do» 4- I ,o2j38d ^ — 0,27187 di

Du pics la nature des observations qui ont fourni la dixième de ces équations, elle inspire trop peu di' eoniiance pour qu'on juge utile de la iaire intervenir, et c'est d'après les onze autres seulement cpie Ton déterminera les six inconnues.

Les explicatiuiis suivantes sout littéralement traduitesdu Mémoire de M. Gauss.

Dans Pimpossibilité où nous sommes de satisfaire exac* tement aux onze équations proposées , c*est*A-dire d'annuler tous les seconds membres , nous chercherons à rendre

la somme de leurs carrés aussi petite que possible.

On aperçoit facilement que si Ton considère les fonctions linéaires

«' 4- fl'// + + r -h <i' j H- . . . =5

les équations quHl faut résoudre pour rendre

un minimum, sont

aw a' w' -\- a" w'' 4- . . , = o , bw H- b'w'-^- .,=so, av -t-«'fl/-hc*«»''H-,.. = o,

on, en posant, pour abréger,

an H- -I- -h ...= (««) ,

h^j^yt ^1^7 ^ — (bb),

bc^b'c'^b'U"-^ =

(f, r, s, etc., devront se déterminer par les équations suî-

Tacites :

{an) ~h (aa]p -\- {ab)(j -h ( «c ) r -f- . . . = o , (bn) {ab)p (bb)q + (éc)r-f-... = o, (en) -h (ac) p (bc.) q -h (ce) r-4-. , «=0,

L*éUminatioi], très^pénible lorsque le pombre des inconnues est considérable, peut se simplifier notablemeni de la manière suivante. Outre les coefficients (an), (aa), etc.^

[dont le nombre est ^ (i * + 3 / ) , si le nombre des inconnues est i] , supposons que l*on ait calculé la somme

on voit facilement que Ton a

Û = ) 2 ( û« ) 4- 2 ( é« ) ry -h 2 (cn) r . . . [aa)p^ -j- 2 (ab)pq 4- 2 (ac) pr -i-, , ,

(bb) g^-^ 2(bc)qr-k- ^(bil)qs -h* * * H-(«tf)r'+ 2(ed) rf -H. . •;

et, en désignant

(nn)-^ (aa)p'j-{ab)q-{', , .

par A, tous les termes de contiennent le facteur

se trouvent dans l'expression H, et, par suite,

est une louction indépendante de p. C'est pourquoi, en posant

, , , (an) (hn) , , :

(<in) (cji) ,

on aura

il — z — r = i) H- 2(^/1, 1)7 -H a(c«,i)r-+- 2(r/«, i) ^ . .

+ (ce, i)r*H- a{crf, i)rr +

jiàuus désignerons cette fonction par ii..

De même, eu posaut

la diiléreuce

sera indépendante de nous la représenterons par

En posant, de même,

[tel

(c// , 2} H- (ce, 2) r H- (cdf 2) j -h. . . =r C,

la différence

sera nne fonction indépendante de r.

En continuant ainsi , nous formerons une suite d'expressions ft, A', A", etc., dont la dernière sera indépendante des diverses inconnues, el représentée par (iti»,^), sip désigne le nombre de ces inconnues; noms annms alors

(aa) (bb,i) {ce, a) (dd,^)

On prouvera facilement que A étant une somme de carrés

et ne pouvant devenir négadve, les diviseurs (oa), (55, i),

(ce, 5>), etc., sont tous positifs, (rsous supprimons, pour abréger, le détail de la démonstration. ) D'après cela , lu valeur minimum de û correspond évidemment aux valeurs des inconnues, pour lesquelles

et, en commençant à résoudre le système par la dernière équation , qui ne contient qu'une inconnue, on trouvera les valeurs de p, 7, r, s y etc., sans avoir aucune élimination

à effectuer. La méthode donne, en même temps, la valeur miuiukum de ^2, qui est (/zn , fi).

Appliquons ces principes à notre exemple, dans lequel

r/, / . s, etc., sont remplacés par dZ/, dî , dTi , dç , d Q , dl, J ai uouvé, par des calculs exécutés avec soin :

{ac) = — 0,0934^, [ad) =--2,28516, {ae) ==-.0,34664,

(4^) — 0,18194, (bb) =:+ 10834:^25,

(bd) =—.3229,77,

{be) =-198,64, [bf) = — 143, o5.

{nn)

(an)

{bn)

— 58oio4y

{en)

{dn)

(ef?)

(aa)

{ab)

{ce)

{ai)

= -r 1 yloooA,

{ee)

(ife)

sa — 0,37137,

(ce)

D'où l'on déduit :

{nn,i)

(bc,i)

= — 5io,58,

(be,x)

(crf.i)

— — 0 ,or)<S;j'.>, ,

De la même manière :

{en y i)

{en ^2)

H- i,iloo3,

-h 0,29dOO,

{flfl n\

{df,

(ee, 3)

De même :

l nn A 1

D'où:

{/in, 5)

D*où enfin

Nous avons donc les six équations suivantes :

os=4- 1 7", Il H- 5,4^383 d/,

0 = + 75",23-4-a,22346dQ— o,39766di,

o = H- 25*,66-4-9,?92i3df — o,36i75dfl — o,57384d/,

o ~ — 1 15' ,81 -f- o ,7 161 (Itt +i,iio63df — 0,06392 d^ 4-o,?.5868d/,

o = — 13854" -H24587?5d7 ( > , 1 3 d — o,5io58dy

H-2i3,84da -^73,45di, o 37i^09+5,9i569dX + 7203,91 d7 — o,oo344d)r