cot N 9,73978 . sin S

»ogSÎ= 9,30684

asin'Î^D sth i*

Z , . tf’N <tD s

Ce terme, qui est le plus grand de tous ceux de même espèce,, est donc teut-à-fait insensible.

D’un autre «ôté, si l’on fait JP. = i5sin 1'. JP, on aura log 15=1,17609

sim*=4, 68557 * • cotN = 9,7ag78

• log JP =3,0791 8 » sin S = 9,83353

log JP, = 8,g4o84 * * cos 8=9, 86434

. log JD = 1,1 7609 cosD=9,g836i

sin S =9,83353 log JP, = 8,g4o84

sinDs^g, 43067 logJD=i,i76o9

• 9,581 15 — * ' ,g, 5 a 8 ig -f-

terme encore le plus grand parmi tous ses semblables, et qui, vu sa petitesse, n’est diaucune considération.

Le célèbre Delambre. a reconnu lui-méme ( Connaissance des Tems pour i 8 ao) que le terme du troisième ordre dépendant des angles horaires /P est toujours insensible. On s’èn assurerait très

aisément en. évaluant le coefficient différentiel ^ , dont nous avons donné l’expression sous une forme très simple ( n* précédent^

Nouveau moyen de déterminer la latitude géographique par là

polaire, observée à un point quelconque de son parallèle. .

4. La méthode la plus générale, la plus simple et la plus exacte pour déterminer la latitude d’un lieu de la terre, est saris contredit celle des passages supérieurs et inferieurs des astres au méridien. Cependant on obtient encore cet élément géographique avec beaucoup dg précision par des distances zénitales de la polaire, prises . vers les époques de sa plus grande digression orientale et occidentale; parce qu’il ne reste plus maintenant aucune incertitude sur sa déclinaison. M. Littrow, l’un des astronomes les plus distingués de Tienne, a même proposé d’observer cet astre à un point quelconque de son parallèle et donné une formule qui s’adapte à ce cas général; mais cette formule et la -table qui 7 . est relative seraient d’une application si longue et si fastidieuse pour tirer parti de toutes les dîstances zénitales mesurées au cercle répétiteur et groupées en très petit nombre, qu’il m’a paru utile, pour éviter cet inconvénient, dp chercher à rendre le calcul actuel analogue à celui des passages au méridien, c’est-à-dire de déduire la latitude moyenne de l'ensemble même des observations.

Soient Z, F, £, le zénit, le pôle et le lieu de l’étoile; H la latitude cherchée, C son complément;' A la distance de l’étoile au pâle; N la distance zénitalc vraie , Correspondante à l’angle horaire P intermédiaire entre le plus grand et le plus petit de ceux observés. .

Soient en outre N', N", N'". . . les n distances zénitales correspondantes aux n angles horaires P', P", P'". . .'conclus des temps de la

pendule et de l'heure du passage de l'étoile an méridien; enfin ,C=N + n. ' . •

Cela posé, le triangle sphérique ZPE donne - • . • 1 ( »). cosîî == cos (N + «}cos A H- ain ( N -J- u) sin A cos P :

formule d’où Kon pourrait tirer la râleur de N*q-tt par Je procédé relatif au 5 e cas des triangles sphériques (art. 84, Géodésie , T. I); Vest même ce qu’il y aurait de plus simple à faire sans la petitesse de A, et si l’on n’avait qu’une valeur de N ; mais dans l’hypothèse actuelle il vaut beaucoup mieux chercher à exprimer u cjd série qui procède suivant les puissances de la petite distance polaire* A. Faisons donc, puisque u. serait nulle si l’on avait A= o,

(a) «=*A4-6 a* + yCs 3 +. . .

, # * et déterminons les coefficiens et, S, y . ... par la méthode de l’art. 99

delà Géodésie. ■ ' - — - — *

D’abord, en développant cos(N-f-u) et sin(N-f-u), et divisant tout par co»N, il vient

(3) 1 =^sinu(sin A cos P — tangNcosA)

• , * ■+- cos u (cos A -1- tang N sin A cos P) ;

et à cause de

* sim A.s= A — - A 3 ,, cos A =1 —t i A*,

on a , en Wmant les développemens aux 3“ puissances de A ,

sin AcosP — tangNcos Ac= — tangN -f-AcosP — A'uàigN— jA’cosP, cos A-f-tangINFsinAcosPï=:i-+-AtangNco8P— jA* — j A 3 tmigN cosP.

Ç?un autre côté , de la série hypothétique (a) l’on, tire

# sin« = aA-4-ffA*4-(7 — f **) A 3 ,

cos U= l — {.a*A* — A 3 ;

si dbnc l’on substitua- ces- valeurs dans l’équation (3), et qu’on ordonne relativement à A, il tiendra, en* comparant les tenues semblables, * • ‘

<* = cosF, 6 = — jcotNsin’F, y = j sin* P cos P,

: « ( 15 ) et définitivement ’ ' •

( 4 ) u = A cos P — ÿ A* sin* P cot N -j A* sin* P cos P.

Telle est la formule qui sert de fondement à la méthode de M. Littrow; et d’après laquelle *

(5) H=( 9 o a — N-—A)-|-3Asin*ï P+-î A‘sin i"sin*PcotN

— ^ A’sip , i H sùi‘PcosP,

ou pour abréger, , .

(6) H=(go° — N — A)+*>

en représentant par x tous les termes en P.

Maintenant, si l’on forme les différenc.es

F — P = J'P', P"— P = /P", P'"— P = <f F", etc. ,

N'— Nss/jy, N*— N=J'N", N'"— Nss/B* etc.,

et qu’on désigne par J'*', fx\ fx"',.. les différens accroissemens que reçoit x lorsque P devient successivement P', P*, P'"..., on aura évidemment • •

H=9o° — (N-f-«AN') A-f-jc-f-/#', .

11=90° — (N+cfN") — A -f-x-f- cf*",

et par conséquent la moyenne de toutes ces valeurs, en la représentant par H», sera, £ étant toujours le signe d’une somme,

11 n’est pas moins évident que la relation (6) donne

Ma», por ce qui précède, ; >

(7) x=aA8in*iP-t-± A , sin*PçotN-—$A J sin- , Pco3P$

el puisque par le théorème de Taylor on a généralement, lorsque x est considéré comme une fonction de P et de N,

^-S^p+S*?+»>+«tc-

l’équation ( 7 ) donnera, par des différentiations successives,

^ = AsinP+ï A*sin aPcotN =:Q,

cir

~ == A cos P + A* cos aPcotN..... — R»

rfP ' •* <b

3n • û ÆTr**v: ’

Ainsi, en exprimant JT en secondes de temps, et J'N en secondes de degré, et faisant attention que J'N est toujours beaucoup plus petit que îôJ'P, la valeur de J'x sera de cette forme

e rx=i5Q.jp+R- 35 ‘"J>- +T.^ *

on aura pareillement # •

. <fx'= i5Q. J'P' 4 -R.^j^£^ 4 -T.J'N',

puisque les coefficiens différentiels Q , R, T sont cpnstans et se rapportent à l’époque intermédiaire des observations. Si donc la somme algébrique des J'x et des J'N. . . est, comme à l’ordinaire, exprimée par le symbole 2 J'x, 2 J'N , et que x„ soit la valeur moyenne

x'+ J*4-- • . (j + ■tj' ) + (j -f- Jx* ) -f- (x+Ij*) ele.

on aura

x„ê=x +2 — =x+-^Q . 2JT+- . s 2^-4. - .2<fN.

Mais cette formule est susceptible de simplification dans le cas

particulier où l’angle horaire P est précisément le milieu entre tous

peux qui ont été observés, c’est-à-dire, lorsque P:

car alors 2 — est nécessairement nulle, ou, ce qui est de même,

^Q.2<fP=o; et de plus, le terme 2/N peut être négligé dans

la même circonstance. On a donc seulement, en rejetant les termes supérieurs au 4* ordre,

(y) x m =X + (sin A cos P + sin* A cos aPcot N). 2 —"J

Enfin, si N» désigne la distance zénitale moyenne observée et corrigée de la réfraction, auquel cas

N + <tN\

on aura pour la latitude moyenne cherchée ,

Lorsque l’étoile est très près du méridien, la variation <fN est • insensible; ainsi, en^omptant les angles horaires <fP à partir du méridien même , ce q^ii suppose P=o, on a %;=o et

(11) x. = (sinA + sin*AcotN).2^U^.

Je pense qu’en modifiant de la sorte la méthode de calcul de M. Littrow, clic acquiert beaucoup de simplicité, et qu’en ayant égard aux considérations de la p. 588 du T. IUr de l’Astronomie de Dclambre, elle est susceptible de toute la précision désirable. Néanmoins, les passages au méridien doivent procurer des résultats plus certains et moins dépendons de l’erreur commise sur l’angle horaire moyen P, par suite de la lenteur de la marche de l’étoile. C’est ce que prouve l’équation différentielle dx = A sin P . dP, déduite de la formule (7), et dans laquelle c/P exprime l’erreur de l’angle horaire.