I. La valeur moyenne de £l oi est
GTV 4 (d 1 o) |A 4 .
IL La valeur moyenne du produit e* o:^ 0 est
auv* + («V-4- tf"a"-t-. . .) p 4 :=«a(v 4 — p 4 ) + p 4 ,
car
fla + û'a' -f- fl"a" -+-... = i .
De même, la valeur moyenne de t ft x° £° est
la valeur moyenne de e'^x 0 J° est
et ainsi de suite.
Donc la valeur moyenne du produit
(e' + fi "+6"»4- ...)*• i* ou n°x*Ç f
sera
Les produits {l°/°y} 0 ou U°a 0 Ç°, etc., auront la même
valeur moyenne; donc le produit
ft^x-p + jV -H »•?+....) aura pour valeur moyenne
pv 1 -4- p (ct — i) ii*.
III. Afin d'abréger les développements qui vont suivre, nous adopterons la notation suivante. Nous attribuerons à la caractéristique S un sens plus étendu que nous ne l'avons fait jusqu'ici, en lui faisant désigner la somme des termes semblables, mais nçn identiques, qui proviennent de toutes les permutations des observations. Nous aurons, d'après cette notation ,
Calculant par parties la valeur moyenne du terme x°* £ 0 *, nous aurons d'abord, pour valeur moyenne du produit
«'aV 4- a' («" -+- a" 9 -h . . . )
De même, la valeur moyenne du produit a" e'* £ os , est
et ainsi de suite.
Par conséquent, la valeur moyenne du produit
sera
Or la valeur moyenne de aa'ee' £°* est
2 aa' «a' p\
La valeur moyenne de aaV£ 0 * est
et ainsi de suite. D'où l'on conclut facilement que la valeur moyenne du produit
est
Ceci posé, nous aurons pour valeur moyenne du produit x oî J°%
IV. On trouvera d'une manière analogue, pour valeur moyenne du produit x°j° £°y; 0 ,
Or on a
2"«*'P'=2 fla -2*p^2 <ia *P'
^b^'W^ab^^-^ab^,
2 rta==i ' 2*p = i ' 2 flpr=o ' 2* a=o;
cette valeur moyenne sera donc
(v*-3fx')2^^4-^(«-+-2^-2 a ?)-
V. On trouverait, par un calcul semblable, que la valeur moyenne dear 0 3 0 £°f 0 est
et ainsi de suite. En additionnant, on obtient la valeur moyenne du produit
cette valeur est (v 4 — 3p 4 )2 + *P + <"7 + •)]
M. On trouverait de la même' manière
( v « — 3p«) V [6|J( fl « +*f + f 7 +.. .)] -h (p H- 2)^
pour valeur moyenne du produit
jV(x^ 9 4-/ < V -h 2°ç°-h.. .),
et
(v 4 — 3 u*)2 [ r 7 [ a<x + + <"7 + . . .)] (p 2) p 4 pour valeur moyenne du produit
sPÇi^çi 4- + **ç , -t-. ..); et ainsi de suite.
Nous aurons donc , par l'addition , la valeur moyenne du carré
elle sera
( v « 3fx 4 }]£ [(*a b$ +q 4-. . .)'] (p* 4- 2p)f*'. VII. Nous concluons enfin de tous ces préliminaires, N = (gt — 2p) v 4 4- (o* — o — 2 erp 4- 4 P 4- p : ) a 4 4- (•/— 3p 4 )2[(r?a 4- +• cy 4-.. )»]
— (v 4 — 3/x 4 ) [p — 2 ("* 4~ *P 4- ry 4-. . J-
Donc l'erreur moyenne à craindre, lorsqu'on prendra
sera
V^^-^t-Sf^ + ^^H- ..)■}
La quantité
qui entre dans l'expression précédente, ne peut pas généralement se réduire à une forme plus simple. Cependant on peut assigner deux limites entre lesquelles sa valeur doit nécessairement être comprise :
i°. On déduit facilement des relations précédentes,
(fla + ^4-f 7 -.. + (aat? + £ p' -h cy' H ) J
d'où nous concluons que
est une quantité positive plus petite que l'unité, ou du moins qu'elle n'est pas plus grande. Il en sera de même de la quantité
nV + A'f -+- r' V ' qui est égale à la somme
de même
sera plus petit que l'unité ; et ainsi de suite. Donc
2[(«« + *pH-* 7 + •••)']
est nécessairement plus petit que n.
a°. On a
V(rta-hip + C7-4-...) = P»
car
d'où Von déduit facilement que
est plus grand, ou du moins n'est pas plus petit, que
Par conséquent le terme est nécessairement compris entre les limites
— C et — —7
ou bien, entre les limites plus étendues,
v «3»« v » —3^ i— ~et — •
cr — p nj — p
Donc le carré de l'erreur moyenne à craindre pour la valeur
r cr — p
est compris entre les limites
av < - 4f* < et J±L.
de sorte qu'on pourra atteindre un degré de précision aussi grand que l'on voudra, pourvu que le nombre des observations soit suffisamment grand.
Il est très-remarquable que dans l'hypothèse de l'art. 9 (III) , sur laquelle nous nous étions autrefois appuyé pour établir la théorie des moindres carrés, le second ternie du carré de l'erreur moyenne disparaît complètement (car on a v* — 3|m* = o)$ et comme, pour trouver la valeur approchée jx, de l'erreur moyenne des observations, il faut, dans tous les cas, traiter la somme
comme si elle était égale à la somme des carrés des w — p erreurs fortuites, il en résulte que, dans cette hypothèse , la précision de cette détermination devient égale à celle que nous avons trouvée, art. lo, pour la détermination déduite de gj — p erreurs vraies.
