III. Dans Ic troisième cas, lorsque

loi x\ =

/is/tz

on trouvera, d'après les résultats obtenus dans le Mémoire cité plus haut,

On peut d'ailleurs démontrer qu'en instant dans les hypothèses admises au paragraphe précédent, le rapport —

n'est jamais inférieur à ^•

Désignons par or, x', x", etc., les erreurs commises dans des observations de même espèce, et supposons que ces erreurs soient indépendantes les unes des autres. Soit, comme plus haut, ^{x) la probabilité relative de l'erreur x; considérons une fonction rationnelle/, des variables

L'intégrale multiple

(l) I :f(^.r)(f[x')f{x")...c{xclx'(Ix"...,

étendue à toutes les valeurs des variables x^ x', x", etc., pour lesquelles la valeur de / tombe entre les limites données G, Y], représente la probabilité que la valeur de y soit

( ï7 ) comprise entre o et yj. Or cette intégrale est évidemment une fonction de y;. Représentons sa différentielle par •| (yj) dn , de sorte que l'intégrale considérée soit égale à

dr„

et que, par conséquent, ^ [r.) représente la probabilité relative d'une valeur quelconque dej^. x pouvant être regardé comme une fonction des variables y, x', x" ^ etc., que nous désignerons par f[ /, x' -, x", . . .), lintégrale (ij pj^ndra la forme

oxx y doit varier depuis ^' = 0 jusqu'à y= r,, et les autres variables reçoivent toutes les valeurs pour lesquelles f(j^x\x"...) est réelle.

On aura donc

1 intégration , dans laquelle y doit être regardé comme une constante, s'étendanl à toutes les valeurs des variables x\ x"^ etc., pour lesquelles /(/, x', x",...) prend une valeur réelle.

L'intégration précédente exigerait, il est vrai, la connaissance de la fonction ^, qui est inconnue dans la plupart des cas. Lors même que cette fonction serait connue, le calcul surpasserait, le plus souvent, les forces de Fanalyse. Dès lors il sera impossible d'obtenir la probabilité de cliacuiie des valeurs de y\ mais il en sera autrement si l'ou désire seulement la valeur moyenne ào, )', qui sera donnée

( '8) par r intégrale

étendue à toutes les valeurs possibles àe y.

Si, par la nature de la fonction, ou à cause des limites imposées à x, x', x", etc.,j^ n'est pas susceptible de recevoir toutes les valeurs, on devra supposer que ^[y) s'annule pour toutes les valeurs que j ne peut atteindre, et Ton pourra alors étendre 1 intégration de — ce à -4- oo .

Mais l'intégrale

yHy)^^y->

prise entre des limites déterminées r, et yj', est égale à

prise depuis jy = 'n jusqu'à y = t]' et étendue à toutes les valeurs des variables x', x", etc. , pour lesquellesyest réelle. Cette intégrale est égale, par conséquent, à l'intégrale

^ ^ (x ) y ( j:') cp ( jt" ) . . . dx dx dx" . . . ,

dans laquelle / sera exprimé en fonction de x, x', x", etc., la sommation s'étendant à toutes les valeurs des variables qui laissent y compris entre 73 et r,' , D'après cela, l'intégrale

/ y^{y)dy

peut se mettre sous la forme

j y (.r) ep (x') y ( x") . . . dx dx' dx" . . . ,

l'intégration s'étendant ;\ toutes les valeurs réelles de X, x', x", c'est-à-dire depuis x= — 00 à x = + co,

x' = — 00 à x' = H- CO , etc.

Si la fonction y se réduit à une somme de termes de la forme

la valeur de l'intégrale

étendue à toutes les valeurs de y, c'est-à-dire la valeur moyenne de j-, sera égale à une somme de termes de la forme

A / X-"-^ [X) dx. \ X'^ ç, [x') dx'- I x"-^r^{x" ) dx"...,

c'est-à-dire que la valeur [moyenne de j est égale à une somme de termes déduits de ceux mêmes qui composent j-, en y remplaçant x°^, x'' , x"'^, etc., par leurs valeurs moyennes. La démonstration de ce théoi^ème important pourrait facilement se déduire d'autres considérations.

Appliquons le théorème précédent au cas où l'on a

x= -h ar" 4- x"^ + . . .

(7 désignant le nombre des termes du numérateur.

On trouve tout de suite que la valeur moyenne de y est égale à m' (la lettre /;/ ayant toujours la signification de l'art. 5). La véritalde valeur de j- peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de j:' peut, dans chaque cas, être inféricuie ou supérieure à in^\ mais la probabilité pour que la valeur fortuite de y ne diffère pas sensiblement de m', s'approchera sans cesse de la certitude à mesure que a deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons /'erreur mojcnjie à

( ^o) craindre en ïsihanl y =nt^. D'après ce qui a été dit (art. 6), cette erreur sera la racine carrée de la moyenne de la fonction

Pour la trouver, il suffit d'observer que la valeur moj'enne d'un terme tel que — est égale à — [n ayant la même signification que dans l'art. 11 ), et que la valeur moyenne d'un

ternie tel que — est égale a — — '

valeur moyenne de cette fonction sera

- 2jr-.r- , , , 2/rt' , ,

ternie tel que — est égale a — —; par consequent, la

De là nous concluons que si le nombre des erreurs irrégulières est suffisamment grand , la valeur de m sera représentée , avec une grande certitude , par la formule

et l'erreur moyenne à craindre dans la détermination du

carré de m , sera égale à

Comme cette dernière formule contient la quantité ;? , si l'on veut seulement se faire une idée du degré de précision de cette détermination , il suffira d'adopter pour la fonction cp une hypothèse particulière.

Si nous prenons , par exemple , la troisième hypothèse des

art. 9 et 11, cette erreur sera égale à ^'*'\/~' ^i ^^ ^^

préfère, on pourra obtenir une valeur approchée de n'' au moyen des erreurs elles-mêmes, à l'aide de la formule

Ou peut affirmer géuéralemeul qu'une précision deux fois plus grande dans cette détermination exigera un nombre d'erreurs quadruple, c'est-à-dire que le poids de la détermination est proportionnel au nombre a.

On verrait de la même manière que si les erreurs des observations renferment une partie constante, on déduira de leur moyenne arithmétique une valeur de la partie constante, et cette valeur sera d'autant plus approchée que le nombre des erreurs sera plus grand. Dans cette détermination,

I erreur moyenne a craindre sera rcprest-ntecpar t / ■'>

k désignant la partie constante, et ru l'erreur moyenne des observations noji corrigées de leur erreur constante. Elle

m sera représentée simplement par —=•, si ni représtnte 1 erreur moyenne des observations corrigées de la partie cou- Mante [voyez art. 8).

Dans les art. 12 à 15 nous a\ons supposé que les erreurs x, x', x" ^ etc., appartenaient au même genre d'observations, de sorte que la probabilité de chacune de ces erreurs était représentée par la même fonction. Mais il est évident que les principes généraux exposés dans les articles 12 à 1 i, peuvent facilement s'a[)pliquer au cas plus général où les probabilités des erreurs x, x\ .r", etc., sont représentées par des fonctions dillérentes

e'est-à-dii(; lorsque ces erreurs apparlieniicnl ;'i des ojjscrvations qui n'ont pas le même degré de précision. Su[)posons que j: désigne l'erreur d'une obseivation dont l'erreur moyenne à craindre soit m; x\ .r", etc., celles d'autres ••bservalions dont les eircnis mnvcnin s à c raindic sctjeni ! espcriivetncnl ///', m',, elr, : alors la \;ilriii inovcMni" Av

la somme

sera

Or, si l'on sait, par ailleurs, que les quantités m,///,^/'', etc.sont respectivement proportionnelles aux nombres, i,u': p.", etc., la valeur moyenne de Fexpression

sera égale à /ti". Mais si nous adoptons pour m^ la valeur que prendra cette expiession, en y substituant les erreurs x,x', x'\ etc., telles que le hasard les offrira, l'erreur moyenne qui affecte cette détermination sera, d'après l'article précédent.

OÙ n', n", etc., ont la même signification, par rapport à la seconde et à la troisième obsei^ation , que n par rapport à la première 5 et si l'on peut supposer les nombres », n', «", etc. , proportionnels à m, ?n', m", etc.. cette erreur moyenne à craindre sera égale à

^Çn^ „;1 ) (, + ^'i 4, p^/4 ) . ) ^

mais cette manière de déterminer une valeur approchée de m n'est pas la plus avantageuse.

Considérons l'expression plus générale

__ X- -f- u'x'^ -h V." x'"' -f- . . . I + a p. ' + a jy. ' + . . .

dont la valeur moyenne sera aussi nî^^ quels que soient les coefficients a', a", etc. L'erreur moyenne à craindre lorsqu'on substitue la valeur m' à une valeur de j-, déterminée d'après les erreurs fortuites o", x', x" ^ etc., sera, d'après

les principes précédenls, donnée par la formule

\J{n* — m* ) + ol" {n'* — m'*) -h ol"' («"* — m"' )

l + af/' + a pi'-t-...

Pour que celte erreur soit la plus petite possible, il faudra poser

«' — nv ,

ij'4 o.'f ^ '

Ces valeurs ne pourront pas s'évaluer tant qu'on ne con-

naîtra pas les rapports —5—5 etc. Dans 1 ignorance ou ion

est de leur valeur exacte (*), le plus sur sera de les supposer égaux entre eux [voyez art-. 11), et l'on aura alors

c'est-à-dire que les coefficients a', a", etc., doivent être supposés égaux aux poids relatifs des diverses observations, en prenant pour unité le poids de celle à laquelle correspond l'erreur x. Ceci posé, désignons, comme ci-dessus, par a le nombre des erreurs proposées j la valeur moyenne de l'expression

or

sera égale à m^, et lorsque nous prendrons, pour la vraie valeur de m^, la valeur de celle expression déletminée au moyen des erreurs fortuites x^ x\ x" ^ etc., l'erieur moyenne à craindre sera

\Jn' -\- y",i'' + r/'-'-n"' H- ... — cm*

( * ) On ne conçoit la pob»ibilitc de déterminer exactement jx , //.', /*", etc., que dans le seul cas où , jtar la nature de la l'onction y, les erreurs x , j', jr", etc., proportionnelles ii //,//', y", etc., seraient «'[jii'c'i"'"' |'rn|.:i|.los , c'est-à-dire le cas où

(iVu/ct/fM. G.iibï.,

et, enfin, s'il est permis de supposer les quantités «, n', Ji'\ etc., proportionnelles à m, m', nz", etc., cette expression se réduira à

résultat identique à celui que nous avons trouvé dans le cas où. les observations sont toutes de même espèce.

Lorsqu'une observation dont la précision n'est pas absolue, fait connaître une certaine quantité liée analytiqucment à une grandeur inconnue, le résultat de cette observation peut fournir pour l'inconnue une valeur erronée , mais dans la détermination de laquelle il n'y a rien d'arbitraire qui puisse donner lieu à un choix plus ou moins vraisemblable.

Mais si plusieurs fonctioïis de la même inconnue sont données par des observations imparfaites, cbaque observation fournira une valeur de l'inconnue, et l'on pourra également obtenir des valeurs, parla combinaison de plusieurs observations. Il y a évidemment une infinité de manières d'y parvenir; le résultat sera soumis, dans tous les cas, à une erreur possible. Selon la combinaison adoptée, l'erreur moyenne à craindre pourra être plus ou moins grande.

La même chose aura lieu si plusieurs quantités observées dépendent à la fois de plusieurs inconnues. Selon que le nombre des observations sera égal au nombre des inconnues, ou plus petit ou plus grand que ce nombre, le problème sera déterminé, ou indéterminé, ou plus que déterminé (du moins en général), et, dans ce tioisième cas, les observations pourront être combinées d'une infinité de manières pour fournir les valeurs des inconnues. Parmi ces combinaisons, il faudra choisir les plus avantageuses, c'està-dire celles qui fournissent des valeurs pour lescpiellcs Terreur moyenne à craindre est la naolndre possible. Ce

problème est certainement le plus important que présente l'application des matliémaliques à la philosophie naturelle.

Nous avons montré , dans la Théorie du 3Ioiwement fies Corps célestes, comment ou trouve les valeurs les plus probables des inconnues lorsque Ton connaît la loi de probabilité des erreurs des observations , et comme, dans presque tous les cas, cette loi par sa nature reste hypothétique, nous avons appliqué cette théorie à l'hypothèse très-plausible, que la probabilité de l'erreur x soit proportionnelle à e~*'^**, de là cette méthode que j'ai suivie, surtout dans les calculs astronomiques, et que maintenant la plupart des calculateurs emploient sous le nom de Méthode des moindres carrés.

Dans la suite, Laplace, considérant la cpiestion sous un autre point de vue, montra que ce principe est préférable à tous les autres, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs, pourvu que le nombre des observations soit trèsgrand. Mais lorsque ce nombre est restreint, la question est encore intacte; de sorte que, si l'on rejette notre loi hvpothétique , la méthode des moindres carrés serait préférable aux autres, par la seule raison qu'elle conduit à des calculs plus simples.

Nous espérons donc être agréable aux géomètres en démontrant, dans ce Mémoire, que la méthode des moindres carrés fouinit les combinaisons les plus avantageuses des observations, non-seulement approximativement, mais encore dune manière absolue, et cela quelle que soil la loi de probabilité des erreurs et quel que soit le nombre des observations, pourvu que Ion adopte pour roircur moyenne, non pas la définition de Laplace, mais celle que nous avons donnée dans les art. "5 et H.

Il est nécessaire d'avertir ici (juc, dans les rcclierthcs suivantes , il ne sera question que des erreurs fortuites diminuées de leur partie constante. C'est à l'observateur qu'il appartient d'éloigner soigneusement les causes d'erreurs eonstanles.

( ^6) Nous réservons pour une autre occasion l'examen du cas où les observations sont aiiectées d'une erreur constante inconnue, et nous traiterons cette question dans un autre Mémoire.