h w l-hw i-f- w
Puisque d'ailleurs
n = Ç(x - A) 4- n(jr — B) -h — C) 4-. . .H- M, £1*= fi -h p*%
on devra avoir, pour ces mêmes valeurs,
EL En comparant ces résultats avec ceux de l'article 30, nous voyons ici que la fonction D. a la plus petite valeur qu'elle puisse obtenir lorsqu'on s'impose la condition
Nous donnerons seulement ici la solution du problème suivant, qui a beaucoup d'analogie avec le précédent; mais nous nous abstiendrons d'indiquer la démonstration , à laquelle le lecteur suppléera facilement en s'aidant de ce qui précède.
Trouver les changements des valeurs' les plus plausibles des inconnues et les poids des déterminations nouvelles, lorsque Von change le poids de l'une des observations primitives.
Supposons qu'après avoir achevé le calcul on vienne à remarquer qu'on a attribué à une observation, à la première par exemple qui a donné V = L , un poids trop fort ou trop faible, et qu il serait plus exact de lui attribuer le poids p*, au lieu du poids p : il ne sera pas nécessaire de recommencer le calcul , mais il sera plus commode de former les corrections à l'aide des formules suivantes.
Les valeurs les plus plausibles des inconnues deviendront
— p) (a* -f- bp H- cy -+■ . . .)
— p) (a a H- b p -f- cy -+• , . , )
— p)(aot + +cy +. . .)
les poids de ces déterminations s'obtiendront en divisant l'unité, respectivement, par
(aa) (P*-P)«> •
p -h (p* — p) («a + ^ + cy-f-...) Cette solution convient au cas où, après avoir achevé le
calcul , il faudrait rejeter tout à fait Tune des observations, puisque cela revient à faire p* = oj de même, p* = ao conviendra au cas où l'équation V = L , qui dans le calcul avait été regardée comme approchée, serait rigoureusement exacte.
Si, après le calcul terminé, plusieurs équations nouvelles venaient s'adjoindre aux proposées, ou si les poids attribués à plusieurs d'entre elles étaient erronés , le calcul des corrections deviendrait trop compliqué, et il serait préférable de tout recommencer.
Nous avons donné, dans les art. 15 et 46, une méthode pour déterminer, approximativement, la précision d'un système d'observations (*); mais cette méthode suppose connues exactement les erreurs réelles que l'on a effective* ment rencontrées dans une suite nombreuse d'observations; or cette condition n'est remplie que bien rarement, pour ne pas dire jamais.
Si les quantités dont l'observation fournit les valeurs approchées dépendent, suivant une loi donnée, d'une ou de plusieurs inconnues, on pourra trouver, par la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus plausibles de ces inconnues; si, dès lors, on calcule les valeurs correspondantes des grandeurs observées, ces dernières pourront être regardées comme différant peu des véritables : de sorte que leurs différences avec les valeurs observées, représenteront les erreurs commises avec une certitude d'autant plus grande , que les observations seront plus nombreuses. Telle est la marche suivie dans la pratique par les calcu-
(*) Les recherches sur le môme sujet insérées par nous (Zeitschrift /ur Astronomie und verwandle Wissenschqfton , vol. I, page i85) sont fondées sur l'hypothèse relative à la probabilité des erreurs à laquelle nous avions été conduit dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes.
(Note de M. GaissO
On trouvera ce Mémoire à la fin du volume. J. R.
la.teurs, qui ont essayé, dans des cas compliqués, d'évaluer à posteriori la précision des observations. Quoique suffisante dans bien des cas, cette méthode est , théoriquement, inexacte et pourrait quelquefois conduire à de graves erreurs ; c'est pourquoi il est très-important de traiter la question avec plus de soin.
Conservons les notations de l'art. 19. La méthode dont il s'agit consiste à regarder A, B,C, etc., comme les véritables valeurs des inconnues jr, etc., et X, X', X", etc., comme celles des fonctions y, v etc. Si toutes les observations ont une égale précision et que leur poids commun
soit pris pour unité, ces mêmes quantités, changées de signe, représentent, dans celte supposition, les erreurs des observations, et, par conséquent, d'après Fart. 15,
sera Terreur moyenne des observations. Si les observations n'ont pas la même précision , — X, — X', — X", etc. , représenteront les erreurs des observations, respectivement multipliées par les racines carrées des poids , et les règles de l'art. 16 conduiront à la même formule,
qui exprime déjà l'erreur moyenne de ces observations lorsque leur poids est égal à l'unité.
Mais le calcul exact exigerait évidemment que l'on remplaçât X, X', X", etc. , par les valeurs de \>\ v", etc. , déduites des véritables valeurs des inconnues x,y, z, etc., et la quantité M par la valeur correspondante de fl. Quoique l'on ne puisse pas assigner cette dernière valeur, nous sommes certain pourtant qu'elle est plus grande que M qui est son minimum : elle n'atteindrait cette limite que dans le cas, infiniment peu probable, où les va-
leurs véritables des inconnues se confondraient avec les plus plausibles. Nous pouvons donc affirmer, en général, que Ferreurmoyenne calculée par la pratique ordinaire est plus petite que l'erreur moyenne exacte, et que l'on attribue , par conséquent , aux observations une trop grande précision. Voyons ce que donne une théorie rigoureuse.
Avant tout, il faut chercher comment la quantité M dépend des véritables erreurs des observations. Désignons ces erreurs, comme dans Fart. 28, pare, e 7 , e", etc., et posons , pour plus de simplicité ,
et
m sjp = m! \Fp' = m" s/p 7 ' = . . . = p.
Soient
les vraies valeurs des inconnues J?,/, z, etc., pour lesquelles £ , m , £, etc. , soient, respectivement, — £° , — yj°, — £°, etc. Les valeurs correspondantes de v y v*, t^', etc., seront évidemment
de sorte qu'on aura
H°=fl6H-«V-4-rt"«"-}-..., r° = be + b's! -h b" s" -+-. . . ,
Ç°=rC£ -+- cY -h C"ï" -h. . . ,
z*~ as -f- aV -h a" s" -+- . . . , /•=pt-f. pV 4- p" f" -+-'...,
enfin
sera la valeur de la fonction ft, correspondant aux vraies valeurs des variables a:, y, z y etc.
Puisque Ton a identiquement' a = M + (x — A ) Ç H- (y - B) * -h [z — C) K -+- . . . ,
on aura aussi
De là , il résulte évidemment que M est une fonction homogène du deuxième degré des erreurs e, e\ e", etc. -, cette fonction pour diverses valeurs des erreurs pourra devenir plus ou moins grande. Dans l'ignorance où nous sommes de ces valeurs, il est bon d'examiner attentivement la fonction M, et de calculer d'abord sa valeur moyenne d'après les principes du calcul des probabilités. Nous obtiendrons cette valeur moyenne en remplaçant les carrés e f , etc., par m*, m'*, etc., et en omettant les termes en eé ', ee", etc., dont la valeur moyenne est zéro*, ou, ce qui revient au même, en remplaçant chaque carré e*, e'% e"*, . . . , par jx*, et en négligeant ce', ee", .... D'après cela, letermell 0 fournira gj^*; le terme — .r° £° donnera
chacune des autres parties donnera également — , de sorle que la valeur moyenne totale sera
gj désignant le nombre des observations, et p le nombre des inconnues. La vraie valeur de M pourra , suivant les cas que le hasard présentera, être plus grande ou plus petite que cette valeur moyenne , mais la différence sera d'autant moindre que le nombre des observations sera plus grand ; de sorte que
pourra être regardé comme une valeur approchée de f-t : par conséquent la valeur de p , fournie par la méthode erronée dont nous avons parlé dans l'article précédent, devra être
augmentée dans le rapport de \Jn — p à y gt.
Afin de faire voir plus clairement jusqu'à quel point il es! permis de regarder la valeur de M, fournie par les observations, comme égale à la valeur exacte, il faut chercher quelle est Terreur moyenne à craindre lorsque l'on fait
r CT p
Cette erreur moyenne est la racine carrée de la valeur moyenne de la quantité
que nous écrirons ainsi :
et comme la valeur moyenne du second terme est évidemment nulle, la question se réduit à chercher la valeur moyenne de la fonction
Désignons cette valeur moyenne par N, l'erreur moyenne cherchée sera
Si l'on développe la fonction ¥, on voit qu'elle est une fonction homogène des erreurs e, e', e", etc., ou, ce qui revient au même, des quantités e, e', e", etc.; on trouvera donc la valeur moyenne :
i°. En remplaçant les quatrièmes puissances e 4 , e'*, e fn , etc., par leurs valeurs moyennes;
2°. En remplaçant les produits e*<;'% e*c ni , etc., par leurs valeurs moyennes, c'est-à-dire par m* m", m* m"% etc.;
3°. En négligeant les produits tels que e 8 e', c* e'e'\ etc.
Nous supposerons (art. 46) les valeurs moyennes de e 4 , e", e ,n y etc., proportionnelles à /«*, w /4 , m"*, etc, de sorte
que les rapports des unes aux autres soient — ? v 4 désignant
la valeur moyenne des quatrièmes puissances des erreurs pour les observations dont le poids serait Puni té.
Les règles précédentes pourraient se traduire de cette autre manière : *
Remplacer chaque quatrième puissance e*, e' 4 , s"*, etc., par v 4 -, chaque produit eV*, cV", etc., par ^ 4 , et négliger tous les termes, tels que eV ou eVe", eeW".
Ces principes étant compris, on verra facilement que :
