PREMIÈRE PARTIE

PRÉSENTER A LA SOCIETE ROYALE DE GOTTINGI E , LE l5 FÉVRIER 1 8a I .

Quelque soin que l'on apporte aux observations qui concernent la mesure des grandeurs physiques , elles sont forcément soumises à des erreurs plus ou moins considérables. Ces erreurs, dans le plus grand nombre des cas, ne sont pas simples, mais découlent à la fois de plusieurs sources distinctes qu'il est bon de distinguer en deux classes.

Certaines causes d'erreurs dépendent, pour chaque observation, de circonstances variables et indépendantes du résultat que Ton obtient : les erreurs qui en proviennent sont nommées irrégulières ou fortuites, et de même que les circonstances qui les produisent, leur valeur n'est pas susceptible d'être soumise au calcul. Telles sont les erreurs qui naissent de l'imperfection de nos organes et toutes celles qui sont dues à des causes extérieures irrégulières , comme , par exemple, les trépidations de l'air qui rendent la vision moins nette 5 quelques-unes des erreurs dues à Timperfeco. 1

lion inévitable des meilleurs instrumenta appartiennent à la même catégorie. Nous citerons, par exemple, la rugosité de la partie intérieure du niveau, le défaut do rigidité absolue, etc.

Il existe, au contraire, d'autres causes qui, dans toutes les observations de même nature, produisent une erreur identique, ou dépendant de circonstances essentiellement liées au résultat de l'observation. Nous appellerons les erreurs de cette catégorie, des erreurs constantes ou régulières.

Il est du reste évident que cette distinction est jusqu'à un certain point relative et dépend du sens plus ou moins large que Ton veut attacher à l'idée d'observations de même nature. Par exemple, si l'on répète indéfiniment la mesure d'un même angle, les erreurs provenant d'une division imparfaite du limbe appartiendront à la classe des erreurs constantes. Si, au contraire, on mesure successivement plusieurs angles différents, les erreurs dues à l'imperfection de la division seront regardées comme fortuites tant que l'on n'aura pas formé la table des erreurs relatives à chaque division.

Nous excluons de nos recherches la considération des erreurs régulières. C'est à l'observateur qu'il appartient de rechercher avec soin les causes qui peuvent produire une erreur constante , pour les écarter s'il est possible, ou tout au moins apprécier leur effet, afin de le corriger sur chaque observation, qui donnera alors le môme résultat que si la cause constante n'avait pas existé. Il en est tout autrement des erreurs irrégulières : celles-là, par leur nature, se refusent à tout calcul, et il faut bien les tolérer dans les observations. On peut cependant, par une combinaison habile des résultats, réduire autant que possible leur influence. C'est à cette question importante que sont consacrées les recherches suivantes.

Les erreurs qui , dans des observations de même espèce, proviennent d'une cause simple et déterminée se trouvent renfermées entre certaines limites que Ton pourrait sans aucun doute assigner, si la nature de cette cause était elle-même parfaitement connue. Dans la plupart des cas, toutes les erreurs comprises entre ces limites extrêmes doivent être regardées comme possibles. Une connaissance approfondie de chaque cause apprendrait si toutes ces erreurs ont une facilité égale ou inégale, et, dans le second cas, quelle est la probabilité relative de chacune d'elles. La même remarque s'applique à Terreur totale qui provient de la réunion de plusieurs erreurs simples. Cette erreur sera, elle aussi, renfermée entre deux limites dont Tune sera la somme des limites supérieures, l'autre celle des limites inférieures, correspondant aux erreurs simples. Toutes les erreurs comprises entre ces limites seront possibles, et chacune pourra résulter, d'une infinité de manières, de valeurs convenables attribuées aux erreurs partielles. On comprend néanmoins , en écartant les difficultés purement analytiques , qu'il y a possibilité d'apprécier la probabilité plus ou moins grande de chaque résultat, si Ton suppose connues les probabilités relatives à chacune des causes simples.

Certaines causes pourtant produisent des erreurs qui ne peuvent pas varier suivant une loi continue, mais qui, au contraire , sont susceptibles d'un nombre fini de valeurs : nous pouvons citer, comme exemple, les erreurs qui proviennent de la division imparfaite des instruments (si toutefois on veut les classer parmi les erreurs fortuites), car le nombre des divisions, dans un instrument donné, est essentiellement fini. Il est clair néanmoins que, si toutes les causes qui concourent à produire l'erreur totale ne sont pas supposées dans ce cas , leur somme formera une série soumise à la loi de continuité, ou, tout au moins, plusieurs

séries distinctes , s'il arrive qu'en plaçant par ordre de grandeur toutes les valeurs possibles des erreurs discontinues, la différence entre deux ternies consécutifs de la série soit moindre que la différence entre les limites extrêmes des erreurs soumises à la loi de continuité. Dans la pratique, un pareil cas ne se présentera presque jamais 5 il supposerait des défauts trop grossiers dans la construction de l'instrument.

Désignons par la notation <p (x) la facilité relative d'une erreur x : on doit entendre par là , à cause de la continuité des erreurs, que <p (x) dx est la probabilité que Terreur soit comprise entre les limites x etx •+- dx. Il n'est pas possible, en général, d'assigner la forme de la fonction©, et Ton peut même affirmer que cette fonction ne sera jamais connue dans la pratique. On peut néanmoins établir plusieurs caractères généraux qu'elle doit nécessairement présenter : <?(x) est évidemment une fonction discontinue; elle s'annule pour toutes les valeurs de x non comprises entre les erreurs extrêmes. Pour toute valeur comprise entre ces limites, la fonction est positive (en excluant le cas indiqué à la fin du paragraphe précédent); dans la plupart des cas, les erreurs égales et de signes contraires seront également probables, et l'on aura

Enfin, comme les petites erreurs sont plus facilement commises que les grandes, <p (x) sera en général maximum pour x = o et diminuera sans cesse lorsque x croîtra. L'intégrale

J <j> (x) dx

exprime la probabilité pour que Terreur, encore inconnue, tombe entre les limites a et b. On en conclut que la valeur de cette intégrale prise entre les limites extrêmes des erreurs possibles sera toujours égale à l'unité. Et comme © (x) est

nulle pour les valeurs non comprises enlre ces limites , on peut dire, dans tous les cas, que

oc

y(x)dx = I

Considérons l'intégrale

xo(x) dx

et représentons sa valeur par À\ Si les causes d'erreur sont telles, qu'il n'y ait aucune raison pour que deux erreurs égales et de signes contraires aient des facilités inégales, on aura

et, par suite,

Nous en conclurons que, si k ne s'évanouit pas et a, patexemple, une valeur positive, il existe nécessairement une cause d'erreur qui produit uniquement des erreurs positives ou qui , tout au moins , les produit plus facilement que les erreurs négatives. Cette quantité k, qui est la moyenne de toutes les erreurs possibles , ou encore la valeur moyenne de x, peut être désignée commodément sous le nom de partie constante de V erreur. Du reste , on prouve facilement que la partie constante de Terreur totale est la somme des parties constantes des erreurs simples qui la composent.

Si la quantité A est supposée connue et qu'on la retranche du résultat de chaque observation , en désignant par x' l'erreur de l'observation ainsi corrigée, et la probabilité correspondante par <p' (x 1 ), on aura

et, par suite,

I x'y'[x') dx'=. l xy[x)dx — / I y (x)dx = k — k = o ; J—oo J—so J— x>

( fi )

en sorte que les erreurs des observations corrigées n'ont pas de partie constante. Ce qui, du reste, semble évident à priori.

La valeur de l'intégrale

x«p (x) dx ,

c'est-à-dire la valeur moyenne de fait connaître l'existence ou la non-existence d'une erreur constante, ainsi que la valeur de cette erreur; de même l'intégrale

c'est-à-dire la valeur moyenne de a:*, paraît très-propre à définir et à mesurer, d'une manière générale, l'incertitude d'un système d'observations ; de telle sorte qu'entre deux systèmes d'observations inégalement précises, on devra regarder comme préférable celui qui donne à l'intégrale

x 1 <$> (x) dx

une moindre valeur. Si Ton objecte que cette convention est arbitraire et ne semble pas nécessaire, nous en convenons volontiers. La question qui nous occupe a, dans sa nature môme, quelque chose de vague et ne peut être bien précisée que par un principe jusqu'à un certain point arbitraire. La détermination d'une grandeur par l'observation peut se comparer, avec quelque justesse, à un jeu dans lequel il y aurait une perte à craindre et aucun gain à espérer : chaque erreur commise étant assimilée à une perte que Ton fait, la crainte relative à un pareil jeu doit s'exprimer par la perte probable, c'est-à-dire par la somme des produits des diverses pertes possibles par leurs probabilités respectives.

Mais quelle perte doit-on assimilera une erreur déterminée? C'est ce qui n'est pas clair en soi 5 cette détermination dépend en partie de notre volonté. Il est évident, d'abord, que la perte ne doit pas être regardée comme proportionnelle à Terreur commise 5 car, dans cette hypothèse, une erreur positive représentant une perte, l'erreur négative devrait être regardée comme un gain : la grandeur de la perte doit, au contraire, s'évaluer par une fonction de Terreur dont la valeur soit toujours positive. Parmi le nombre infini de fonctions qui remplissent cette condition, il semble naturel de choisir la plus simple, qui est, sans contredit, le carré de l'erreur, et, de celte manière, nous sommes conduit au principe proposé plus haut.

Laplace a considéré la question d'une manière analogue, mais en adoptant, pour mesure de la perte , l'erreur ellemême prise positivement. Cette hypothèse, si nous ne nous faisons pas illusion , n'est pas moins arbitraire que la nôtre : faut-il, en effet, regarder une erreur double comme plus ou moins regrettable qu'une erreur simple répétée deux fois, et faut-il, par suite, lui assigner une importance double ou plus que double? C'est une question qui n'est pas claire, et sur laquelle les arguments mathématiques n ont aucune prise; chacun doit la résoudre à son gré. On ne peut nier pourtant que l'hypothèse de Laplace ne s'écarte de la loi de continuité et ne soit, par conséquent, moins propre à une étude analytique; la nôtre, au contraire, se recommande par la généralité et la simplicité de ses conséquences.

Posons, en conservant les notations précédentes,

y (jt) jc* dx =r m* :

nous appellerons m Y erreur moyenne à craindre ou, sim-

plement, V erreur moyenne des observations considérées. Nous ne limitons pas, du reste, cette dénomination au résultat immédiat des observations , mais nous l 'étendons , au contraire, à toute grandeur qui peut s'en déduire d'une manière quelconque. Il faut bien se garder de confondre cette erreur moyenne avec la moyenne arithmétique des erreurs , dont il est question dans l'art. 5.

Si nous comparons plusieurs systèmes d'observations ou plusieurs grandeurs résultant d'observations auxquelles on n'accorde pas la même précision, nous regarderons leur poids relatif comme inversement proportionnel à m 1 , et leur précision comme inversement proportionnelle à m. Afin de pouvoir représenter les poids par des nombres, on devra prendre, pour unité, le poids d'un certain système d'observations arbitrairement choisi.

Si les erreurs des observations ont une partie constante, en la retranchant de chaque résultat obtenu , l'erreur moyenne diminue, le poids et la précision augmentent. En conservant les notations de l'art. 5, et désignant par m' l'erreur moyenne des observations corrigées , on aura en effet

m' 3 = f * x'^'{x')dx f = f °° {x — &)*it{x)dx

X r x> /■» ce s\ oc

x 7 ? (x) dx — 2 k I jç(x) dx -f- h 1 I y (x) dx •OC J — X J — oo

Si , au lieu de retrancher de chaque observation le nombre Ar, on retranchait un autre nombre /, le carré de Terreur moyenne deviendrait

Soient X un coefficient déterminé et /x la valeur de l'intégrale

{jl sera la probabilité que Terreur d'une certaine observation soit moindre que X m en valeur absolue; i — fx sera, au contraire, la probabilité que cette erreur surpasse X m.

Si, pour p = -> Xm a la valeur p, il y aura probabilités

égales pour que l'erreur soit plus petite ou plus grande que p : p pourra donc être appelé Y erreur probable. La relation qui existe entre X et p. dépend de la nature de la fonction q>, qui est inconnue dans la plupart des cas. Il est intéressant d'étudier cette relation dans quelques cas particuliers.

I. Si les limites extrêmes des erreurs possibles sont -ha et — a, et si, entre ces limites, toutes les erreurs sont également probables, la fonction <p (x) sera constante

entre ces mêmes limites , et, par conséquent, égale à

Par suite, on aura

tant que X sera inférieur ou égal à enfin,

= m — 0 r 8660254 rn y

et la probabilité pour que Terreur ne surpasse pas Terreur moyenne est

II. Si — a et H- a sont encore les limites des erreurs possibles , si Ton suppose , de plus , que la probabilité de ces mêmes erreurs aille en décroissant à partir de Terreur o

comme les termes d'une progression arithmétique, on aura

ci - x

pour les valeurs de x comprises entre o et -h a , et

pour les valeurs comprises entre o et — a : de là on déduit

tant que X est compris entre o et \ ë ;

X = — — °V> tant que a est compris entre o et i; et, enfin,

p = //i (yt) — V3) = 0,7 17438g m.

Dans ce cas, la probabilité que Terreur restera inférieure à Terreur moyenne sera