J'ai maintenant à résoudre l'équation

seulement celle des valeurs de s que je cherche est voisine de 0,001 ; je suis conduit à multiplier par 1000 les racines de Téquation, pour que z soit évalué en unités du premier chifTre inconnu de la racine. Il vient

Si je néglige les deux premiers termes, je connaîtrai z avec trois chiffres ; car ces termes altèrent seulement les cinq derniers chiffres du terme constant. J'ai

ainsi

= -4- 1,081 (Règle à calcul) ;

20907 d'où Ton déduit pour x la valeur

Si cette approximation ne suffit pas, on négligera seulement le premier terme. On pourrait alors connaître z avec sept ou huit chiffres exacts, en résolvant par la méthode de Griiffe Téquation du second degré obtenue. On s'aiderait avantageusement de la Table de multiplication de Crelle.

Mais il est encore plus rapide de remplacer z par sa valeur approchée dans le terme en 2» ou bien encore de chercher la transformée en w = 2 — 1,08 de l'équation (3) en négligeant le premier terme, enfin de résoudre Téquation en u, limitée aux deux derniers termes. Dans cette deuxième manière de procéder, la méthode coïncide ici avec celle de Newton.

Voici ce nouveau calcul, en se bornant à chercher trois chiffres pour u.

Les deux membres de l'équation (3) ont été divisés par 10\ Les calculs sont faits par tranches de trois chiffres (système à base 1000) avec les Tables de Crelle :

RÉSOLUTION MJMÉRIOUE DKS ÉQUATIONS '23

Aq.

— 4.915 = Bo De là on déduit pour w, évalué en unités du premier chiffre cherché,

« = -^^^ = 2,66 (Règle à calcul).

On obtient ainsi pour x

Il importe de bien remarquer que tout ceci n'est pas un résumé des calculs, obtenu en supprimant les opérations fastidieuses : c'est la reproduction fidèle de mon calcul même, sans omettre un seul chiffre.

17. Calcal des inverses des racines. — Simplification. — L*équation aux inverses des racines admet les mêmes coefficients que l'équation donnée, de sorte que la transformée finale permet aussi bien de calculer les inverses des racines que ces racines elles-mômes. Quand le terme constant de Téquation est ramené à l'unité, rinverse de la plus petite racine de la dernière transformée est égal au coefficient du terme en x. Celte remarque nous sera particulièrement utile dans le paragraphe suivant pour la résolution des équations transcendantes. Il est, dès lors, intéressant de voir comment il faut modifier notre méthode d'approximation pour calculer la correction à porter, non plus à la racine, mais à son inverse. Soit donc a la valeur approchée de l'inverse d'une des racines de l'équation

(1 ) Ao + A,x -+- k.x^ -+-••• -h A,„,a:"' "« -+- A„.a-"' = 0.

Je pose

l'équation (1) devient

(2) AoS*" -+- AiÇ"»-» 4- ■ • • -f- A,„,Ç -f- A,„ = 0.

Pour calculer la correction z, je remplace Ç par sa valeur a 4- s dans l'équation (2). Le développement de l'équation en z s'obtient par la règle pratique (n'* 45). 11 n'y aura donc d'autre changement que celui qui consiste à renverser l'ordre du calcul, c'est-à-dire à commencer par le terme constant de l'équation (1), et ce changement lui-même disparaît si l'on a eu soin d'ordonner l'équation (1), comme je l'ai fait, par rapport aux puissances croissantes de x, au lieu de l'ordonner

24 E. CARVALLO

par rapport aux puissances décroissantes. Il importe d'ajouter que, la racine que Ton cherche de Téquation en z étant voisine de 0, ce seront les derniers termes de Téquation en z qui influeront particulièrement sur le calcul de cette racine. On pourra donc s'arrêter dans le sens vertical du calcul précédent quand on arrivera au coefficient d'une puissance de s, telle que le terme correspondant de Téqualion soit négligeable, ce qu'on apercevra rapidement si l'on a soin d'exprimer z en unités du premier chifl're inconnu de la racine 5.

§ IV.— Extension de la méthode à la résolution numérique complète d'une équation transcendante dont le premier membre est une fonction holomorphe de la variable.

18. Définition du problème. — Une équation transcendante est susceptible d'une infinité de racines. Ainsi l'équation

e^ = p(cos <p 4- 1 sin o)

a des racines en nombre infini données par la formule

X = log p -f- i (<p -H SA-tt)

él obtenues en attribuant à k toutes les valeurs entières de — oo à -f-oc.

Il est clair que la résolution numérique ne peut pas embrasser cette infinité de solutions dont les modules dépassent toute limite, et l'on ne conçoit guère que la Science appliquée puisse poser un pareil problème . Nous dirons donc que la résolution numérique complète consiste à trouver toutes les racines comprises dans un cercle donné aussi grand qu'on voudra, et avec telle approximation qu'on voudra.

19. Théorie. — Soit f{x) une fonction que je suppose d'abord holomorphe dans tout le plan. On peut la développer suivant la formule de Taylor

(1) f{x) = f{0) + xr{0) + -^r{0) + - + ^f''^Q) + K.

Je suppose f{0) yf ; s'il en était autrement, je considérerais la fonction

^-^ 1 qui serait holomorphe, comme la première.

Dès lors, on peut trouver un rang n pour lequel R sera négligeable devant /1(0) pour toutes les valeurs de x comprises dans le cercle donné.

Si donc on néglige R, on aura des racines satisfaisant à l'équation proposée à l'approximation demandée.

L'équation, ainsi limitée au terme de degré n, pourra être résolue par la méthode de Grafîe. Les calculs se font ici en commençant parles termes des degrés les plus faibles. On s'arrêtera à la première racine qui se trouvera sortir du cercle donné.

Ce qu'on vient de dire s'applique évidemment au cas où f{x) n'est holomorphe que dans un certain cercle, pourvu qu'on ne cherche que des racines comprises dans ce cercle .

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS i>5

20. Application. — Galcal de ic. — Soit à trouver, à Tapproximation de la règle

à calcul, la racine comprise entre et — de Téquation

(1) — =sinx.

A Tavance on sait qu'on doit trouver x = —- Cet exemple servira donc, en

quelque sorte, de vérification à la théorie ; il montre aussi comment la méthode de

Grâffe fournit une infinité de manières de calculer le rapport de la circonférence au

diamètre. L'équation (1) s'écrit

1 x^ ar' a?'

(2^ — = X 1 cos 6jp ;

x"^ est plus petit que 1, cos Ox également ; donc, quand on opère avec la règle à calcul, le dernier terme est négligeable devant — . Je chasse le dénominateur 2 et

je fais tout passer dans le premier membre. Il vient

Je réduis les fractions en décimales et j'applique la méthode de Griiffe^ en ayaht soin de pousser aussi loin que possible un calcul nécessaire d'une colonne et de ne faire un calcul à une colonne suivante que s'il est nécessité par le calcul d'une colonne précédente. De cette façon on évite des calculs qui seraient inutiles ici, puisque l'on cherche, non pas les cinq racines de l'équation (3), mais seulement la première. Voici ce calcul :

De la dernière transformée on tire

Slogx logx

20 E. CAHVALLO

Vfh'ifîcatioti :

On le voit, le calcul se trouve plus précis que nous n'avions demandé.

21 . Caractères de supériorité de la méthode. — Application à l'Astronomie et à la Physique. — L'artifice qui consiste à ne faire un calcul à une colonne que lorsqu'il est nécessité par une colonne précédente, constitue le plus remarquable caractère de supériorité de la méthode. Il rend en effet superflue, dans la pratique, la précaution, si utile à la théorie, de fixer d'abord le nombre des termes à conserver dans la série. Parla on évite une perte de temps, un effort d'intelligence et le risque d'aller trop loin par une évaluation trop large. Mais, il y a plus. Voulons-

nous maintenant la deuxième racine it ^ de l'équation (1) ? Il n'y aura rien à

recommencer. Tous les calculs exécutés pour trouver la première racine sont nécessaires pour chercher la deuxième. Il y aura seulement à ajouter des termes aux colonnes ; peut-être des colonnes nouvelles ? Mais toujours mécaniquement et à mesure des besoins, jusqu'à ce que le coefficient de a?*, devenu régulier, fasse connaître la deuxième racine cherchée.

On prévoit aisément les importants services que doit rendre la méthode précédente en Astronomie et en Physique, oii l'on rencontre des équations transcendantes, développables en séries. En Astronomie, par exemple, on résoudrait

réquation bien connue

u — e sin u =z nt

par rapport à m, comme je viens de l'expliquer, en se bornant à la plus petite

racine.

22. Extension de la méthode d'approximation. — Supposons qu'avec la précision définitivement demandée à la racine, la série puisse être limitée au terme de degré n , L'équation s'écrira

= Ao 4- AiX -4- k^^ -+-... -f- Kn^-

A cette équation algébrique, je peux appliquer la méthode d'approximation du § III ; mais il convient ici de commencer le calcul par les premiers termes qui sont les plus importants, et par suite de calculer la correction qu'il faut porter à la valeur approchée de Y inverse de la racine. Par là on évite, comme plus haut (n** 21), la détermination a priori du rang n où il faut limiter la série ; car, dans la pratique, il suffira de s'arrêter quand on constatera que l'influence des termes suivants disparaît. Si l'on se reporte à la notation et à la disposition de calcul qui précèdent (n° 15), on voit qu'il faudra s'arrêter dans le sens horizontal quand le terme An-(-i deviendra négligeable devant le produit par a du dernier nombre obtenu (*). D'après une remarque précédente (n** 17), le calculateur peut aussi s'arrêter juste à

(*) On peut se demander ce qui arrive quand on dépasse le terme A. où il convient de s'arrêter, en supposant An+i négligeable. Au lieu de l'équation /*(» + js;) = qu'on aurait obtenue, on obUent, dans cette hypothèse, TéquaUon [z + a) {{ol + js) = 0, laquelle admet les mêmes racines que la première.

temps dans le sens vertical. De cette façon il n'exécutera que la partie strictement nécessaire des calculs.

23. Application à l'équation — = sin a?. — D'après le calcul précédent on

a, pour la valeur approchée de x,

colog X = 0,281 00,

Pour faciliter les calculs par la Table de Crelle, je remplace cette valeur par

J'obtiens le calcul suivant dont la disposition est expliquée par ce qui précède;

je cherche 9 chiffres à — :

a:°. ar*. x*. a?'.

+1 —0.2 -hf. 333 333 333 33

«>'. M^. tJb. tir ,

4- 1 . 4405 153 -h 1 . 84144618 -f- 2 . 1607 280 52 = Bg 4- 2746 4- 608

— Bo 2 = -5-* = -4.141.

Deuxième correction :

28 E. CARVALLO

On déduit de ces deux corrections, pour — >

Cette valeur doit représenter — '> si donc on la divise par 6, on doit retrouver la valeur connue de — On obtient, en effet,

Or ' tz

§ V. — Application à la Physique.

Détermination du rapport 6 = -^— des coefficients d'élasticité de Lamé.

24. Résultats de la théorie de Kirchhoff sur les vibrations d*une plaque circulaire (*)• — Les lignes nodales qui correspondent à un son quelconque de la plaque sont des cercles et des diamètres qui la divisent en portions égales. Le son fondamental répond à 2 diamètres et cercle. Dans les autres cas, on obtient des harmoniques. Soient

n le nombre des nœuds diamétraux ;

m le nombre des cercles ;

Vn.m le nombre des vibrations correspondantes à n et m

Pour calculer v au moyen de n, m et des constantes physiques de la plaque, on a la formule suivante

^*^ "'" "• '''"" tt/* V 3p(l -h e)(i + 36) '

où Ton représente par

2& répaisseur de la plaque ;

/ son rayon;

q son coefficient d'élasticité ;

p sa densité ,

= — le rapport des coefDcients d'élasticité de Lamé;

a?^m le carré de la (m-f- l)ième des racines de Téquation

(2) = (4y — i)n«(n — 1) — A,x*4-A,a:« — Aao:**-!- ...,

(*) Comptes rendus, t. XXIX, p. 753 ; 1849.

dans laquelle on a

'^" iH-e

^ ^^ 4y (n+2A:)(n4-2^+ 1 )[yî(n— i )— 2^-4-4Y/<n+/g)] — n«(n«--l )

*"" 1.2.3 ... Ac><(n+l)(n-*-2) ... (n-+-A)X(n-4-l)(n+2) ... (n-+-2A;-f-i )

25. Méthode pour la détermination de au moyen des sons rendus par une plaque (*).— L'équation (2) est de la forme F(a?, n, 6) = 0; a?'„,„i est donc une fonction de 0, et celte fonction est variable avec n et m. Je la représente par /"», m(^). On déduit de Téquation (i)

Pour les diverses valeurs de ©, <pn,m(0) peut être calculé par les formules (i), (2), (3). On en dressera une Table. L'observation du son fondamental rendu par la plaque et de Tharmonique (n, m) fait connaître 1^2,0 et r„,„,. Entrant dans la

Table avec l'argument -^^ = ^n^m{^), on en déduit 6. En observant de nou-

veaux harmoniques, on a autant de vérifications.

La résolution de Téquation (2) est^ on le voit, fondamentale dans la méthode. Je vais donner cette résolution pour 8 = 1, n = 0, en me limitant à deux racines.

26. Résolution de l'équation du problème dans le cas 0=1, n = 0. — Je pose X* = X et je ramène le premier coefficient à l'unité. Puis je remplace les coefficients par les valeurs numériques particulières au cas actuel. Enfm, j'applique la méthode de GrafTe. J'obtiens le calcul suivant pour les transformées :

Xo Y* y* Yï Y* Y8

-f-ÏÔ.8ll — 10.506 -H 11. 12

(*) Comptes rendiUt lœ, cit., et Notes de M. Hercadibr, 11 et 25 juillet, l»** août 1887 et 2 juiUet 1888.

30 E. CARVALLO

Les deux premières racines sont visiblement séparées entre elles et des autres. On en conclut

Xô'* = (xl)-' = -hî,li35 ; 8 log f-^) = -hT,055 00

(XoX,)-* - (a-Ja:? -' = h- 9, 310 ; 8 log (-^^ = 4-î),491 36

81og(-i-)'=2,ll0 00 81og(3-J.Tf) = 8,508 64 8 log (|f ) = 6,618 6i ; log (|^) = 0,827 33

27. Résaltats. — On obtient ainsi (à l'approximation du calcul) le nombre écrit en caractères gras dans le Tableau ci-dessous. Ce Tableau, tiré du Mémoire de

^nmi

Kirchhoff(*), donne les valeurs de = <pn»m(6) pour diverses valeurs de n et

les deux valeurs = — et = 1. Toutes peuvent être obtenues comme la précédente. Voici ce Tableau :

Valeurs de On,m(^) p(^^^ ^ = "S" ^' = i :

11 importe de connaître <pn,m(^) pour les valeurs de 6 intermédiaires à 0,5 et 1. Voici ce que je trouve pour le premier harmonique (n = 0, m = 1) :

Or, si Ton calcule les nombres intermédiaires par interpolation au moyen des deux extrêmes, on trouve les nombres

qui coïncident avec les précédentes à l'approximation du calcul. Celte approximation est* largement suffisante dans la question qui nous occupe. On peut donc se contenter de cette interpolation et le Tableau de Kirchhoff suffît à résoudre le problème de la détermination de par Tétude des plaques vibrantes.

(•) Loc. cit.