Troisième exemple

( I ) x' + 4,(K)2ar8 -+- i4,0i801a:* -h 20,03802a; 4- 25,07005 = 0.

Voici le calcul de la transformée 2* de cette équation :

«MV Or^v fini /Ml n/»0

vU %M* «1/ *i/ «4/ ■

Les signes ( — ) des coefficients de x^ et a?\ dans la transformée 2^ prouvent que Téqualion proposée a deux couples de racines imaginaires. De plus, l'influence des doubles produits ne manifeste aucune tendance à disparaître dans le terme en a:'. Le premier couple n'est donc pas près d'être séparé du second (n° 9). Nous devons regarder les deux couples comme ayant le même module (n° 3). Dès lors, pour résoudre Téquation proposée, je ramène d'abord le module des quatre racines à l'unité en les divisant par leur module commun r = \/25,07005 (n^* 5). J'obtiens la nouvelle équation

Appliquant la méthode des équations réciproques {n? 5), je groupe les

termes équidistants des extrêmes, je divise par y^ et je pose y h =2; il vient

pour l'équation résolvante

A une racine re^* de l'équation (1) répond la racine e'* de l'équation (2) et la

20 E. GARVALLO

racine z = e^' -h e-'» = 2 cos de Téquation (3). Or cette équation (3) a une racine double, car on a

:^rzz -1-0,799 68

f-, = On a donc, pour Targument commun des deux couples de racines,

cos = — — ^ = — 0,44712, log cos = F, 65042,

Ce n'est là, en réalité, qu'une approximation ; les racines ne sont pas rigoureusement égales ; leurs valeurs, connues a priori^ sont

— 1,001 dz 2,003v/=l, — 1,000 zh 2,000^^=n",

d'où Ton déduit pour les arguments

§ III. — Méthode d'approximation.

13. Soit ot la valeur approchée, réelle ou imaginaire, obtenue par une première application de la méthode de GraiTe pour une des racines distinctes ou non de l'équation

(1) = /•(» = Aos?»" -+- AiX»"-* -h ... H- A^.

Cette valeur sufUt, dans la plupart des cas, aux ingénieurs et aux physiciens. Mais, comme il n'en sera pas ainsi dans toutes les recherches^ il importe de donner une règle mécanique, un moyen sûr et rapide d'obtenir une valeur aussi approchée que l'on veut, sans qu'il soit nécessaire de se préoccuper de certaines conditions théoriques, comme dans la méthode de Newton, par exemple.

Je pose

(2) a; = a-hz,

il vient

On verra que cette équation est toujours très facile à résoudre, avec telle approximation que l'on veut, qu'on sait toujours à l'avance exactement quel est l'eiTort à faire, quels sont les nombres à calculer pour n'exécuter aucun calcul superflu. Mais, comme la formation de l'équation en z serait difficile par la formule (3), il importe d'abord de donner pour cette opération un procédé pratique.

14 Méthode pour obtenir le développement de l'équation = /{a + z). — Il s'agit de calculer, au moyen de a et des coefficients A de Téquation (i), les coefficients B de la formule

(4) A«-+-2) = BoZ"» 4- Bjz»»-* H hB,„,z4-B^.

Pour cela, dans la formule (4), je remplace z par sa valeur x— a tirée de (2) . Il vient

(5) f{x) = Bo(ar -«)*'* + B,(ar — «)'«-* + •.• + B^,(a; — a) 4-B^ Cette formule met en évidence les conclusions suivantes :

4® Si l'on divise f{x) par x — a, le reste représente B^ et le quotient représente Bo(a? — a)»"-' -h B^{x — »)»«-« h h B„î(a? •— a) + B^i.

2« Si Von divise ce quotient par x — a, le nouveau reste représente B«i, le nouveau quotient représente

Bo{x — «)"»-> -h B|(a? — a)»»-3 H h B„j,, et ainsi de suite.

Or la division du polynôme f{x) par x — a se fait par la règle bien connue que voici :

!• Le premier coefficient du quotient est Aq.

2<* Chaque coefficient du quotient se déduit du précédent en le multipliant par a, et ajoutant le coefficient du terme du dividende qui a même degré que ce terme précédent du quotient,

3* Le reste s'obtient en formant un terme de plus par la même règle.

Ainsi le calcul de Téquation en z se fera d'une façon uniforme ; je vais montrer par un exemple la disposition qu'il convient d'adopter dans ce calcul.

15. Application de la métbode pour la formation de f\aL-\-z) à un exemple. — Règle pratique. — Reprenons l'équation

(i) f{x) = x^ — Ix -h 7 = 0.

Nous avons obtenu la racine approchée (n° 7)

Pour rendre plus commode l'usage de la Table de multiplication de Crelle, je remplace cette valeur par — 3,05. J'applique les résultats précédents à la formation de l'équation /{a + z). J'obtiens le calcul suivant dont la disposition est expliquée par la règle pratique ci-dessous :

- 0,02 2625 = Ba

+ l-Bo

22 E. CARVALLO

Rêsulial :

f{oi-hz] = -J -9,1552 4-20,90752—0,02 2625.

Règle pratique. — Ecrire sur une première ligne les coefficients du polynôme f {x) ; laisser une ligne en blanc et la souligner. Dans la troisième ligne^ le premier coefficient cherché sera le même que dans la première ; puis, pour en calculer un coefficient quelconque, multiplier le dernier nombre obtenu à la troisième ligne par la valeur approchée de la racine (a = — 3,05) ; écrire le produit à la deuxième ligne dans la colonne suivante et ajouter les deux nombres qui se trouvent alors dans cette colonne. Souligner le dernier coefficient obtenu à la troisième ligne. On passera de même de la troisième à la cinquième ligne en négligeant le coefficient souligné, et ainsi de suite. Ces coefficients soulignés sont ceux de l'équation en z.