AVERTISSEMENT
J'ADOPTERAI constamment dans ce Mémoire la notation suivante ■
A , azimut d’un objet terrestre , compté du sud à l'ouest ;
M , sa distance zénitale,
H , latitude du lieu de l'observation ;
C , son complément ou la colatitude.
D , déclinaison boréale du soleil;
A , sa distance polaire.
z , azimut dn soleil , compté du sud à l'ouest ; »
Z — igc” — z, son azimut compté du nord.
S, angle au soleil, entre son vertical et son cercle de déclinaison.
N, distance zénitale géocentrique de cet astre, correspondante à langue horaire P.
n , nombre des observations.
G, arc incliné entre un objet terrestre et le centre du soleil ou d’un astre quelconque ;
g, projection horizontale de cet arc.
f, excès de G sur g, ou réduction à l'horizon.
t, caractéristique d'une variation quelconque.
<t , caractéristique d'une différentielle.
X , symbole d’une somme.
Enfin, toute valeur moyenne prise, par exemple, entre les c ou les A , etc-, sera désignée par z m ou A. , etc.
A T . B. Le prisent Mémoire , lu à l'Académie des Sciences le a septembre 1 8aa , est accompagné de*Notes principalement rédigées en faveur des jeunes Ingénieurs- Géographes qui doivent prendre part aux nombreuses et importantes observations astronomiques à faire à différons points du canevas trigonométrique de la Carte de France.
Pour obtenir le Résultat moyen d une série d Observations
la
marche d’une pendule et le temps absolu dans un lieu dont la position géographique est connue, on prend, pendant plusieurs jours de suite, des hauteurs du soleil long-temps avant ou après son passage au méridien; et si les observations sont chaque fois au nombre de vingt ou de trente, on les groupe de a en a , ou de 4 en 4 , ou de 6 en 6 au plus, afin que l’angle moyen résultant de chaque série partielle» corresponde, à très peu près, à l’époque moyenne : de cette manière, le calcul de l’angle horaire s’effectue autant de fois qu’il existe de ces séries partielles; et la moyenne arithmétique des résultats que ce calcul fournit est censée correspondre au milieu de la durée totale des observations. Ce procédé, malgré son extrême longueur, a l’avantage de mettre en évidence les erreurs qui peuvent affecter sensiblement les résultats partiels, et de faire juger tout d’abord si les corrections de la pendule suivent une marche régulière. C’est celui-là même qui est décrit dans la Base du Système métrique décimal, et qui a été constamment employé par l’illustre auteur de cet immortel Ouvrage. Cependant d’autres géomètres, dans la vue d’abréger les calculs relatifs à ce genre d’observations, • sans porter atteinte à l’exactitude des résultats, ont essayé de
réduire rigoureusement toutes les distances observées au milieu de leur durée, afin de pouvoir ensuite effectuer les calculs comme dans le cas d’une observation unique. La méthode que M. Soldncr a proposée à ce sujet, dans les Éphémérides de Berlin, pour l’année 1818, et qui a de l’analogie, quant au fond, avec celle décrite dans la Mesure du degré de Laponie, par M. Svanberg , est remarquable par son élégance ^t sa simplicité, bien qu’elle soit incomplète à
astronomiques faites avec le Cercle répétiteu
jorsqu’on veut déterminer avec une grande'
quelques égards. Comme j’ignore si ce savant en a perfectionné la théorie et étendii l’application aux observations de latitude et d’azimui, je vais tâcher d’en indiquer le moyen, et de donner ainsi à cette méthode toute la généralité qu’elle m’a paru susceptible d’acquérir.
Recherche de la correction d’une pendule par des distances zénitales absolues des astres.
2 . La correction d’une pendille astronomique est son avance ou son retard sur le temps vrai, le temps moyen ou le temps sidéral.
Le temps vrai se conclut ordinairement de plusieurs observations du soleil j par exemple de 20 à 5o distances zénitales prises dans un intervalle de temps très court, et non loin du cercle horaire de six heures. Malgré leur peu de durée , on risquerait souvent , en n’en formant qu’un seul groupe, da commettre quelques secondes d’er- ’ reur dans l’évaluation de la correction de la pendule, si l’on regardait l’angle moyen observé comme correspondant précisément à l’époque moyenne ; car il est de fait que la distance zénitalc ne varie pas proportionnellement au temps. Cette distance zénitalc moyenne doit donc être augmentée ou diminuée d’une certaine quantité pour représenter effectivement celle qui convient au milieu de l’intervalle.
Cherchons cette quantité, et pour cela ayons égard à la variation de distance zénitalc produite par un .changement d’angle horaire et de déclinaison.
Soit H la latitude du lieu; D la déclinaison du soleil, calculée pour l’époque du milieu de l’intervalle; Z l’angle au zénit ou l’azimut de l’astre ; P l’angle horaire ; S l’angle ou centre du soleil entré le vertical de cet astre et le cercle de déclinaison ; enfin N la distance #
zénitalc, Le triangle sphérique ZPS flonne ces relations :
( 1 ) cos IV = cos P cos H cos D + sin H sin D ,
( 2 ) cos S siu IV = sin II cos D — cos P cos H sin D ,
(5) si n S siu N = sin P cos H,
(4) siu Z sin > = sin P cos D ,
(5) cos P = sin S sin Z cos IN — co|^5 cos Z;
et si l’on suppose que la -variable N reçoive un accroissement quelconque <fN, soit parce que l’angle horaire P v t ariç, soit parce que la déclinaison D de l’astre change, on aura généralement, en vertu de la formule de Taylor ,
rfN f, n , rf*N ;d*
Tirant alors de la relation (1) les valeurs des coeflicicns différentiels de cette formule, il viendra, avec un peu d’attention.
dN dP =
sin P cos H co» D ! ” un N- =
: sin S cos D ,
rf*N , D «W • .AT rfN' ~
3pï — cot P • cotî» = ■
■ dV
cm H co* D cos S cos Z sin N ’
«PH I ds . / dXSd-N , i du 3
JP »in*PdP^" V 0tI aCOt *’dp)dl>‘ Siu-îf ÏP 3 ’
d N cos P cos II sin D — sinHcosD
dD
sinM
■cos S,
= oot N'siu* S ,
d ‘ N . «IN ■ .a- <*Nf
mip =—tan e D. Jf — coty. Tp . ^
5= - cot N sin aS cos D — sin S sin D ;
ces valeurs que nous donnons sous deux formes différentes, exigent qu’on ait égard, dans les applications, aux signes des lignes trigonométriques. »
Supposons maintenant qu’aux angles horaires observés P', P", P™... correspondent les distances iénitales N', K", N'"... et les déclinai*
sons D', D", D"'..., et que l’on ait
P'=P + «fP , ) P''=P + <TP", P m =P + <fP' n , etc.,' N'=N+«m', N"=N-t-cTN" etc.,
D'=D-f-dD', D'^D-f-crD", D"'=D+^D'", etc. •
Supposons en outre n observations successives et non interrompues, et représentons par N, l’angle moyen déduit de ces observations; on aura évidemment
N XW . ^N n ■ UN
£ désignant une somme; par conséquent
TV —WJ*»— X**u** sif»,dy XiD N N + — = N+ 3 p • — + 5 P--TT+ 35 - —
, d ’ N Xi D* , rf’N ztt/D , „
T db‘ ■ a. n -t- 5 PrfO- n ‘ etC '
Telle est la valeur générale de l’angle moyen observé, donnée en fonction de la distance zénilale N correspondante à l’angle horaire P auquel toutes les observations sont rapportées. Cette valeur se simplifie beaucoup lorsqu’on prend pour P l’angle horaire moyen ,
c’est-à-dire, lorsqu’on fait P = , parce qu’alors
— est nécessairement nulle, et le terme du troisième ordre ou
celui qui a pour facteur efP 3 est d'une extrêmepetitcssc. Pc plus, comme dans l’intervalle d’une demi-heure la déclinaison du soleil varie, à très peu près, proportionnellement au temps, on a également
— jj— ss o , puisque si dans la première moitié de la série les différences «PD sont positives, elles se trouvent nécessairement négatives dans l’autre moitié, et vice versâ; ainsi dans ce cas la formule précédente se réduit à celle-ci :
N.=N + g.2 . 2 ““ÎÜ?
1 d P* n.sini 1 dD n.sim
d‘X i 5 rfPiim*.J» ,
”■ <iPc/D * ~ n ’ *
en exprimant les angles horaiiesj d P en secondes de temps , et les
variations <TD en secondes de degré, et remarquant que l’on a sensiblement j «TP* = asin* ^ «JT.
L’exacte application de ces deux dernières formules exige que l’on ne se méprenne point sur le signe qui doit affecter chacune des variations <fP et <TD. Par exemple, dans la première moitié de la durée des observations censées faites après midi, les </P sont négatives, et dans la seconde moitié de cette durée, ces variations sont positives, parce que les distances zénitales qui précèdent et suivent celle N sont respectivement plus faibles et plus fortes que celle-ci. D’un autre côté, si les déclinaisons D', D", D'". vont en croissant, et que la déclinaison D soit celle qui correspond à l’angle horaire moyen P, les variations <fD seront négatives avant l’époque moyenne, et positives après. Ce serait évidemment le contraire si ces déclinaisons allaient en diminuant.
On sait que les différences <fP s’obtiennent sur-le-champ, en ôtant des temps observés de la pendule l’époque moyenne. Quant aux différences «fD, on les déduira des angles horaires <fP, c’est-à-dire qu’on multipliera la variation en déclinaison pour une minute de temps, prise dans une Ephéméride, par chaque valeur de <fP exprimée en minutes.» En ayant égard à ces considérations et à ce que la plus- grande valeur que peut acquérir le facteur qui multiplie ïJ'PJ'D dans la formule.^) a lieu lorsquo la déclinaison du soleil est australe, parce qu’alors sinD est négatif, on sera en droit de conclure que dans ce cas même, qui est le plus défavorable, les termes du second ordre dus au changement de déclinaison sont réellement insensibles : aussi voilà pourquoi M. Soldner a supposé tout d’abord la déclinaison constante. Cependant, nous avons jugé convenable non-seulement de mettre en évidence les deux termes dont il s’agit , afin que l’on put s’assurer qu’ils sont assez petits pour être négligés sans aucun inconvénient, mais encore d’exprimer les cecfiiciens différentiels indispensables en fçnction des données primitives, afin d’éviter au calculateur tout embarras sur le choix des signes de cos 2 et de cos S.
Il résulte de ces remarques, que la formule essentiellement nécessaire pour parvenir à évaluer rigoureusement et avec brièveté la
correction de la pendule , est, pour le soleil comme pour une étoile ,
N = N.+ r-p-g.xS!SU£ I
r dr % n.sin i 3
r désignant la réfraction et p la parallaxe de hauteur. Ainsi, avec celte valeur de N on déterminera l’angle horaire P par la méthode connue, et cet angle converti ch temps sera le temps vrai correspondant à l'époque moyenne déduite des temps de la pendule. La différence de ces deux résultats sera la correction cherchée.
On pourrait encore calculer l’angle horaire P d’après la distance génitale moyenne jK„ observée, corrigée de la réfraction et de la parallaxe; mais cet angle devrait ensuite subir une correction dP qui serait donnée par la formule suivante,
> S»in‘ j JP * TiTsïn i"
cos S cos Z ^ asin* { <JP «inl* /i.sirti* ’
ainsi qu’on peut aisément s’en assurer (voyez d’ailleurs Géodésie ,
T. Il,* p- »«')■
La réfraction variant avec la distance zénitale, il importe cependant de savoir s’il ne faudrait pas aussi avoir égard au changement qu’elle éprouve pendant la durée des observations. Pour cet effet , soient N', K", N'". . . , les distances apparentes telles qu’elles auraient été observées aux époques des angles horaires F, P", P'". . . Soient en outre r 1 , r', r"'... les réfractions correspondantes; et représentons toujours par N la distance zénitale vraie relative à l'angle horaire moyen P; il est évident qu’on. aura alors
H'+rtasN+J»', N'+F=N+<m", IS'"-fr , "=N-f-J'N'",ctc.;
et par -conséquent
