Si Ton pose , enfin

a dr

on aura

et W"" sera indépendant àe p^ de q et de r. On prouvera

comme plus liaui que le coefficient y" doit ( tre positif. On voit, en tiVet, facilement que y' est la somme dos coefficients de r* dans t'*, u'*, y"*^ etc., après que les quantités // et ç ont été éliminées de y'\ etc., à l'aide des équa-' tions

/>' = o, y' = o. IV. De la même manière en posant

2 ds $ '

on anra

sera iadépendant de r ei et â'^ une quantité positive.

V. S'il y a un plus grand nombre d'inconnoes, on continuera de la même manière et Ton aura enfin

expression où a, (3', y", etc.) désignent des (^uaatiieâ positives.

VI. On a déjà vu qae la probabilité d'un système de valeurs de Pj q^r^s^ etc., était proportionnelle à la fonction ^— A* W. conséquent, la valeur de p restant indétermi*>

née, la probabilîlé d'un certain système de valeurs de «y, r, etc., sera proporlionnelle à Tintcgrale

qui est égale , diaprés le théorème de Laplace , à

et cette probabilité sera proportionndle à la fonction

De même, si Ton considère de plus q comme indéterminé) la probabilité d'un système de valeurs de r, etc., sera proportionnelle à

c'est-à-dire à

et, par suite, proportionnelle à «T'^*^'. De même si r est aussi regardée comme incfëterminée, la probabilité d*uii système de valeurs déterminées de 5, etc., sera proportionnelle à et ainsi de suite. Supposons que

le nombre des inconnues se réduise quatre; les conclusions seraient les mêmes dans le cas général. La valeur la plus probable de s sera

et la probabilité qu'elle différera de ^ de la véritable valeur sera proportionnelle à

d'où nous concluons que \Jâ'" mesure la précision relative à cette détermination, en prenant pour unité la précision des obseivations primitives.

Par la méthode du paragraphe précédent uu certain degré de précision a été assigné à la seule inconnue qui, dans le travail de Télimination, a été gardée la dernière.

Pour éviter cet inconvénient, nous allons calculer d'^' d'une autre manière.

Des équations

on tire, en les résf>lvaiu par rapport à p' , r/', / s\ y = P,

(le sorte que A., A', ^l»'', ifc', xO)'', 8011I d(9l quantités (létcruiiiiL'C5. On aura donc (en restreignant i quatre le nombre des inconnues)

d*où résulte la conséquence suivante : Les valeurs des inconnues py g y s y etc.» qne l'on doit tirer des équations PssOy Q=--o, R=!0, S = o,

|oat évidemment exprimées par des fonistioDS linéaires de P, Q, R, S, etc., savoir-:

p = \. -hA P-hB Q-i-C R-f-D SH-...,

ç =sL' 4- A' P-hB' Q'+'C R + D' S-h..., r = L* 4- A'' P + Q -h R 4- D " S -h . . . , / =5 L* 4- A'' P + B" Q + R H- S H- . . . ,

Cela posé« les valeurs les plus probables de ces incon» nues sont respectÎTement L, L', L^, etc. Les degrés de précision qui doivent être attribués à ces déterminations

sont respectivement

Ta' W""

en prenant pour unité la précision des observations primitives \ car ce que nous avons dit plus haut de Tincon-

nue s ^pour laquelle D'^ répond à ^ s'applique aux autres inconnues par une simple permutation.

Pour éclaîrdr par un exemple les recherclieft qui précèdeut, supposons que par des observations pour lesquelles une ^ale précision doit être présumée, on ait troufé

Zjj itj — 5 /' = 5 ,

mais que, par une observation à laij^ueUc une précision égale à ^ doit être attribuée, on ait trouvé

A cette dernière nous substituerons la suivante ,

que nous supposerons provenir d'une observation aussi précise que les premières. De là on tire

P sa?/? -h 6ç — 88, Qas 6i9+i59-(- r— 70, Rs5ï 9 «f* 54^^107,

et par Télimination

7379= 2617— iaP+ 54Q— R.

6633 rss 11707 H* iP— 9Q 4- ia3A.

Les valeurs les plus probables des incounues seront donc

avec des degrés de précision égaux respectivement à

( «Sa)

Le sujet que nous avons traité jusqu^ici donnerait lieu à d'élégantes rechercbes, auxquelles nous ne nous arrêterons pas, pour ne pas trop nous écarter de notre objet

principal. Par la même raison, nous réservons pour une autre occasion l'exposition arlifires qui permettent ilc réduire le calcul à un algorithme plus expéditif. Qu'on nous permette seulement d'ajouter une seule obser>ation.

Lorsque le nombre des fonctions ou des équations proposées est considérable, le calcul est surtout rendu pénible par cette circonstance, que les coefficients par lesquels on doit multiplier les équations primitives pour olucnir P, Q, R, S, etr., sont presque toujours des frai fiitns décimales compliquées. Si Ton ne croit pas imporlaut dans ce cas de calculer ces produits avec le plus grand soin à l'aide des Tables de logarithmes, il suffira le plus souvent de leur substituer des nombres plus simples qui en diâerent peu. n ne peut en résulter d^crreurs notables qu^autant que la précision des inconnues devient moindre que la précision des observations priiniiivcs.

Au reste , le principe d'après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quantités calculées doit être un minimum, peut encore s'établir sans recourir au calcul des probabilités , comme il suit.

Lorsque le nombre des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu^elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux, on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont' pas douées d'une précision absolue, il faut donc dans ce cas chercher à établir l'accord le plus satisfaisant, c'est-àdire à faire en sorte que les différences soient atténuées le plus possible. Mais cette idée a par elle-même quelque

duMe de vague. Ën*effet, quoiqu'un système de valeui's des inconnues doive être sans aucun doute préféré à un autre système où toutes ces différences seraient respectivement

plus grandes, le choix entre deux systèmes dans 1 un desquels l accoi'd serait plus saiibiaisauL pour queltpu^s-unes des observations, mais moins saùsfaisaui pour d'autres, est en quelque sorte arbitraire, et Ton peut évidemment proposer plusieurs principes par lesquels la première condition soit remplie. £n désignant par A , A^, etc. , les différences entre le calcul et les observations , on satisfera k cette condition, non-seulement ,sî A' H- A'*-f- A"* -\- . . devient un minimum (ce qui est notre principe), mais encore si A*-hA'*4-A/'*-H..., ou A«-|- A«-4- A"*-+.. . ., ou généralement une somme de puissances paires, devient un minimum. Mais de tous ces principes le nôtre est le plus simple, tous les autres nous entraînant dans des calculs extrêmement compliqués. Âu reste, ce principe, dont nous avons fait usage dès l'année 179», a été donné dernièrement par Legcndrc dans ses Noux^eîles nitikodes pour la détermination des orbites des comètes ^ Paris, 1806; on trouvera dans cet ouvrage plusieurs conséquences que le désir d'abréger nous a fait omettre.

Si Texposant de la puissance paire dont nous venons de parler était infini, nous serions ramené au système dans lequel les plus grandes erreurs sont moindres que dans tout autre système.

La[)laee se sert, pour la résolution d é(|uatioMs linéaires en nombre plus ^^rand que les inconnues, d'un autre principe, proposé d'abord par Boscovich, savoir, que la somme des valeurs absolues des différences devienne minimum. On peut facilement démontrer que le système des valeurs des inconnues trouvé par ce seul principe doit néeessaireraent [*) satisfaire à autant d'équations, prises parmi les

( *) Excepté qnelqaM m BpéjBMux où il y s indétonnioation*

proposées» qWU y a d'incoimiies, de -sorte que les autres équations ne sont employées que pour décider le choix que l'on doit faire.

Si , par exemple, l'équation V = M est du nombre de celles qui ne sont pas satisfaites , le système des valeurs trouvées par le principe en question ne serait pas altéré si au lieu de M on avait observé urje antre valeur iN telle, que, H étant la valeur calculée, les diUereuces M — n et !N — n fussent de même sis^ie. Au reste, Laplace tempère en quelque sorte ce principe en y ajoutant cette nouvelle condition, que la somme des différences, prise avec leurs signes, soit nulle. Il en résulte que le nombre des équations satisfaites est moindre d'une unité que le nombre des inconnues : mais 1 observation quenou> venons du iaire subsiste encore lorsqu'il n'y a que deux inconnues.