Application. — Soit Téquation
a:' — 7a? H- 7 = 0, proposée par Lagrange (*).
Voici, sans omettre un seul chiff're, la reproduction fidèle du calcul des transformées successives :
ar* a?* x^ x^
{*) Traité de la résolution des équations numériques^ chap. IV.
(**) A cause des élévations au carré répétées, les coefficients augmentent de façon à contenir un
ki E. CARVALLO
Exécuté avec la règle à calcul (*), il est disposé en Table à double entrée.
Les en- tête 2", 2*, 2^ ...,qui aiTectent les lignes, indiquent que ces lignes présentent les coefTicients de Téquation où l'inconnue est respectivement a?, — a:*, — a?*, ... Quant aux puissances de Tinconnue affectées par les divers coefficients d'une môme ligne, elles sont marquées par les en-tête de colonnes .t', ar', a?', x^. Ainsi la lecture de la dernière ligne 2* nous apprend que Téquation
a pour racines les valeurs de — ar* ou — a?**.
On voit qu'à partir de cette transformée, chaque ligne se déduirait de la précédente en élevant au carré les nombres qu'elle contient, les doubles produits se trouvant négligeables devant ces carrés. Nous dirons que chacun des coefficients est devenu régulier. Sans doute on est arrivé à ce point où toutes les racines sont séparées.
Un simple coup d'œil jeté sur les caractéristiques montre que les conditions du théorème fondamental sont satisfaites ; on a donc, en désignant par a, 6, c les valeurs absolues des racines,
a«* = 30.972, 64 log a = 30,988, log a = 0,48418, a = 3,049,
(a6)«* = 45.3988, 64 log ab = 45,601, log b = 0,22833, b = i,692,
(abcY'^ = 54.1230, 64 log abc = 64,090, log c = 0,13259, c = 1,357.
On reconnaît immédiatement les signes des racines, soit en considérant leur somme et leur produit, soit en mettant l'équation proposée sous la forme
On a ainsi pour les racines les valeurs
8. La rapidité des calculs est, on le voit, surprenante, surtout si Ton observe que l'approximation obtenue est généralement suffisante pour les besoins de la Physique et de Tart de l'ingénieur. On peut cependant encore les abréger en posant X = y ^T, puis, divisant par 7 les deux membres de l'équation en j/, dans le but d'amener les deux coefficients extrêmes à avoir pour valeur l'unité. De cette façon on évite la difficulté de former les carrés des termes extrêmes et les doubles produits de ces termes par les autres termes. Ainsi, dans l'équation du troisième degré, pour déduire chaque transformée de la précédente, on vient de voir qu'il y avait quatre opérations à faire avec la règle à calcul, les carrés des trois derniers termes et le double produit du dernier terme par l'antépénultième.
nombre de chiffres trop grand pour qu'on songe à les écrire. Ainsi le dernier nombre de la ligne 2* s'écrirait en 55 chiffres. Pour obvier à cet inconvénient, j'écris en caractères gras, et en ayant des chiffres connus du nombre, la caractéristique de son logarithme, ou mieux le rang de son premier chiffre à gauche relativement au chiffk*e des unités affecté du rang 0.
(*) Le calcul s'effectuerait commodément aussi avec la table de multiplication de Grelle, qui donne les produits des nombres de trois chiffres par les nombres de trois chiffres.
Avec la simplification que je viens d'indiquer, les carrés des coefficients de x* et x^ se feront seuls avec la règle à calcul, les résultats des deux dernières opérations seront immédiatement connus. Enfin^ dans ce cas, comme il n'y a que des carrés à former, on pourra avantageusement remplacer la règle à calcul par une Table des carrés des nombres. Ces diverses simplifications réduisent le travail de moitié environ. Si lapproximation obtenue ne suffisait pas, on trouverait rapidement des valeurs beaucoup plus approchées des racines par une méthode analogue à celle de Newton, mais qui, étant basée sur notre théorème fondamental, présente, sur celle de Newton, l'avantage d'être toujours et immédiatement applicable.
§ II. — Pratique de la méthode.
9. Caractères auxquels on reconnaît la nature des racines. — Me bornant au cas où les coefficients sont réels, j'examinerai trois hypothèses sur la nature des racines et les caractères qui en résultent pour les transformées successives :
1® Les racines sont toutes réelles. — Alors les transformées, à partir de 2*, ont toutes les racines négatives ; par suite les coefficients sont positifs. C'est le cas de l'exemple (n° 7). Si les valeurs absolues de toutes ces racines sont de plus distinctes, tous les coefficients deviendront réguliers.
2" L'équation a une racine multiple réelle séparée des autres. — Soit otp = «p^i une racine double. Les coefficients Ap i et Ap j i sont réguliers ; quant au coefficient Ap, il a pour valeur principale
«1*2 . . . *p-i(*p "H *p-f-i) = ^a\a% . . . flp iflp.
Je passe au calcul du terme correspondant de la transformée suivante. J'ai d'abord le carré du coefficient précédent
(1) -hAa\al . . . al ial\
puis, avec le signe — , le double produit des deux termes qui le comprennent
(2) — 2a,aî . . . ap iai«2 . . . Op-iOpOp.^, = — 2a?ai . . . aj^ioj.
Les autres doubles produits sont négligeables. La somme algébrique des
termes (i) et (2) est
En résumé, les termes Ap, et Ap^.! sont réguliers. Le coefficient Ap, sans être régulier à proprement parler, n'est pas non plus entièrement irrégulier, le carré de ce coefficient subissant une correction de double produit égale à la moitié de ce carré, égale aussi au résultat de la correction.
La même analyse s'applique à une racine d'un degré de multiplicité quelconque.
3° Considérons enfin uji couple de racines imaginaires. — Soient ap et ap^i ces racines de module Op et d'argument 0. Je les suppose séparées des autres : les coefficients Ap i et Ap^.i sont réguliers; de plus, on a
Ap = fl^aj . . . «p t(«p -+- «p-i-i) = 2aia2 . . . Op-iûp cos 0.
16 E. CARVALLO
Pour le terme correspondant de la transformée, on aura
U\al . . . aj cos« )
> = 2a;aj.. .aJ cos 26.
— 2afa;...aJ \
Les angles 0, 20, 2*0, . . . varient rapidement, de façon à passer souvent d'un quadrant à un autre. Aussi le terme Ap change-t-il souvent de signe. C'est là un trait caractéristique des racines imaginaires.
Les relations précédentes, qui se vériûent exactement à partir de la transformée qui sépare les racines, sont seulement approchées, mais de plus en plus à mesure qu'on approche de cette transformée finale. Gela dispense de calculer les transformées suivantes pour constater que les caractères en question persistent.
Je vais maintenant donner quelques exemples.
10. Premier exemple. — A partir de la première transformée, Téquation a une racine double.
Soit l'équation x» — x» — 2a: -f- 2 = 0.
Le calcul, disposé comme dans le premier exemple, est fait également avec la règle à calcul.
/v»3 .y»2 oMl /mO
•«/. vU m w/. wv.
2» -hl 4-5.1313 -h 9.429 -4-9.4295
L'ensemble des transformées présente le caractère des racines toutes réelles. La transformée 2^ montre que le module de la dernière racine est c = 1 ; de plus, le coefficient de x^ est sensiblement égal à la correction du double produit; donc les
deux premières racines sont égales. Leur valeur commune est donnée par l'une des deux relations
Tautre servant de vérification. On en déduit
a" = 4.6565, log a = 0,1505,
32 1oga = 4.8172, a = 1,414.
Vérification. — Pour fixer les signes, on substitue dans Téquation mise sous
la forme
ar(a?«— 2) = ar* — 2,
laquelle montre clairement que les racines sont
11. Deuxième exemple. — Je considère Téquation plus didlcile proposée par
Fourier (*)
ar' — 2ar'^ — 3x8 |- 43:» - 53. 4- 6 = 0.
J'épargne au lecteur le calcul des cinq premières transformées ; il reste :
rinl l** 1P*** Of*^ 1*8 f* 1f*^ 1*^
U' a w « tÂf ( M< « M/ ■ •/& . *Mf m vu .
2* -f- 4.494 +7.446 —9.247 -hll. 1534 h-1 1.886 +11.674 -f-12.2822
(*) Traité de la résolution des équations numériques, page 111.
18 E. CARVALLO
En regardant les signes des transformées successives, on voit que les deux premières racines sont réelles, le couple suivant imaginaire ; la racine suivante réelle et le dernier couple imaginaire. Les cinq premiers termes de la transformée 2® donnent les modules séparés des quatre premières racines ; les derniers, à partir de x% forment une équation du troisième degré. J'y ai ramené à Tunité le coefficient du premier terme x^ ; puis, pour séparer la racine réelle des deux autres, j'ai poussé jusqu'à la transformée 2*. On déduit de là, en désignant par a, p, ^ les racines réelles, par rc*', «e"* les racines imaginaires,
(*) log a«* = -f- 48,7416 log c*" = 41,4079
\ log [abf' = -{- 30,7007 log 2(cs)«« cos 256to = 45,6435
^ ^^ log 2[abrY^ cos 646 = — 37,8363 log (ca-^)*"'* = 49,6344
log (a^r«)«* = 4-44,8949
Voici d'abord le calcul des racines réelles déduit des égalités (4) :
/ 64 log a = 48,7416 log a = 0,2922 a = 4,960
{'2) ' 64 log b = 44,9594 log b = 0,1869 b = 4,538
' 256 log c = 44,4079 log c = 0,0454 c = 4,409
Pour déterminer les signes de cos racines, je dois substituer les valeurs obtenues dans réquation proposée mise sous la forme (n° 6)
x{x^ — 2x* - 3ar*— 5) 4- 4x* 4- 6 = 0.
D'après cela, y est visiblement positif. De plus, le produit des trois racines étant négatif, une des racines a ou p est positive et l'autre négative ; c'est visiblement la première qui est négative. On a donc finalement
Pour les modules des deux couples imaginaires, on déduit des égalités (4)
./ log (r*)«* = 44,4942 log (.¥»)«'» = 8,6235
(4) ; logr = 0,4094 log* =0,0168
Veut-on les arguments ? On peut obtenir d'abord cos 640 et cos 256 w ainsi : logr«* = 7,0974 log 5^-« = 4,3147
log 2r«* = -h 7,3984 log 25^*^ = 4- 4,6127
log 2r«* cos 640 = — 7,4356 log 2*«" cos 256to = + 4,2356
' log cos 640 = — 0,7375 log cos 256co = 4- 4 ,6229
640 = 56°,4 4- 480° 4- A. 360° 256cd = 65%2 4- /v'.360''
Pour lever l'indécision qui résulte des élévations au carré répétées, on peut
C) Conform^'inent à un usage des astronomes, je place le signe du nombre deyant son logarithme. 11 ne peut pas en résulter de confusion, puisque le signe du logarithme porte toujours sur la caractéristique seule.
remonter les transformées successives jusqu'à Téquation proposée en écrivant chaque équation sous la forme (n° 6)
et y remplaçant x* par la dernière valeur obtenue. Dans l'exemple actuel, où le nombre des couples imaginaires ne dépasse pas deux, on peut encore s'adresser aux relations entre les coefficients et les racines, savoir
/ a H- p -f. Y "+" 2r cos 4- 2^ COS w =0,
f — H- "S" H h 2r-* cos G -H 2*-* cos w = -^ - .
On en tirerait les valeurs de et de ^.
On obtient 7) =r 59°,95, t.i = 72°,87.
L'équation proposée est complètement résolue parles formules (3), (4) et (7).
