J. IV

Si l'on désigne par Qz la valeur de T intégrale

clz,

Le tableau suivant donne quelques valeurs de eette quan-

tité

iO.

(Quoique la relation qui lie X à ^ dépende de la nature de la fonction cp, on peut cependant établir quelques résultats généraux, qui s'appliquent à tous les cas dans lesquels cette fonction ne sera pas croissante avec la valeur absolue de la variable x -, alors on aura les théorèmes suivants :

X ne dépassera pas a y^ toutes les fois que (x sera infé-

rieur a - :

passera

ne ilepasscra pas -

— ■. toutes les fois (jue fx sur-

Lorsque ^jt = -, les deux limites coïncideul et X ne peut

pas être supérieur a i / ^•

Pour démontrer ce théorème remarquable, représentons par^>' la valeur de l'intégrale

rt-{- X J X

alors j^ sera la probabilité pour qu'une erreur soit comprise entre — x et -f-x.

Posons

x = ^[y), d-h{y) = ^'[y)cly, d-^' {y) = ■\" {y) dy,

on aura

^î-(o) = o etf(j) =

on en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis j^ = o jusqu'à j=\^ ^'(/) ^^t toujours croissant, ou du moins n'est pas décroissant, et que, par suite, Y {y) '^^^ toujours positif, ou du moins n'est pas négatif. Or nous avons

d.yV[y) = -^'[y)dy^-y^"{y)dy, par suite,

J'k' (j') — ^ (j ) ^ donc une valeur constamment positive,

ou du moins cette expression ne sera jamais négative.

■>!' ( r) Il suit de là que i . ; sera toujours positif et moin-

dre que l'unité. Soit f la valeur de cette différence pour j = p. • à cause de ']; (p.) = lin, ou a

( ^3) d'où l'on conclut

Cela posé, considérons la fonction

que nous désignerons par F (j ), et posons on aura évidemment

Or, puisque 'l' (x) croît continuellement (ou du moins ne décroît pas, car c'est ainsi qu'on doit toujours l'entendre) lorsque y croît, et que, d'un autre côté, F'(j^) est constant, la didérence

sera positive pour toutes les valeurs de y plus grandes quc^y, et négative pour les valeurs de y plus petites que |7.. On en conclut que la dilTerence ^p [j] — F (7) est toujours positive, et, par suite, '^ [y] sera certainement plus grand que F(j^) en valeur absolue, lant que la fonction F(j^') sera positive, c'est-à-dire depuis j = ^.f jusqu'à j= i . I.a valeur de l'intégrale

sera donc inférieure à celle de Tintégrale et à fortiori moindre (jue

f'est-à-difc nioindre cjuc ni' . i^v la prciniru' Je ces intégrales a pour valcnii"

).-7;r(i-p/)3 donc

y désignant, on ne l'a pas oublié, un nombre compris entre o et i .

Si nous considérons f comme variable, la fraction

aura pour différentielle

cette fraction sera donc continuellement décroissante lors-

quey^ croîtra de o à i, et que l'on aura, en outre, p. <^ ^:

sa valeur maximum correspondra hf=o et sera égale à 3[J.^, de sorte que, dans ce cas, le coefficient 1 sera certainement inférieur, ou du moins ne stra pas supérieur à [j.\/3. Ce qu'il fallait démontrer.

Lorsqu'au conlraire a est plus grand qne -? la valeur de la fonction sera maximum lorsque ?. — 3 a H- p./ — o , c'est-à-dire lorsque

Cl cette valeur maximum sera

( i5 ) ^ par consequent, dans ce cas, le coefficient 1 n'est pas plus

grand que i comme nous l'avions annoncé.

Faisons, par exemple,

alors 1 ne peut pas surpasser I/t' c est-à-dire que l'erreur probable ne peut pas surpasser o,866oq.54 m ^ à laquelle elle devient éi;ale dans le premier cas examiné (art. 9) : on conclut facilement de notre théorème que y.

n'est pas moindre (jue ^> \ / ^ ' tant que 1 est moindie que \/^' et qu au contraire, il n est pas inférieur à 1 -V^? lorsque X est plus grand que \/ 1-

L'intégrale

x^ '^ (.r (ix ,

se présentant dans plusieurs problèmes que nous aurons à traiter, il ne sera pas inutile de 1 évaluer d.ms quehjucs cas particuliers.

Posons

/ a.' y {x) (Ix =r /i',