d<p H- 1 ,o2i38d Q — 0,27187 di
D'après la nature des observations qui ont fourni la dixième de ces équations, elle inspire trop peu de confiance pour qu'on juge utile de la faire intervenir, et c'est d'après les onze autres seulement que l'on déterminera les six inconnues.
Les explications suivantes sont littéralement traduites du Mémoire de M. Gauss.
Dans l'impossibilité où nous sommes de satisfaire exactement aux onze équations proposées , c'est-à-dire d'annuler tous les seconds membres , nous chercherons à rendre la somme de leurs carrés aussi petite que possible.
On aperçoit facilement que si Ton considère les fonctions linéaires
n ap -\- bq -+- cr -h ds -+-... = w, ri -+- a'p -h b'q +Jr -\-dfs . . = w', „"+ a " p + b"q+ c"r+ d" s H- . . . =
les équations qu'il faut résoudre pour rendre
un minimum, sont
aw -f- a! -f- a" vS' -f- . . . = o , bw -+■ b'w'+ b"w" + ... — o, cw -h d a/ c" w" . . . = o ,
ou, en posant, pour abréger,
an -+- a' ri -f- a" n" -f- . . . = (an ) , à 1 -W -f-a'" -»-.. . = (aa), ab +.a'b' + a"b"-h... = (ab),
b*+V* -h*"' + = (bb),
bc-\-b'c'-^ b"c"-+- = {bc),
p y </, r, s, etc., devront se déterminer par les équations suî-
vantes :
(an) -h (aa)p -\~ (ab)q +(flc)r + .,. = o, (bn) -h (ab)p ~+-(bb)q (bc) r . . = o, (<vi) -\-(ac)p + (bc)q -\-(cc) r-*-. . , = o,
L'élimination, très-pénible lorsque le nombre des inconnues est considérable, peut se simplifier notablement de la manière suivante. Outre les coefficients (an), (aa),etc,
[dont le nombre est - (P-h 3i) , si le nombre des incon-
nues est i], supposons que Ton ait calculé la somme
/i 1 «'» H- n" 3 -h . . . = (nn) ;
on voit facilement que Ton a
a = (nn) -t- z(an)p n(bn) q -h 2(c/i) r -f-. . . (aa)p 3 -f- z(ab)pq -+- 2 (<?<?)/>/• -h. . .
-h (ce) r 1 -H 2 (c</) rj H- . . . ;*
et, en désignant
(an)-\- (aa) p -h (ab) q-{- . . .
par A , tous les termes de -, r qui contiennent le facteur p,
r \ aa )
se trouvent dans l'expression ft, et, par suite,
(aa)
est une fonction indépendante de p. C'est pourquoi, en posant
(nn ) — )— ^~(nn t i , / 1 x (an)(bn)
w — (airr= {bn ^
I \ ( an ) i cn ) I \
on aura
A J aa
(«fl,i) + 2(è/»,i)7 + 2(c»,i)r+ 2(rf«,i)5 ..
+ (èi,i) 9 1 + a(^, i)?r + 2(M, i)<jr* H- (ce, i) r 1 -»- 2 (c<tf, i)
nous désignerons cette fonction par Cl'.
De même, en posant
(**,i)-h(M, i)f + (Ac,i)r ..= B, la différence
sera indépendante de ^; nous la représenterons par &" . En posant , de même ,
et
(c«, 2) -h (ce, 2) r -h (rrf , 2) j H- . . . = C, la différence
sera une fonction indépendante de r.
En continuant ainsi, nous formerons une suite d'expressions 12, Cl\ Cl" , etc., dont la dernière sera indépendante des diverses inconnues, et représentée par (nn,[i), si fi désigne le nombre de ces inconnues ; nous aurons alors
