III. Si nous supposons la fonction <j> (x) proportionnelle

ne A * [ce qui, en réalité, n'est vrai qu approximativement (*)], elle devra être égale à

on en conclut

(voir Disqutsitiones générales circa seriem injitiitam, art. 28, Mémoires de Gotfingue, tome II).

( * ) Il faul se reporter, pour comprendre cette remarque, à un chapitre du Theoria Motus Corporum cœlestium , dans lequel M. Gauss montre que celte loi de probabilités est la plus vraisemblable que l'on puisse adopter. A la fin du volume nous reproduisons ce chapitre, dans lequel l'illustre auteur a fait connaître pour la première fuis la méthode des moindres carrés.

Si Ton désigne par &z la valeur de l'intégrale

Le tableau suivant donne quelques valeurs de cette quan-

on aura

tite

0,6744897 o, 84i6su 3 1 ,0000000 1 ,o364334 1 ,2815517 1,6448537 2,5758293 3,2 9 i83oi 3,8905940

Quoique la relation qui lie X à p dépende de la nature de la fonction <p, on peut cependant établir quelques résultats généraux, qui s'appliquent à tous les cas dans lesquels cette fonction ne sera pas croissante avec la valeur absolue de la variable x \ alors on aura les théorèmes suivants :

X ne dépassera pas [â v3 toutes les fois que sera infé-

rieur a ^:

X ne dépassera pas

, toutes les fois que jtx sur-

passera —

Lorsque p= ^ les deux limites coïncident et / ne peut

pas être supérieur à

Pour démontrer ce théorème remarquable, représentons parj- la valeur de l'intégrale

alors sera la probabilité pour qu'une erreur soit comprise entre — x et -hx.

Posons

* = +(r)> rf+(/) = f(r)<r, rf+'(7) = r(j) rf /.

on aura

+ (o) = o etf (»= 1 ;

on en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis y=o jusqu'à y=\, (y) est toujours croissant, ou du moins n'est pas décroissant, et que, par suite, Y (y) est toujours positif, ou du moins n'est pas négatif. Or nous avons

d.y V (y) = dy -4- y f ' {y) dy ,

par suite,

r+'(r)- + (r) = f'rf'W^;

(^) — (j^) a donc une valeur constamment positive, ou du moins cette expression ne sera jamais négative.

Il suit de là que i — y y (y) Sera tou j ours P os * 1 ^ el moindre que l'unité. Soit f la valeur de cette différence pour y = fx ; à cause de <Jj (p) = X/rc, on a

d'où Ton conclut

Cela posé, considérons la fonction

"km - v

que nous désignerons par F (jr), et posons

on aura évidemment

F( f t) = Xnf = +(p),

Or, puisque <J/ (y) croît continuellement (ou du moins ne décroît pas, car c'est ainsi qu'on doit toujours l'entendre) lorsque y croît, et que, d'un autre côté, F' (y) est constant, la différence

sera positive pour toutes les valeurs de y plus grandes que et négative pour les valeurs de y plus petites que p. On en conclut que la différence ^ (y) — F (y) est toujours positive, et, par suite, (y) sera certainement plus grand que F (y) en valeur absolue, tant que la fonction F (y) sera positive, c'est-à-dire depuis y = pf jusqu'à y — i . La valeur de l'intégrale

sera donc inférieure à celle de l'intégrale

cl à fortiori moindre que

fui

c'est-à-dire moindre que m 5 . Or la première de ces intégrales a pour valeur

donc

désignant, on ne Ta pas oublié, un nombre compris entre o et 1 .

Si nous considérons f comme variable, la fraction aura pour diirérenticlle

cette fraction sera donc continuellement décroissante lors-

que y croîtra de o à i, et que Ton aura, en outre, p<C g*

sa valeur maximum correspondra h f = o et sera égale à 3/ut% de sorte que, dans ce cas, le coefficient X sera certainement inférieur, ou du moins ne sera pas supérieur

à ^ y^. Ce qu'il fallait démontrer.

Lorsqu'au contraire jtx est plus grand que ^' la valeur de la fonction sera maximum lorsque

2 — 3 p -+- itf = o ,

c'est-à-dire lorsque

et cette valeur maximum sera

par conséquent, dans ce cas, le coefficient X n'est pas plus

grand que ■- ■,-- > comme nous lavions annoncé.

Faisons, par exemple,

alors X ne peut pas surpasser c'est-à-dire que l'er-

reur probable ne peut pas surpasser o,866o2f>4 m , à laquelle elle devient égale dans le premier cas examiné (art. 9) : on conclut facilement de notre théorème que p

n'est pas moindre que ^y/^' lanl *l ue ^ est moindre que et qu'au contraire, il n'est pas inférieur à

î y 2 , lorsque X est plus grand que i/ 1-

L'intégrale

se présentant dans plusieurs problèmes que nous aurons à traiter, il ne sera pas inutile de l'évaluer dans quelques cas particuliers.

Posons

! x* y (x) dx = n k .