PN
<fG /(ii y <J*G /<Oï\*r
a(i*G </i f/N dgdS dP'Sf
asin* à iP, n.sin 1 "
Telle est la formule à évaluer pour pouvoir grouper n observations et parvenir à l’azimut A^. Quant aux coefficiens différentiels qu’elle renferme, et qui la compliquent singulièrement, en voici les valeurs analytiques, d’après ce qui précède;
dz dP '
sinxoosS : ' ainP >
dF' = û
sin £ cos s
-Mcotzd)'-
^j== sin S C03 D , —
•in’ P
cos IT cos D cos S cos z «in N ’
■COtP.^;
dG sioir sinMsinN 3*G , dG . /3GV
dg ~ slnG » 3?= COt ^- COtG Cç);
dG cos M sin N — coscr sinM cos N
Ix = TG = cosS',
= c otiN.^-cotG.^.^.
gsscotGsin'S';
Dans ces coefficiens différentiels, M exprime la distance zénitale de l’objet terrestre et S l’angle au soleil entre son vertical et son cercle de déclinaison; enfin N est la distance zénitale apparente de cet astre. Ceux qui sont fonction de G et g ne peuvent être déterminés numériquement qu’en évaluant d’abord ces deux arcs de manière à ce qu’ils correspondent à très peu près à l’angle horaire moyen P : or G s’obtiendra par la méthode ordinaire d’interpolation appliquée aux arcs G', G", G'". . . notés dans le cours de la série. On pourrait même supposer G=G„. Ensuite avec cet arc, la distance zénitale N du soleil, corrigée de la réfraction et de la parallaxe , et calculée pour l’instant P; enfin la distance zénitale M de l’objet terrestre, on calculera gy et l’on aura p—G — g. Donc le problème sera résolu.
On pourrait cependant objecter que cette solution suppose la déclinaison du soleil constante et la variation de réfraction nulle; mais il ne serait pas difficile de se coh vaincre, comme au n° 5, que les ciiangemens de déclinaison et de réfraction n’influent pas d’une seconde sur l’azimut déterminé par notre méthode, surtout lorsque la durée des observations n’est que d’une demi-heure au plus (voyez la Note IV).
Une objection mieux fondée serait celle qui porterait sur la longueur des calculs des neuf coefficiens différentiels; aussi est-il
très préférable, dans la pratique, de déterminer la correction 2 — ' ainsi ^u’il suit.
Si le lieu de l’observation dont Z est le zénit, est considéré comme le centre d’une sphère, les arcs de grand cercle RS, PS, PR appartenant à cette sphère seront des arcs apparens : le premier, en tant que S est la position du soleil au milieu de l’intervalle, représente l’arc de distance moyen G; le second est la distance polaire apparente que nous désignerons par A, ; et le troisième PR est une portion du méridien apparent du signal R que nous appellerons fi,. Enfin, nous désignerons par <p l’angle opposé à M dans le triangle sphérique ZPR, et par 9 l’angle opposé au côté G dans le triangle PRS.
Le côté G et l’angle opposé 8 de ce dernier flhianglc peuveiit être considérés comme les seules quantités variables , dans l’intervalle
d’un quart-d’heure ou d’uno demi-heure au plus; ainsi on a
JG dG -JS . <PG J9*
Mais en général 8= P— <p, et puisque <p est un angle constant, l’on a évidemment <f8=cl'P; partant
ou simplement
JG dG -/P . d'd JP*
n ~ dS ' n ' d»‘ ‘ a.n’
JG cPG ^ asin* ; JP
n «fit* * n.sini* ’
tp
à cause de 2 — =o. D’ailleurs, d’après le n* a, le triangle PRS donne
JG ain # sinp, sinû, d*G dG , n dG‘
dS = OÏG » dï= rot(, --3ii-™ iG -W-
Voilà donc les seuls coefficiens différentiels à évaluer pour obtenir la correction 2 — ; mais il faut préalablement déterminer
l’angle fl et les arcs apparens A,. On remarquera d’abord que dans le triangle sphérique ZSP, les tleux côtés N, C et l’angle compris Z sont connus; mais comme il s’agit ici des lieux apparens, on diminuera la colatitude C de la réfraction qui a lieu à la hauteur du pôle, et l’on prendra pour N la distance zénitale apparente du soleil à l’époque moyenne P : on pourra donc déterminer l’arc A,. Pareillement, dans le triangle RZP l’on connaît tes deux côtés M , C, et approximativement l’angle compris i8o°— A; ainsi la valeur du côté fi, et celle de l’angle <p s’en déduiront naturellement. Cette solution, quoiqu’un peu moins analytique que la précédente, doit, à cause de sa simplicité, conduire avec plus de sûreté au résultat que l’on cherche : elle réclame d’ailleurs beaucoup moins d’attention relativement aux signes algébriques.
io. En général, en calculant deux ou trois séries séparément, les résultats s’accorderont d’autant mieux que l’astre sera moins proche de l’horizon, et l’on n’aura pas à craindre que les azimuts
déterminés de la sorte soient inflaencés par les réfractions extraordinaires qui ont souvent lieu au niveau du sol, si l’on ne commence ou si l’on ne continue les observations que quand le soleil éfet à 8 ou 10 degrés au-dessus de l’horizon.
Néanmoins, dans les recherches délicates de la figure de la terre, où les azimuts sont des élémens essentiels, on doit, à défaut de lunette méridienne , préférer les observations par la polaire. Plusieurs géomètres ont donné à ce sujet quelques méthodes particulières. AI. Legendre, notamment, a non-seulement proposé d’observer cette étoile aux époques de sa plus grande digression du méridien , mais même a donné une formule analogue a celle qui lui sert pour déduire les latitudes des distances circumméridiennes. ( Voyez les Mémoires de V Académie des Sciences, année 1787). Il me semble toutefois que la comparaison de la polaire avec un réverbère placé convenablement à l’horizon, peut, à la rigueur, être faite à une heure quelconque de la nuit, et que les formules relatives au soleil sont susceptibles de recevoir encore leur application , à quelques modifications près.
Par exemple, on détermine avec beaucoup de précision et de facilité l’azimut du soleil correspondant au milieu de l’intervalle, à l’aide des analogies de NéJ)er, savoir :
tang î (Z -f- S) = cot g P
cos-Ua — C) cos ; (a + C) ’
tang ; (Z — S) = cot ï P
sin j (A — C) #
et l’on a en outre la distance zénitale de cet astre par cette formule ,
sin jN =
cos 7 P
«in A (A — C) sin 1(2 — 6)’
lorsqu’on n’est pas certain d’avance que cette distance est plus grande ou plus petite que 90'. Mais pour obtenir l’azimut de la polaire dans la même circonstance, il convient de substituer à ces analogies la série suivante :
(6) 180 — Z== ^jnPcç ^ r H+l)
v 7 cos H ' cos H 1 3 cos H v ° ' 7
.A 3 sinP . , Tr
démontrée à l’art, iga du Traité de Géodésie , et dans laquelle P exprime l’angle horaire correspondant au milieu de la durée de la série, A lu distance polaire de l’étoile affectée de l’aberration et de la nutation, et II la latitude de l’observatoire.
L'azimut z étant trouvé, on y appliquera la correction
^ ainzeosz ^ asin^J/P
n sir»*P n.sint* *
à laquelle sc réduit dans ce cas celle plus générale obtenue au n” 8 ; ou bien l’on emploiera celle-ci :
, , ûsinP a.jio*î/P
17) Z — = îj-.Z —s — ,
n rosit n. »n I
que l’on lire aisément de la série (6). Cet azimut, ainsi corrigé, étant ensuite diminué de l’arc de distance moyen réduit à l’horizon , donnera enfin l’azimut du réverbère.
Il est remarquable que l’extrême lenteur du mouvement de la polaire autorise à considérer l’arc moyen observé comme correspondant à l’époque moyenne, toutes les fois que la durée des observations n’excède guère un quart-d’heure. Cette circonstance simplifie donc de beaucoup la solution du problème; ainsi l’on se bornera à réduire à l'horizon l’angle entre le réverbère et l’étoile, observé au cercle ordinaire ; et pour cet efTet l’on déterminera préalablement la distance zénitale vraie N de l’étoile à l’époque du milieu de l’intervalle, au moyen de celte série
(8) N =C — A cos P-f- j A* tang H si n* P -f- shi* P cosP( j + tang* II) ,
démontrée pareillement à l’art. 195 du T. I de la Géodésie ; après quoi l’on convertira cette distance vraie en distance apparente, en la diminuant de la réfraction Ces deux dernières séries s’évalueront avec facilité et promptitude , parce qu’elles se composent des mêmes élémens.
Il résulte de ce qui précède que le calcul des azimuts par le soleil ou'par une étoile quelconque, conserve en tout point son uniformité, et que, relativement à la polaire, il se trouve dégagé de plusieurs considérations inhérentes aux méthodes particulières ( voyez l’art. 35o
et suiv. de la Géodésie). Mais quelle est la circonstance la plus favorable pour que cette étoile fasse connaître un azimut terrestre avec le plus d’exactitude possible? C’est évidemment aux époques des digressions orientale et occidentale, puisqu’en différenciant l’équation (6) par rapport a s et P on a, à fort peu près,
^ = Aeo,P
CO» Il 1
et que la plus petite erreur sur l’azimut, produite par celle qui peut affecter l’angle horaire, se manifeste lorsque cet angle est droit.
Donnons maintenant quelques exemples numériques propres à guider dans l’application de la méthode que nous venons d’exposer.
