tome I , page i

Pour établir les principes de la méthode des moindres carrés, nous avons admis que la probabilité d'une erreur

d'observation A soit exprimée par la formule

où tt représente la demi -circonférence, e la base des logarithmes hyperboliques, et h une constante que l'on peut considérer [Thcoria Motus Corporum cœlestium, art. 178 (*)] comme la mesure de l'exactitude des observations. Il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de h pour déterminer, à l'aide de la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus probables des quantités dont les observations dépendent, le rapport de l'exactitude des résultats à l'exactitude des observations est également indépendant de h.

Toutefois , comme la connaissance de la quantité h est très-intéressante et instructive, je vais montrer comment les observations peuvent servir à la déterminer.

Commençons par quelques remarques qui éclairciront la question, et représentons par 0 (t) l'intégrale définie

Quelques valeurs particulières de cette fonction donneront une idée de sa marche :

et =

et =

et =

et =

px 2,348664

pX 4,88o 4 7 5

et =

et =7:

et =

(*) Voyet pape 1 19 de ce rolurae. J. B.

La probabilité que l'erreur dune observation soit comprise dans les limites 4- A et — A-, ou, abstraction faite des signes , qu'elle ne surpasse pas A , sera égale à

elle sera le double de l'intégrale en question , lorsque celleci est prise depuis x = o jusqu'à x = A, et, par conséquent, elle sera égale à 0 (h A).

Ainsi la probabilité que Terreur ne soit pas moindre que

| est égale à ~, ou égale à la probabilité du cas contraire.

J'appellerai donc cette quantité | V erreur probable, et je

la désignerai par r.

Au contraire , la probabilité que l'erreur excède rx 2,43866*4 n'est que de — ; la probabilité que Terreur surpasse r X 3, 81 8 390 n'est que de ^ ; et ainsi de suite.

Supposons maintenant que les erreurs de m observations réellement faites soient a, /3 , 7, etc., et cherchons quelles conséquences on en peut tirer relativement aux valeurs de A et r.

En faisant deux hypothèses sur la valeur exacte de A, et la supposant égale à H ou égale à H', les probabilités qu'elles soient entachées des erreurs a, (3 , 7, etc., seront, pour les deux cas , dans le rapport de

H' e -"'•« , X H'»-"""' X H' e - H 'V X . ., c'est-à-dire comme

Il est évident que les probabilités que H ou H' soient les

véritables valeurs de h, sont dans le même rapport [Théoria Motus Corporum cœlestium, art. 176 (*) par conséquent la probabilité d'une valeur quelconque de h est proportionnelle à

et la valeur de h la plus probable est celle pour laquelle cette fonction devient un maximum. Mais on trouve par les règles connues que h est alors égal à

a (a' -h p»4- 7 » + . . .) ' donc la valeur de r la plus probable sera alors

ou

0,6744897 X y/^( a ' -t-P'-H 7'-+-- • •)• Ce résultat est général, que m soit grand ou petit.

Il est facile de comprendre que les valeurs trouvées pour h et pour r sont d'autant moins certaines que le nombre m est plus petit.

Développons maintenant le degré d'exactitude que Ton doit attribuer aux valeurs de h et de r lorsque m est un nombre considérable.

Désignons par H la valeur de h la plus probable que nous avons trouvée ,

et remarquons que la probabilité que H soit la véritable valeur de //, est à la probabilité que (H -f- X) soit cette véri-

( 11 ) Voree page 1 16 de ce volume. J. B.

table valeur dans le rapport de

ou comme

Le second terme ne sera sensible par rapport au premier que si ^ est une petite fraction , et, dans ce cas , nous pourrons remplacer le rapport indiqué par

H* * lie 11

Ce qui veut dire : La probabilité que la valeur véritable de h soit comprise entre (H -i- 1) et (H -h A dl) est approximativement égale à

Ke »' d\, où K est une constante telle, que l'intégrale

Ke H * dl

prise entre les limites admissibles de ^, devienne égale à l'unité.

Comme dans le cas actuel , à cause de la grande valeur

de m , e u * devient excessivement petit lorsque ~ cesse

d'être une petite fraction, il sera permis de prendre l'intégrale depuis — oo jusqu'à -h oo , et l'on obtient

Par conséquent, la probabilité que la véritable valeur de h g. io

soit comprise entre (H — A) et (H -f- sera égale à

e t sera égale à - lorsque — \m = joli y a donc un contre un à parier que la véritable valeur de h soit entre

U ( \ ^=r\ et h( H--4r^ ,

ou que la véritable valeur de r soit entre

et ,

où R désigne la valeur la plus probable de r trouvée dans l'article précédent. Ces limites peuvent s'appeler les limites probables des véritables valeurs de h et de r. 11 est évident que nous pourrons admettre ici pour limites probables

Dans la discussion précédente, nous avons considéré a, (3, y, etc., comme des quantités définies et données, afin d'évaluer la probabilité que la véritable valeur de h ou de r soit comprise entre certaines limites.

On peut envisager la question sous un autre point de vue, en admettant que les erreurs des observations soient soumises à une loi déterminée de probabilité; on peut alors évaluer la probabilité pour que la somme des carrés de m erreurs d'observations tombe entre certaines limites. Laplace a déjà résolu ce problème dans le cas où m est un

nombre très-grand, ainsi que le problème de déterminer la probabilité que la somme de m erreurs d'observations tombe entre certaines limites.

Il est facile de généraliser cette recherche ; je me bornerai à indiquer ici le résultat.

Désignons par 9 (x) la probabilité d'une erreur d'observation x , de manière que

y x . dx ~ 1 .

Désignons encore par K„ la valeur de l'intégrale

<p x . x n dx.

Soit ensuite

où a, (3, 7, etc., représentent m erreurs quelconques d'observation j les termes de cette somme seront tous pris positivement, même si n est impair.

mK n sera alors la valeur la plus probable de S„, et la probabilité que la véritable valeur de S„ tombe entre les limites (mK„ — X) et (mK rt -HA) sera égale à

par conséquent , les limites probables de S„ seront

mK n — p s/zm(K, n — K' )

Ce résultat s'applique, d'une manière générale, à toute loi des erreurs d'observation. En l'appliquant au cas particulier où

nous trouverons

où le signe caractéristique ET est pris dans la signification des Disquisitiones générales circa sérient infinitam (*) (Comm. no\>. Soc. Gotting., tome III; M. 5, aii. 28.) Ainsi

par conséquent la valeur la plus probable de S„ sera

/nn{(fl-i) h* \[k

et les limites les plus probables de la véritable valeur de S„ seront

mil

A-v^ T p V«L[n + («-i)p "Ml

et

(*) D'après la notation adoptée par un grand nombre de géomètres, on aurait

Donc, si nous posons comme ci-dessus

où v représente l'erreur probable <l observation , la valeur la plus probable de

sera évidemment /•; et les limites probables de la valeur de cette quantité seront

et

Il y a donc aussi un contre un à parier «pie /' soit compris entre les limites

et

Pour » = n , ces limites seront

et

ce qui s'accorde parfaitement avec celles que nous avons trouvées art. \.

En général on aura, si n est pair, les limites

et

r * Va/ii.3.5.7...(« — i)

-li t n/ 2 r %+o-(^-^3)...(2/»-ij i) x I » V « L r3.5...(n-i) 'Jr

et si « est impair, les limites suivantes :

et

/i Ti .3.5.7. ( n — ')* II

J'ajoute ici encore les valeurs numériques pour les cas les plus simples :

( '5. ) Limites probables de r.

.. 0,84534,3**, .^^Biy/

m. o^^x^.^-M); iv. o,5„5o I7 xy/|.( i:F 0 v 5 -^ ,86 ) ;