les valeurs de w°, u\ u", etc., déduites de ces équations, se présenteront sous la forme suivante :
( «° = ti , 3) 1 «' = A'? -h *»,
«* = A"Ç-hB"»,H-Ç,
De la différentielle complète de l'équation
n = Ç(x - A) + r ( (/-B) + !;(3-C)+...+ M, retranchons l'équation
irffï = Ç <ir -f- yj dy Çrfz -H. . . ,
il viendra
Cette expression doit être identique avec celle que Ton obtient à l'aide des équations (3), c'est-à-dire
d\ 4- 4r ( A'rfÇ 4- + ~ ( AVÇ + B"*ï 4- rfÇ) -K . . ;
on aura donc
En substituant dans ce3 expressions, les valeurs de i/% u', u", etc., tirées des équations (3), on aura effectué l'éli-
mination. Pour déterminer les poids, nous aurons
JL ¥1 — £1
~~ JL« Di>' G" +
tJÏ? G 7 ' (D*
g" ~*~ <eT
La simplicité de ces formules ne laisse rien à désirer. On trouverait des formules également simples pour exprimer les autres coefficients (a/3), (ay), (|3y), etc. ; mais, comme leur usage est moins fréquent, nous nous dispenserons de les exposer.
L'importance du sujet nous a engagé à tout préparer pour le calcul et à former les expressions explicites des coefficients A', A", A'", B", B'", etc.
Ce calcul peut être abordé de deux manières : la première consiste à reporter, dans les équations (2), les valeurs de n°, a', m", etc., déduites du système (3), qui doivent rendre ces équations identiques \ et la seconde à exprimer, au contraire, que le système ( 2) devient identique lorsqu'on y substitue les valeurs de £ , *j, f , déduites du système (3).
La première méthode conduit aux formules suivantes :
Kl
të° CE)' ., 00" ... ....
Ces formules feront connaître A', A", A'", etc. o.
On aura ensuite, -Ob'
, + ër ,B''+B" = o,
qui donneront B", B'", etc. -, puis
CÔ"
qui feront connaître C", etc.; et ainsi de suite. La seconde méthode donne le système suivant :
X° A'-hrë>° = o,
d'où Ton tire A' ;
d'où l'on tire B" et A" -,
X° A'" -h ift» 0 B'" -h C° C" -h (D° = o , KÎ,'B" , + e'C" / + (D / = o, G"C" -f-(D" = o,
d'où Ton déduira C w , B w , A w ; et ainsi de suite.
Les deux systèmes de formules offrent des avantages à peu près égaux, lorsque Ton veut les poids des déterminations de toutes les inconnues .r, y, z, etc.; mais lorsqu'on ne cherche qu'une seule des quantités (aa), (|3(3), (yy), etc., le premier système est bien préférable.
D'ailleurs, la combinaison des équations (1) et (4) conduit aux mêmes formules, et fournit, en outre, un second moyen d'obtenir les valeurs les plus plausibles
A, tt, C, etc., qui sont
pO (J 1>H ttf/
L'autre calcul est identique avec le calcul ordinaire dans lequel on suppose
Les résultats obtenus dans l'art. 32 ne sont que des cas particuliers d'un théorème plus général qui peut s'énoncer de la manière suivante :
Théouème — Si t représente la fonction linéaire suivante des inconnues x, y, z, etc.,
t=fx 4- &r 4- hz-h. . .+ k, dont l expression en fonction des variables u°, u', u", etc., soit
K sera &i valeur la plus plausible de l, et le poids de cette détermination sera
Démonstration, — La première partie du théorème est évidente, puisque la valeur la plus plausible de t doit correspondre aux valeurs
Pour démontrer la seconde partie, remarquons que l'on a
i r/fl = Idx+ndy 4- Çdz-h. . . , dt =fdx + gdy + hdz + . . ,
. (5a) cl par conséquent, lorsque
on a
quelles que soient les différentielles dx y dy y dz^eie. Il suit de là qu'en supposant toujours ,
on aura
= k°du°+k t du'+h"du"-h....
Or on voit facilement que si les différentielles dx, dy, dz, etc. , sont indépendantes les unes des autres, il en sera de même de du 0 , du\ du f \etc. \ nous aurons, par conséquent, pour
U»z=X°k\ tt' = lft>'A', u"= e"A",
Par conséquent, la valeur de Q. correspondant aux mômes hypothèses, sera
X° A 0f -f- ifï/A'* -h 0"h nt -h ... -H M :
ce qui , d'après l'art. 29, démontre l'exactitude de notre théorème.
Si d'ailleurs on désire effectuer la transformation de la fonction f, sans avoir recours aux formules (4) (art. 32), on a immédiatement les relations
g = lfl, 0 Â 0 +lfï/A',
qui permettront Tie déterminer A 0 , A', A", etc., et nous aurons enfin
Nous traiterons particulièrement le problème suivant , tant à cause de son utilité pratique, que de la simplicité de la solution :
Trouver les changements que les valeurs les plus plausibles des inconnues subissent par V adjonction d'une nouvelle équation, et assigner les poids de ces nouvelles déterminations.
Conservons les notations précédentes. Les équations primitives , réduites à avoir pour poids l'unité, seront
on aura
Çî etc -î seront les dérivées partielles
d£l dSl di\
lîdx Tdy 2dz y " 9
et enfin on aura , par l'élimination ,
x = A-f- (aa) \ 4- («P)u + (a 7 ) . . ,
y = B + (ap) Ç -f- (pp) « + (p 7 ) Ç +. . ,
Supposons maintenant que l'on ait une nouvelle équation approximative,
dont nous supposerons le poids égal à l'unité. Cherchons les changements que subiront les valeurs les plus plausibles A , B, C , etc., et celles des coefficients (aa), (j3/3 ), etc. Posons
a 4- t/*' = n*, 1 du* 1 rfn* É 1 dn*
et soit
x = A* -h (aa*) + (ap*} n* + (ay*)Ç* 4- • . . le résultat de l'élimination.
Soit enfin ,
=fx -h gy 4- hz 4- . . . -h A , qui deviendra, en ayant égard aux équations (i), p*=F$+ G«+HÇ4-..4-K,
et posons
F/4- G# 4- HA -f-. . .= »;
K sera évidemment la valeur la plus plausible de la fonction u*, telle qu'elle résulte des équations primitives, sans avoir égard à la valeur o fournie par la nouvelle observa-
tion , et - sera le poids de cette détermination.
Or nous avons
et , par suite ,
d'où Ton déduit
r * ^ + 0"' + Hg > +...-HK
On a , en outre,
x = A-f-(aa)Ç*H-(ap)>ï*+(a 7 )Ç*4-
-**[/(«*)] + *(«(0 + M«7) + -..] = A 4- (aa) **4- . • . - F <>* ,
= À + (aa)É*+(«PK-K..— -(F$*4- 0**4- II Ç* 4-...K).
Nous déduirons de là ,
qui sera la valeur la plus plausible de x, déduite de /ou/es les observations.
On aura aussi
(cwt*) — (aa) ;
par conséquent,
sera le poids de cette détermination.
On trouvera de la même manière , pour valeur la plus plausible dey, déduite de toutes les observations,
