PROBLÈME

Désignons par v, v', v", etc., les fonctions linéaires suivantes des indéterminées x, y, z, etc.,

v = ax -h by -h cz -+-...-+-/, </ = a x -f b'y -h c'z -4- . . . -h v" = a"x+ b"y + c"z-h . . . 4- t\

Parmi tous les systèmes des coefficients •/.', v. ! \ elc. , qui donnent identiquement

k étant indépendant de x, y, z, etc., trouver celui pour lequel x 5 H- x' ? -+- -f- . . est minimum.

Solution. — Posons

ç, y;, f seront de» fonctions linéaires de .r, y, z, et I on aura

r t = xj^ab b 7 H- z ^ bc 4- . . . H- ^

^ ^ =: a 2 4- 4- fl"* 4- •

et de même pour les autres 2.

Le nombre des quantités etc., est égal au nom-

bre rj des inconnues jp, s , etc.; on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante (*),

x = A 4- (cca) l 4- (af) rj 4- (a 7 ) Ç -f- . . . ,

qui sera satisfaite identiquement lorsqu'on remplacera par leurs valeurs (3). Par conséquent, si l'on

(*) On verra plus loin la raison qui nous a conduit à désigner les coefficients de cette formule par la notation (««) , etc.

(IVo<e rfe M. Gjuss.)

pose

l a (a a) 4- b (ap) 4- c (ay) -f- . . . = a,

(4) ) a' ( aa ) -h ô'(af) (a 7 ) 4-. . .= a', ( (aa) 4- (aft) 4- r" (a 7 ) + . . . = a",

on aura identiquement

(5) xi' H- aV a"/' -h ... — x — A.

Cctte équation montre que parmi Jes diilërcnls systèmes de coefficients x, y.', x", etc., on doit compter le système

On aura d'ailleurs, pour un système quelconque,

et cette équation, étant identique, entraine les suivantes :

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, respectivement, par («a), («(3), (07)1 etc., nous aurons, en vertu du système (4) ,

(x — «) f -4- (x'— «') «' 4- (x" - a") a" 4- . .= o, c'est-à-dire

x'+x' s + ...= a'+a' î + ...+ (>'.-a) 5 +(x'- a')' + . . . ; par conséquent, la somme

• x l 4- x" 4- *" J 4- • • • aura une valeur minimum, lorsque l'on aura

i t if "

D'ailleurs cette valeur minimum s'obtiendra de la manière suivante.

L'équation (5) montre que l'on a

a « -h a'ot! H- a" -4- . . - = î , boc -h £V H- fc"a" -h. . .= o, fz+f ï -h c a +. ..= o,

Multiplions ces équations, respectivement, par (aa), («(3), («7), etc., et ajoutons; en ayant égard aux relations (4), on trouvera

y} -h a' 3 -4- a"' 4-. . .= (aa).

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives

il faudra, pour déterminer l'inconnue x, choisir une combinaison de la forme suivante,

y. v -h y.' / -f- y" v" -f- . . . =rz O ,

telle que l'inconnue x acquière un coefficient égal à 1 , et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cetie détermination sera , d'après l'art. 18,

D'après l'article précédent y on obtiendra la détermination la plus convenable , en prenant

alors x aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même valeur sans connaître les multiplicateurs a, a', etc., en effectuant l'élimination sur les équations

le poids de cette détermina lion sera

et Terreur moyenne à craindre

m y£ (a«) = m' s[j? (aa) = m" ^(aa) =. . . .

Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convenables des autres inconnues y, etc., qui seront celles que l'on obtiendrait en effectuant 1 élimination sur les équations

Si nous désignons par SI la somme

ou, ce qui revient au même,

p( V - L)' + P' (V - L' )' + y/' ( V" - L*)' + . . . , on aura évidemment

du da do.

2 Ç = — , 2 ïj = — , 2 ç = — - î . • • i

rfj rfz '

par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à SI une valeur minimum. Or V — L représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée j donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et observées des quantités V, V, V", etc., ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. J'avais établi depuis longtemps ce principe par d'autres considérations (Theoria Motus Corporum cœlestium).

Si Ton veut assigner la précision relative de chacune des déterminations, il faut déduire des équations (3), les valeurs o. 3

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de or, /, s, etc., qui se présenteront sous la forme suivante : / x = A -+- (aa) Ç -f- (af) rj H- (ay) Ç -f- . . .,

(7) J J = BH-(pa)Ç-f-(Pp), 4- (py)Ç -»-...,

( 8 = C-h(7a)Ç + (7p)ii4-(ry)Ç + --.-

Les valeurs les plus plausibles des inconnues x,y, z, etc.,

seront A, B, C, etc. Les poids de ces déterminations seront

(17)' (Jf)' M'""

et les erreurs moyennes à craindre

pour x, m')Jp (aa) = m' V^'(aa), . . . ,

pour 7, m sfr (pp) = m' ^(PP),

pour z, w (77) = m ' {F{rt)i • • • »

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement ( Theoria Motus Corporum cœlestium).

Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fréquent et le plus simple de tous. On a alors

il sera utile d'en dire quelques mots.

On aura

et, par conséquent,

d'où

p+p-hp'...

A== pl+p'V + p"V-h... -

Ainsi , si , par plusieurs observations qui n'ont pas la même précision et dont les poids respectifs sont p,p f , p", etc., on a trouve*, pour une même quantité, une première valeur L, une deuxième L', une troisième L", etc., la valeur la plus plausible sera

et le poids de celte détermination sera

Si louies les observations sont également plausibles , la valeur la plus probable sera

c'est-à-dire la moyenne arithmétique entre les valeurs observées; en prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids de la moyenne sera xs.