MM

bien encore quand

OM

est inférieur à Terreur relative qu on tolère sur z.

2° Ordre des racines. — Ces considérations conduisent à ranger les racines d'une équation suivant Tordre de grandeur de leurs modules, sauf à laisser arbitraire Tordre des racines qui ont même module. Nous choisirons Tordre décroissant. Les racines et leurs modules seront représentés respectivement par des lettres grecques et par les lettres romaines correspondantes .

3° Racines séparées. — Je dirai que deux racines consécutives sont séparées quand la deuxième sera négligeable devant la première.

4° Résolution approximative. — Si un nombre substitué à Tinconnue dans le premier membre d'une équation algébrique donne un résidu négligeable devant le terme maximum {en module), je dirai que Téquation est satisfaite à l'approximation considérée.

2. Idée de la méthode. — Imaginons une équation du quatrième degré et soient^ pour fixer les idées, 4, 3, 2 et â les modules de ses racines. L'équation aux puissances fx des racines aura pour solutions quatre nombres a, p, y> ^ dont les

modules sont

On prendra fx assez grand pour séparer les racines, c'est-à-dire pour rendre S

et Y négligeables devant p, et p devant a. Le nombre [i dépend de Tapproxima-

tion que Ton veut apporter au calcul ,

Soit

x^ -h Ax' -+- Ba:« H- Cor + D =

l'équation aux puissances ^jl des racines, on aura :

— A = a-hP-i-Y-+-5 =a, à Tapproximation du calcul,

C = «^(y -+- 8) -+- . . . = a?(Y -H 8), D = aM>

d'où l'on déduit, à Tapproximation demandée,

« = — A, p = -irÂ' ^"*"^~nF' ^ F'

a, p, Yï 5 sont donc donnés par les équations

a? + A = 0, Ax + B = 0, Bar^ -h Cj; -^ D = ;

ou encore par les équations

ar* -h Aa-' = 0, Aar' + Bx« = 0, Ba?^ 4- Cx -h D = 0,

dont les premiers membres sont trois fragments du premier membre de Téquation qui a pour racines a, p, y> ^- ^^ ces racines on déduit facilement celles de Téquation proposée.

11 serait malaisé de déterminer a priori le nombre [i et de former d'un coup réqualion aux puissances \i des racines. Les convenances de la pratique conduisent à procéder ainsi :

On forme Téquation aux carrés changés de signes des racines de Téquation proposée : c'est la première transformée; on forme la transformée de la nouvelle équation, c'est la deuxième transformée. On continue ainsi jusqu'à la n**^* transformée qui a pour racines les puissances jx = 2" de celles de la proposée, le nombre n étant assez grand pour séparer les racines dont les modules sont différents. L'idée de séparer ainsi les racines est due au professeur GrâiTe de Zurich (1837), pour le cas où l'équation a ses racines réelles et distinctes. Mais elle s'applique aussi bien aux équations quelconques, même à coefTicients imaginaires. Avant d'aborder le théorème fondamental qui préside à la fragmentation de l'équation et remplace à lui seul les théories compliquées d'Encke, examinons quel effort exige cette fragmentation.

3 Nombre des transformôes nécessaires pour séparer deux racines consécutives a et p. — Ce nombre ne dépend évidemment que du rapport des racines et de la précision qu'on veut apporter au calcul. Je considère la transformée aux puissances \k des racines de la proposée. Kous voulons qu'elle sépare les racines

a et p, c'est-à-dire que ^ soit négligeable devant a»^, ou que — soit plus petit

que l'erreur relative e qu'on tolère sur la racine a. On en déduit

ou

fxlog y>log-^

log -r = X, yL = 2«, log — = k\

8 E. CARVALLO

Je pose

n sera le numéro d'ordre de la transformation cherchée, k est grossièrement le nombre de chiffres exacts qu'on demande à la racine. L'inégalité précédente devient

d'où l'on déduit

log 2 . log2

Ainsi la limite inférieure de n est la somme de deux nombres; le premier est fonction du nombre k des chiffres exacts demandés à la racine a, l'autre dépend de X, et par suite du rapport des racines à séparer. Voici deux Tables donnant une suite de valeurs numériques de ces deux nombres :

Tablb I. Table IL

log k

log 2

COIOg A.

log 2

Remarques pratiques, — Il résulte de la formule (A) et de ces deux Tables, les conséquences suivantes :

Pour séparer deux racines décuples l'une de l'autre, il faut deux à trois transformées suivant que l'approximation demandée est de 4 à 8 chiffres exacts. Si une

racine surpasse 10 fois l'autre, le nombre des transformées n'en peut être que

a diminué. Si le rapport -^ est compris entre 1 et 10, le nombre d'opérations est

augmenté des nombres de la deuxième colonne de la Table IL Ainsi :

Pour séparer 2 racines dont le rapport est 1,5, il faut. . . . 2tf»»9^5 Pour faire le calcul avec 5 chiffres exacts, il faut 2'»'an8f,3

Total .... 5 transformées

Ainsi la cinquième transformée, c'est-à-dire celle qui donne les valeurs de x^^ séparera, parmi les racines de la proposée, celles dont les modules sont au moins dans le rapport 1,5. On voit aussi que le nombre des transformées nécessaires augmente rapidement quand le rapport — se rapproche de \, Pour — = 1, il est infini. Il ne serait guère raisonnable de faire plus d'une dizaine de transfor-

mées, c'est-à-dire de séparer des racines telles que le module de la plus grande

dépassât celui de la plus petite de moins de 77^^ de leur valeur; mieux vaut

considérer ces modules comme égaux dans une première approximation. Dès lors, il n'y a pas lieu en général de porter une très grande précision au calcul des transformées successives. On y trouvera cet énorme avantage de pouvoir exécuter toutes les opérations avec la règle à calcul ; en évitant ainsi l'usage des tables de logarithmes, le calculateur aura très rapidement séparé les racines qui peuvent l'être avec cette approximation.

4. Théorème fondamental. — Pour que les racines consécutives a^ et oip^i du

polynôme

f[x) = a?"» -h A,ar"»-> 4- -h A^»""^

soient séparées^ il faut et il suffit que

( — A^ ) *^*^ négligeable devant ( ^ \ A,, / \ h^t i

pour toutes les valeurs de k et de l. Le polynôme f{x) se sépare alors en deux fragments. Le premier^ obtenu en négligeant les termes qui suivent A^,, donne les p premières racines. Le second fragm&nt^ obtenu en négligeant les termes qui précèdent A^, donne les m — p dernières racines,

4° Je suppose a^^i négligeable devant ap.

Le coefOcient A^ égale la somme des produits php des racines. Le premier de ces produits est ajas...»^. Un autre produit s'obtient en remplaçant au moins une des p premières racines par une des suivantes qui sont négligeables devant les premières. Ce nouveau produit est donc négligeable devant le premier, et l'on a, à l'approximation du calcul,

^p-hk a pour premier terme ajaj. . .a^,. . .a^^^ dont le module est

Les autres termes sont du même ordre de grandeur, ou d'ordre plus petit.

Le terme Ap^.* ne peut donc pas dépasser l'ordre de a,a2. . .apn^^i. . .r/^,^A, ni

^ dépasser l'ordre de a^^i . . . a^^^^, lequel est au plus l'ordre de {dj^if,

(A fc \ * / A \ '

^ j est au plus de l'ordre de a^^.,. De même ( ^ ) est au

moins de l'ordre de ap. Comme ap^i est supposé négligeable devant ap, j. X

( ^^ J est négligeable devant i .^ ) à la môme approximation.

2® La réciproque de cette proposition est fondamentale.

Pour la démontrer, je considère, non plus une équation algébrique do

iO K. CAKVALLO

degré m, mais Téqualion plus générale, à coefficients réels ou imaginaires,

(1) = f{x) = '.• + A^^/a:'"-^' ••• H- Ayar»"--^ ••. 4- A^aX*""^-*. . . ,

qui peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens. Je suppose que Tinégalilé

soit satisfaite pour toutes les valeurs de k et de /. Soit K la plus grande valeur du premier membre, L la plus petite valeur du second. On a par hypothèse K < L. Je vais chercher une condition précise qui assure la séparation des racines de réquation (1) en deux groupes et trouver des limites à ces deux groupes.

Je donne à x une valeur dont le module est compris entre K et L. Je peux

représenter ce module par

mod. X = nK= —r L, d*oii K = — r L,

n nn

n et II' étant des nombres plus grands que i. Pour cetle valeur de a:, je compare le

terme ApX'""^ à ceux qui suivent et à ceux qui précèdent. Il vient successivement

(3) mod. "+*•„,, = mod. ^ x x"* < K* X (nK)-* ou ( - ) .

La formule (3) montre que les modules des termes qui suivent kj^:^"^

décroissent plus vite que ceux d'une progression géométrique de raison — Leur

If'

somme a un module inférieur à

mod. A„ar"*-'M h — r H ) = mod. A^"'-''X 7-

De même, d'après la formule (4), la somme des termes qui précèdent A^a?"'"^ est inférieure à

(5) mod. A«a:"'-^' X —,

Ainsi le module S de la somme des termes différents de A^;r"'~'' satisfait à

rinégalité

S<mod. A«ar»"-''/^ --+--; -V

On sera certain que S est inférieur à mod. ApX*""'', si l'on pose

d'où

«>3, n'>3, K = -!-yL<-i-L.

nn 9

Pour la valeur de x considérée, le terme A,a'*"~'' ne peut pas se réduire avec

la somme des autres, puisque cette somme a un module inférieur' à celui de

Apar"'"^. L'équation n'est pas satisfaite.

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS il

En résumé^ si 3K<;— » les racines de l'équation (1) se partagent en deux

groupes; les unes ont leur module inférieur à 3K; pour les autres^ le module est

supérieur a — *

Maintenant, je suppose de plus K négligeable devant L, a l'approximation s;

c'est-à-dire K < eL, d'où Ton déduit 3K < 9e • — . Le premier groupe de

racines sera séparé du second, à Tapproximation 9e. C. Q. F. D.

3® Pour passer à la troisième partie du théorème, supposons, pour fixer les

idées, qu'on ait K = rj^^- Toute racine du groupe inférieur à 3K est plus petite

L(*) que 77^' D'après la formule (5), elle rend la somme des termes qui précèdent

A^"»~^* plus petite que ^ et même, on peut le voir, plus petite que ^ •

Si Ton néglige ces termes, on aura des valeurs approchées des racines inférieures

à 3K qui satisferont à Téquation proposée, avec l'approximation de -TTrrrp. i puisque

A x"* — ^ le résidu sera plus petit que | •

De môme, si Ton néglige les termes qui suivent A^r"*"'', on a, pour les

racines supérieures à — » des valeurs approchées qui satisfont à l'équation à

l'approximation de rrr^-

Le théorème qu'on vient d'établir conduit à la méthode suivante.

5. Méthode pour la résolution numérique complète d*une équation algébrique quelconque. — On forme le nombre de transformées nécessaire pour séparer les racines qui sont distinctes à l'approximation du calcul. Dès lors l'équation se sépare en fragments tels que chacun d'eux donne les racines d'égal module. La détermination de ces fragments résulte du théorème fondamental. La résolution de chaque équation partielle pourra être terminée comme il suit :

1° Supposons d'abord les coefficients réels, et imaginons qu'on ait divisé les racines par leur module commun, de façon à ramener ce module à l'unité. L'équation ne pourra plus avoir comme racines réelles que ± i dont on se débarrassera s'il y a lieu ; quant à ses racines imaginaires, elles seront conjuguées deux à deux, et par suite inverses l'une de l'autre. L'équation pourra donc être traitée par la méthode des équations réciproques. L'équation résolvante aura toutes ses racines réelles et pourra être résolue par une nouvelle application de la méthode.

2"* Supposons que l'équation partielle ait des coefficients imaginaires. On

transforme, comme dans le premier cas, l'équation de façon que ses racines aient

pour module l'unité. Les affixes des racines sont alors disposées d'une façon

inconnue sur le cercle de rayon 1 qui a pour centre l'origine. Il suffit donc de faire

(*) On peut même assigner à ce groupe la limite -— - .

12 E. CARVALLO

avec M. Goursat, une substitution linéaire qui transforme ce cercle en Taxe des

quantités réelles, pour ramener toutes les racines à être réelles. On emploiera

avantageusement la transformation

i -j- îz X — 16

= X = e^\ d'où z = —i = tg -— .

i — iz ar-f-12

L'équation en z a toutes ses racines réelles et peut être résolue par une nouvelle application de la méthode. Elle fait connaître les valeurs de l'argument 6 de l'inconnue x.

6. Formation de la transformée aux carrés changés de slones des racines. —

Soit l'équation

(1) = f{x) = a?'« -+- A^.ia?"»-» -+- A^^aa?"-» + • . . 4- Ajjr+Ao = ^(x«) + x^{x^), les polynômes cp [x^) = Aq H- A^r' -f- • ■ • ,

x^{x^) = Aïo:-!- AaX^ . . . , représentant la somme des termes de degré pair et la somme des termes de degré impair. Je pose

et j'élimine x entre les équations (1) et (2). Pour cela, je remplace dans l'équation (1) ar" par — y. J'obtiens

Puis, de cette équation, je tire la valeur de x que je porte dans l'équation (2). Il vient, après avoir chassé les dénominateurs.

Le système des équations (3), (4) est équivalent au système (1), (2). L'équation (4) est de degré m, comme l'équation (1), et donnera m racines. Connaissant l'une d'elles, on pourra tirer de l'équation (3) la valeur correspondante de x. Cette observation est inutile quand on sait que la valeur de x est réelle et positive, car il suffît alors d'extraire la racine carrée de — y; mais elle devient précieuse quand on ignore la nature des solutions de l'équation donnée. Elle lève l'hésitation qui provient des deux racines carrées de — y.

Quelle est maintenant la loi de formation des termes de l'équation (4) ?

Cherchons par exemple les termes en y^^. L'un d'eux est le carré du terme de degré p dans «p( — y), lequel répond au terme du degré 2/? dans <p(a:').

Ce terme est donc Afpj/^^.

Dans le développement du carré de ?(— y), on trouve aussi les doubles

produits des termes équidistants de A^py''. Les termes ainsi accouplés étant

aff'ectés du même signe, leur produit a le signe +. On aura donc dans l'équation

fA) les termes

Dans le développement de t/»J/*( — y), les termes de degré 2/? proviennent des termes en j/'^* de 'V'C— J/). Or ceux-ci sont les doubles produits des termes y^-^ et j/'', y^^ et y'^*,... de ^{ — y). Comme les termes de ^(— y) sont affectés alternativement de signes contraires, les doubles produits sont

afiectés du signe — . De plus, le terme en y^ de ^{ — y) répond au terme en aj8jH-i (Je ^(^^y sqi^ coefficient est donc A^j^i. D'après cela, les termes de degré 2p dans le développement de y4''(— y) sont

— SAjp^iAîp^tî/''' — 2Aîp 3A2p4.3y*'' . . .

J*ai considéré, dans Téquation (4), les termes d'un degré pair 2/>. En considérant de même les termes d'un degré impair, on trouve la même loi, savoir :

Bègle. — Le coefficient d'un terme quelconque de la transformée égale le carré du coefficient correspondant de l'équation donnée, moins le double produit des deux coefficients qui le comprennent^ plus le double produit des coefj^cients qui comprennent ceux-ciy et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un des termes extrêmes de l'équation,