CHAPITRE III
Caractéristiques be l'enseignement scientifique bans les écoles secondaires
1. Vers runification bes étubes-Rôle bu Comité ôes Dix Ces mathématiques
En 1892, la "National Educational Association-' nomma une commission de dix membres, réunissant les sommités du monde professoral, pour étudier la structure des écoles secondaires, formuler les réformes à y introduire et essayer d'unifier les conditions d'entrée aux collèges.
Le Comiic des Dix constitua des sous-comités de dix membres spécialistes, qui étudièrent les diverses branches des programmes et organisèrent une enquête approfondie au sujet du caractère des études, des matièi'es et des méthodes d'enseignement des écoles secondaires. Les rapports et vœux, publiés par le Commiltee of Ten (1), constituent le document le plus important qui ait été puljlié sur la matière aux Etats-Unis ; ils ont eu une profonde influence sur son évolution.
Beaucoup de recommandations, faites alors, sont actuellement très discutées ; certaines sont vieillies, mais la plupart sont entrées dans la pratique. Les documents de la puissante
(1) Report of the Gommitlee of Teii ou secondar}- school studies willi Ihe reports of the conffîrences arranged by the Commiltee, 1S94.
association sont encore une source de référence de premier ordre en ce qui concerne l'organisation des écoles secondaires,
Nous aurons à les citer souvent au cours de l'exposé que nous ferons des méthodes d'enseignement dans les diverses branches enseignées.
Suivant les recommandations du Comité des Dix, beaucoup d'écoles commencent le cours de géométrie démonti^ée par une étude soignée et complète des propriétés de l'espace; l'espace est continu et a trois dimensions ; les figures peuvent s'}?" mouvoir sans changer de dimensions ni de forme ; les lignes droites et les plans peuvent y être déterminés par deux ou trois points respectivement ; de deux lignes droites qui se coupent, une seule peut être parallèle à une droite de l'espace. C'est ainsi que les professeurs formulent les axiomes géométriques. De ces axiomes et des définitions fondamentales de la géométrie sont déduits tous les faits à étudier. Le Comité des Dix et, après lui, les écoles, condamnent l'étude des rapports de dimensions entre grandeurs géométriques par l'intermédiaire de leur mesure numérique. Voici sous forme d'exemple leur manière de voir le théorème : '•le carré de la somme de deux droites = la somme des carrés des droites, plus deux fois le rectangle construit sur ces droites", peut être démontré, en divisant le carré de la somme en ses 4 surfaces rectangulaires ; on peut aussi déduire la démonstration du théorène algébrique (a -h b-) = a^ -f 2 ab + h\
La première méthode est purement géométrique. Aucune des notions n'est arithmétique. Les grandeurs sont dites égales quand on peut les faire coïncider ; elles sont additionnées ou soustraites géométriquement par juxtaposition et séparation ; les valeurs ne sont pas exprimées numériquement, mais comparées directement.
La seconde méthode est essentiellement arithmétique. Remplaçant les grandeurs par leurs mesures, cette méthode remplace l'égalité, l'addition et la soustraction géométriques par l'égahté, l'addition et la soustraction de nombres abstraits.
La première méthode étant pure et élémentaire ne comporte pas d'abstraction et est la mieux appropriée aux capacités des commençants. De plus, au point de vue géométrique, la
KNSKKiNK.MK.NT SKCO.N'DAIHK TKCIINIQCR 2 11
iiirllindc imiii('ri(iii(î csl stiliLih; ol arliliciellc et son li'iiilement ri^()iii(Mix, dilHcile ; ollo manque d'objectivité et de vie quoique étant en apparence [)lus simple. L'association constante des nonjhi'cs avec les ^iTandeurs ^■éométri([ues tend à oiiscui'cir la notion rondaiiicntalc des ^■fandours j^-éométi'iques et de leui" <'ontinuit(''. La mi'lliodn numéi'ique doit être enseignée comme conduisant a la mesui'e, mais, là où elle su[)plante la méthode pure, elle mancpie son but.
La liXMunéti'ie est riUnsti alion niat(''ri('ll(' du m/'canisme de la logique. Dés (pic. l'élève a ac({uis l'art de la démonstration rigoureuse, son ti-avail doit ce.sser d'être simplement réceptif. Il doit commencer à trouver des constructions et des démonsti'ations i)ar lui-même.
Tel est l'avis du (Comité des Dix.
Voici comment il caractérise la méthode à suivre.
La géométrie ne peut pas s'acquérir par la simple lecture des démonstrations d'un livre ni par un exposé oral ; il faut la compléter de travaux indépendants, attrayants et stimulants. La géométi'ie dans les écoles américaines est conçue pour développer et aviver le talent créateur. Les matériaux de la géométrie sont simples, concrets et admettent un nombre infini de combinaisons simples ou complexes. La géométrie élémentaire manque de méthode générale de démonstration. Ghacpie théorème doit être traité en soi, par un procédé différent plus ou moins de tout autre. L'invention de ces procédés de démonstration est un exercice intellectuel beaucoup plus puissant (fue l'application mécanique de ({uelque méthode générale telle que le calcul différentiel et intégral.
IXous verrons dans les cours ultérieurs l'application du système. Dans certaines écoles, les théorèmes de géométrie ne sont pas expliqués par le professeur ; l'élève doit lui-même trouve)' la méthode de démonstration : le cours consiste essentiellement dans l'investigation méthodique faite par l'élève personnellement, le conduisant, suivant un plan tracé, à la découverte de la vérité géométrique. L'efibrt personnel et l'initiative y jouent le rôle prépondérant,
La matière de la géométrie plane ne diffère pas sensiblement de celle que nous enseignons dans nos écoles ; mais dans l'enseignement de la géométrie dans l'espace, les
ENSEIGNEMENT SECONDAIRE TECHMOUE
Américains emploient des procédés d'intuition dont nos professeurs et auteurs d'ouvrages de mathématiques élémentaires pourraient utilement s'inspirer.
Ils partent du principe que les constructions de la géométrie dans l'espace ne peuvent se tracer avec le relief, ni à la règle, ni au compas, ni à l'aide d'aucun instrument de dessin ; or, comme ils jugent l'intuition indispensable, ils font les constructions à l'aide de lignes et de plans matériels, des tiges en acier, des carreaux transparents, des formes en Lois. Dans chaque leçon sur ces matières, le professeur se
Fig. 127. — Appareils pour la démonstration du volume de la pyramide
sert d'appareils ingénieusement intuitifs de grandes dimensions, sur lesquels les élèves cherchent, avant toute démonstratioi théorique, l'explication des éléments et même la solution dul problème ou du théorème. Il suffira de quelques exemples] pour montrer les ressources du système au point de vue dej l'enseignement.
La figure 127 indique les moyens matériels d'illustrations employés pour la démonstration du théorème suivant : -Le] volume d'une pyramide triangulaire est égal à la base multipliée par le 1/3 de sa hauteur". La démonstration du même] théorème appliquée à une pyramide quelconque est faite sur| le modèle représenté dans la (fîg. 128).
ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 'J'EGHNIQUE
Poui' une pynimide troïKjuée, la lig. 129 indique Je niatériel employé "pour l'aii-e voir dans; l'espace" et pour donner la com[)réliension concrètes du volume représenté.
Fig. 128. — Appareil de démonstration dvi volume d'une pyramide quelconque
L'intuition s'intensifie à travers le cours et accompagne pas à pas la démonstration rationnelle ; les exemples suivants en fournissent encore la preuve : '-Toute section d'une sphère faite par un })lan est un cercle dont le centre se trouve au l)ied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère
Fig. 129. — Appareil de démonstration du volume d'une pyramitle tronquée
sur ce plan» et le théorème : «Les cercles d'une sphère équi distants du centre sont éf^aux et réciproquement». "Tous les grands cercles d'une sphère sont égaux» (1). Le professeur fait la démonstration sur des sphères de grandes dimensions dans lesquelles les plans sont matériellement figurés par des carreaux de vitre ou du papier fort.
Ces procédés d'intuition qui sont sortis de l'enseignement primaire et des principes mêmes de, Frœhel, soulagent véritahlement l'effort des élèves ; la compréhension par l'observation matérielle prépare admirablement la compréhension par des démonstrations al)straites.
