MÉTHODE

Pour déterminer la longueur exacte du quart du Méridien, d'après les observations faites pour la mesure de Parc compris entre Dunkerque et Barcelonne.

Par A» M. Lbge>'DRE, Membrt de h Com/nwwn des Poids et Mesure*, de l'Institut national.

Les citoyens Detambre et Méchain ayant enfin terminé tontes les opérations relatives à la mesure de Tare du méridien compris entre Dunkerque et Barcelonne, on va^occuper sans délai de dé duire des données que ces excellent observateurs ontrecueillies, la grandeur du quart du méridien qui étoit Fabjet principal de leurs travaux. Dans .cette circonstance, j'ai cru qu'il ne seroit pas inutile de communiquer aux géomètres quelques idées sur la méthode qu'on pourroit suivre dans le calcul des observations , afin de parvenir à un résultat aussi exact que la nature de la question le comporte. Ces idées sont une suite de celles que j'ai déjà exposées dans un Mémoire sur les opérations trigonométriques f imprimé dans le volume de l'Académie des Sciences t pour l'année 1787; je prendrai de-Jà occasion de développer quelques démonstrations qui a voient été omises dans ce Mémoire, et que plusieurs personnes ont paru désirer.

Les élémens du calcul empruntés de l'observation sont :

1*. Les angles des triangles et les hauteurs des stations nécessaires pour réduire chaque triangle au plan de l'horizon.

a 0 . La base de Melun à Lieusaint, Cette base principale , ainsi que la base de vérification , mesurée près Perpignan , ont été rapportées à un module particulier , appelé la règle «°. 1 , dont la longueur est fort approchée de deux toises.

3°. Les azimuths de deux côtés de la chaîne , ou les angles qu'ils font avec le méridien. Ces azimuths ayant été mesurés aux deux extrémités de la chaîne , il en résulte une vérification de

M£m. de Legendbe. A

toute l'opération , non moins importante et plus facile que celle

qui a été donnée par la mesure d'une seconde base.

4°. Enfin les latitudes des points extrêmes , Dunkerque et Montjouy , ainsi que celles de trois autres points intermédiaire», Paris , Evaux et Carcassonne.

Tous ces élémens ont été déterminés avec un degré de précision qui auroit droit d'étonner , s'il n'étoit une suite nécessaire de l'excellence des moyens employés , et de l'habileté des observateurs.

Du Calcul des Triangles.

Lorsqu'on aura réduit à l'horizon tous les angles des triangles (Note l"), et qu'on aura appliqué à chacun des angles réduits la correction nécessaire pour que la somme des angles de chaque triangle soit égale à i8o° + le petit excès dû à la surface du triangle , et calculé a priori ( Note II), il n'y aura plus lieu d'avoir égard à l'inégalité de hauteur des stations , et toute la chaîne de triangles se trouvera projetée sur une surface sphérique ou sphéroïdique , qu'on peut regarder comme un prolongement de la surface de la mer.

Dans cette hypothèse , qui paroît la plus propre à simplifier les calculs , tous les triangles deviennent aphériques ou sphéroîdiques , les côtés sont ou peuvent être considérés comme des arcs de cercle ; et la base , qui est pareillement un arc de cercle , se déduit aisément de la base mesurée , en y appliquant une . correction calculée d'après les hauteurs connues de ses deux points extrêmes au-dessus du niveau de la mer.

Cela posé , pour calculer les différens côtés de la chaîne des triangles de projection , on pourra faire usage du théorème énoncé dans les Mémoires de l'Académie, pour l'année 1787, et dont nous donnerons la démonstration ci-après ( Note III) ; en conséquence , si , dans le triangle proposé , la sommé des angles est î&V + « , on retranchera y * de chacun des angles, afin que la somme des angles restans soit de 180 e . Cette sous-

traction faite , on procédera comme si le triangle proposé éloit rectiligne , c'est-à-dire qu'on fera la proportion : Le sinus de V angle opposé au côté connu est à ce côté comme le sinus d'un autre angle est au côté opposé. Le quatrième terme sera la vraie longueur du côté du triangle sphérique qu'on veut résoudre, laquelle se trouvera ainsi avec la même facilité que si la chaîne de triangles qu'on calcule étoit située tonte entière sur un même plan.

On a proposé de calculer ces mômes triangles sphériques , an moyen des triangles rectilignes formés par les cordes de leurs côtés; mais, pour cela, il faut déterminer par autant d'opérations distinctes la différence qu'il y a entre chaque angle du triangle sphérique et l'angle correspondant du triangle rectiligne. Il est évident que celte méthode est moins simple et plus sujette à erreur que celle que nous venons d'exposer.

Du Calcul de l'arc du Méridien.

Soit une chaîne quelconque de triangles ABC DEF , etc. peu éloignée de la méridienne AM N Xij et tracée sur une surface courbe qui représente le niveaq des eaux de la mer ; on suppose connu par ce qui précède les angles et les côtés de ces triangles, on connoît de plus par l'observation l'angle C A M qui mesure i'azimuth du côté AC, ou son inclinaison par rapport au méri-

i DE LA DÉTERMINATION

dien j il s'agit de trouver la longueur de la méridienne AX, prolongée jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire LX abaissée du dernier point de la chaîne.

Pour cela , on suivra les mêmes principes que dans le calcul des triangles ; mais on pourra , suivant les circonstances , trouver des moyens d'abréviation, et éviter de calculer autant de parties de la méridienne qu'il y a de triangles. Dans la figure proposée , après avoir prolongé CD en M , on résoudra le triangle ACM, dans lequel on connoît le côté AC, et les deux angles adjacens CAM, ACM; il faudra d'abord calculer dans ce triangle la valeur de » , excès de la somme de ses angles sur i8o°i ensuite on «retranchera^ de chacun des angles CAM, ACM, et on prendra la somme des deux restes, q*'on retranchera de ibV, pour avoir l'angle représentatif de CM A. Au moyen de ces trois angles et du côté connu AC, on déterminera les deux côtés A M, CM, par la même proportion que si le triangle étoit rectiligne.

Pour connoître M O , il faut résoudre le quadrilatère D M O F , dans lequel on connoît les angles en M , D, F , et les deux côtés DM,DF.Soit d'abord -tirée la diagonale MF, on aura à résoudre Le triangle D M F, dans lequel on connoît les côtés D M, D F , et l'angle compris D. Pour cet effet , on procédera comme si le ,(riangle DM F- étoit rediligne , avec l'attention seulement de retrancher de, l'angle^MDF le tiers, de l'excès », gui répond .à l'aire -de -ce triangle* On aura donc par ce calcul le côté MF et les deux angles D MF, DFM, à* chacun desquels il faudra ajouter j «#. Venant alors au triangle MFO, on connoîtra le côté M F et les deux angles adjacens } on en conclura donc , de la manière ordinaire , les côtés M O , F O , et l'angle MO F.

Dans le triangle O PB, connoissant le côté OH et les deux angles adjacens , on déterminera de même O P , P H , et l'angle OPH.

Enfin le reste de la méridienne PXpetrt se déterminer successivement par la résolution des trois triangles PHK,PQK,

Q L X j mais il e6t plus simple de prolonger l'arc J L , et de déterminer PX par la résolution des deux triangles P JZ, L X Z. Dans ce dernier, on connoîtroit l'hypoténuse LZ, l'angle Z et l'angle droit X j il faudroit donc, après avoir déterminé la valeur de • propre à ce triangle , faire la proportion

sin (go°— - \ «) : L Z :: cos(Z — }«) : X Z.

Nous avons réuni dans la figure qui sert d'exemple tous les cas qui peuvent se rencontrer , et il ne peut plus y avoir de difficulté pour l'application de la méthode. En général , la quantité très- petite •» varie d'un triangle à l'autre , et doit être déterminée a priori pour chacun des triangles qu'on a à résoudre ; le tiers de cette quantité doit être retranché de chaque angle du triangle sphérique , pour y appliquer les règles des triangles rectil ignés j mais le résultat étant trouvé , il faut ajouter à chacun des angles la petite quantité -j « qui en avoit été soustraite. Nous avons donné l'exemple de la résolution d'un quadrilatère D M F O , dans lequel on connoît deux côtés et trois angles ; ce calcul , un peu plus difficile que celui des cas ordinaires , peut être évité en prolongeant les deux côtés ED , EF , et calculant les triangles RDM,REN,FNOj mais alors on voit qu'on a trois triangles à calculer au lieu de deux j de sorte que l'avantage reste à la première méthode.

Par ces calculs , on connoîtra en même temps les azimulhs d'un assez grand nombre de côtés de la chaîne , c'est-à-dire les angles que ces côtés font avec la méridienne. Si donc les azimuths ont été déterminés en deux endroits différens , comme on le fait ordinairement aux deux extrémités de la chaîne , on aura un moyen très-simple de vérifier l'opération , puisque l'azimuth conclu de la série des triangles doit s'accorder avec l'aiimuth observé (Note If).

Enfin il faut observer que le point X a une latitude un peu plus grande que le point L. Soit x la latitude du point L , r le rayon de courbure du méridien vers le point L ,y la distance L X, Ule nombre de secondes comprises dans le rayon des tables, on

trouvera que la latitude du point X est a + j R tang>, où l'on voit que la correction sera exprimée en secondes.

Equations entre les longueurs des Arcs et les latitudes de leurs extrémités.

Par les calculs précédens , on connoîtra les longueurs des différentes parties de la méridienne , comprises entre les parallèles des principaux points de station, qui sont Dunkerque, Paris, Evaux , Carcassonne et Montjouy , près Barcelonne. On connoit d'ailleurs , par des observations très-exactes , . - Dunkerque. les latUude8 de ceg difieren s points $il ne s'agit

-■Paris. donc plus que d'établir les équations qui

doivent avoir lieu entre la longueur de cha- Evauf. firc et j C8 i al i lnde8 de 8e8 extrémités.

--Carcassonne. Jusques-là on pou voit «e passer de connoître la nature de la courbe du méridien, 4- Montjouy. et .j suffisoit de 8avo j r que C ette courbe étoit

peu différente du cercle; car dès -lors tous les triangles tracés sur la surface du sphéroïde , et n'excédant pas la grandeur des triangles observés , pouvoient être regardés sensiblement comme des triangles sphériques. Mais à présent, pour avoir la relation entre les longueurs des arcs et les latitudes, il est nécessaire de faire une hypothèse , la plus générale qu'on pourra, sur la figure du méridien.

Soit a le rayon de l'équateur , b le demi-axe ou le rayon mené au pôle } soit \> un rayon vecteur quelconque , et 4 l'angle que font ent^ elles les lignes b et f ; il résulte d'un grand nombre de recherches fondées sur la théorie de l'équilibre des fluides (i), qu'on pourra supposer

v = b ( i + m sin* 4 + n sin 4 4) m étant une quantité très-petite de l'ordre de l'applatissement ,

(,) VoytK les Mémoires de l'Acad.dee Sciences, anaré 1789, p. 394et4i8,

et n une quantité de l'ordre m*. Si on fait 6 = 0(1 + *), en sorte que * désigne la quantité de Tapplatissement , on aura donc * ;= m n. ^

Dans le cas où la figure du méridien seroit exactement elliptique , on auroit par les propriétés connues de cette courbe , __ a* b' 6' ( 1 + « )'

V * — û'cos'4 + £'sin*4 ~ (1 — (a« + *')sin»4

ou en extrayant la racine, et développant jusqu'aux quantités de l'ordre ** inclusivement ,

v = * ( 1 + ( * — | *') sin' 4 + | «» sin* 4 ). Ainsi la figure représentée par l'équation

i> = b ( \ + m sin* 4 + « sin 4 4 ) se confondra avec une ellipse , si on a n = \ m* j mais en général cette équation représente une courbe très -voisine de l'ellipse.

Cela posé , soit S l'arc du méridien compris entre les deux rayons vecteurs a et v , on aura d S = — -y/ {v* c? 4* -H rf v* ) j donc , en observant que d v est de l'ordre de * , et qu'il suffît de développer toutes les quantités jusqu'aux ** inclusivement , on aura

du*

dS — — v c?4 7-. = — b c?4( » + msin*4 + nsin 4 4 + ai»*sin*4cos'4)

De-là résulte en intégrant et déterminant la constante

S = b(i +^ + ^+im')(90'--4) + A(i m+ ± /i)sina4

+ *(> , -ïï»)"».^ Il convient maintenant d'introduire, à la place de l'angle4, la latitude de l'extrémité de l'arc , que nous appellerons L. Or , quelle que soit la courbe du méridien , il est facile de voir qu'on a en général ,

Donc, puisqu'on néglige les puissances troisièmes de *, on aura 4+L— 90'= — ^r,etL= 90' — 1+ a sin4cos4['n+ (a n — m')sin*4] = go° — 4 + ( m + n — j m % ) sin 2 4 + ( i m* — ~n) sin 4 4.

8 DE LA DÉTERMINATION De-là résulte réciproquement

4 = 90 0 — L + (m + n sin a L- (~ — " ) sin 4 L.

Cette valeur étant substituée dans celle de S , on trouvera , en se bornant toujours aux termes du second ordre , S=£ [ ( i + i m + { n + i m') L-} (m+ «)sin aL+ (fi m»— ff/i) sin4L] Soit M le quart du méridien, on aura, en faisant L = 90 0 = f »,

Donc ,

5 = M [- f^ 7 — - — ^sinaL+fii — J-'sin4Lj

Donc si S' est un autre arc terminé à la latitude L', on aura

sM (if^ - î <J!L±?=±23 (sin a L < sin a L)+fi.^(sin4L'-.sinlL))

Telle est l'équation qui donne la relation entre un arc quelconque S'— S du méridien , et les latitudes L', L de ses points extrêmes. On voit que de cette équation on tirera immédiatement la longueur du quart du méridien M , dès qu'on connoîlra les coefficiens m et n.

Soit pour abréger />=•*

pourra regarder p et q comme les coefficiens inconnus , et l'équation précédente se réduira à la forme

S'— S = M — P (sm a L'— sin 1 L) + q (sin 4 L'— sin 4 L))

Comme le coefficient q est beaucoup plus petit que p , on peut , dans une première approximation, négliger le terme qui contient/).

Appelons L , L', L", L'", L"" les latitudes respectives des points M , C, E , P, D } appelons pareillement S , S', S", S'", S"" les arcs du méridien compris depuis l'équateur jusqu'à ces différenspoints. L'équatiou précédente , appliquée successivement aux deux arcs M E , ED , donnera , en négligeant q t les deux équations

S"~S =M L "— L Mp(sinaL" — sinaL)

S""-S"=M — — t~~ ' M/> ( sin 2 L""-sin a L")

D'après

DU QUART DU MÉRIDIEN. g D'après ces deux équations,,, il sera facile de déterminer le* valeurs de M et/> , lesquelles doivent déjà êlre fort approchées , puisqu'on ne néglige que des quantités de l'ordre de «' ( i ).

Soient M* et p'lea premières valeurs approchées de M et,p j pour en avoir de plus exactes , on. fera M = M° ( i + x)\ M/> — M°p' ( i +^)„ M =s M° puis instituant dans l'équation générale les quantités relatives aux qualre arcs ME,,

E D, MP, ÇD, on aura les, quatre équations g" g L" l

— M* — ~ *~Tir~ ( 1 + ^ P*( 1 ( sin 2 "L" — ain a t) + x (sin 4 L" — sin 4 L) °., mo ° fl(i + Jr )^(» +^)(«in 2 L^sjn 2 L'H*("n4L^-sin4L')

^- 1F ^= , ^ (i4-^)-^(^)^n a L /// ^-sin?L)^x(sin4L^->sin4L)

-^ = t'i:(i+*)- ^(i+^XshnL"-— sin2L')+zC3in4L /,r — sin4L')

où Ton voit qu'en vertu de la suppositiqn par [laquelle M° et p" ont été déterminées , les deux premières se r4duwentji celles-ci

\ == LlZli x -. >y ( 5 in2L / ' — sinaL) + z (sin 4 L" — sin 4 L) o = il T -±'-* ^ (sin a L' r -sinaL") + z (sin 4L"-- sin 4L')

De sorte qu'on aura quatre équations de oette forme o =/ x-r-g y + h z

desquelles il faut tirer les valeurs <)e « , ,y,x..Dans oe genre d'analyse , dont les questions astronomiques offrent beaucoup d'exemples , il- ne faut pas eliercher.à résoudre exactement trois des équations , ce qui ferait porter toute l'erreur -aux la ijua-

f i) Il est vraisemblable quel'appUjtissement * n'est pas fort éloigné àe^aô » *'

3 î î ' qu'ainsi on doit avoir p = — . à-peu-prèa.

io DE LA DÉTERMINATION

trième j mais il faut tâcher de compenser les erreurs de manière qu'elles portent à-peu- près également sur tontes les quatre j c'est ce qui n'offrira point de difficulté lorsque les valeurs numériques seront substituées.

La valeur de x étant connue , on aura immédiatement la longueur du quart du méridien M = M" ( i + x) , qui est l'objet principal de ces recherches. Ensuite les valeurs âey et z donneront des notions précieuses sur la figure du méridien.

On aura d'abord p = — , et q = , ou simple-

mentp—p (i+y — x),q = s. Mais cm a tait p = ~. ; ,

q = ^ . — — , soit donc $p*+tfgr=:r 9 an aura » x

m — r — \ r* t n — ^ m* — ri y* de«là résulte l'applatissement « = m + n j et pour juger jusqu'à quel point la figure du méridien approche de l'ellipse , on prendra la valeur de n — j m* , ondej/n' — -ff y t, laquelle devra être zéro , si le méridien est une ellipse. Enfin m et n étant connus , on aura l'équation de la courbe du méridien

p = b ( i + m sin* 4 + n sin 4 4 ) dans laquelle le demi-axe b doit être tiré de l'équation

Ces déterminations ne laisseront rien à désirer , si toutefois les erreurs des quatre équations ci-dessus peuvent être assez atténuées pour ne pas passer les limites des erreurs de l'observation , et si en même temps les valeurs de x , y , z , sont de la petitesse convenable pour justifier l'hypothèse qui sert de base à ces calculs*

Dans le cas très-peu probable où l'on ne pôurroit pas satisfaire assez exactement aux équations mentionnées , on serait obligé de conclure que la figure du méridien est très-irrégulière , et que la connoiasance des neuf ou dix degrés mesurés ne suffit pas pour déterminer la longueur du quart du méridien. Il faudroit donc alors convenir d'une autre manière d'établir la mesure

DU QUART DU MÉRIDIEN. n

universelle , et le moyen qui se présente naturellement seroit de prendre , au lieu du qnart du méridien , une longueur égale à ioooo fois la minute décimale du méridien , prise au 5o e degré décimal de latitude. Cette minute seroit la valeur du kilomètre , et on pourrait la déterminer avec toute la précision requise d'après les degrés mesurés ; mais il a lieu de croire qu'on ne sera pas obligé d'en venir à cet expédient.

NOTE I rt . Réduction d'un Angle à Vhorizon.

Soit A l'angle observé entre deux points éloignés ; soient

go* + * et go* + c les distances de ces mêmes points au zénith ;

soit enfin A + x l'angle résultant de la projection des côtés de

l'angle A sur l'horizon , on aura par les formulés connues des

triangles sphériques , et en supposant le rayon = x , 1

, . cosA— co8(9o° + *)cos(9o 0 + 0 cosA — sin* sin f

COS(A+4f) = — — - — —T-- — — — —

sin (90°+ *) sin (90*+ cos* cos C

Dans les observations géodésiques , les angles « et C peuvent toujours être supposés très-petits : ainsi t en négligeant seulement les quantités du quatrième ordre , on pourra faire sin a sin b = *C, cos*=i — t**, cosÉ — i— ce qui donnera cos ( A+x) = cos A( i + — * C. De-là

on voit que x doit être une quantité du second ordre : on peut, par conséquent , mettre cos A — x sin A à la place de cos (A+x), et on aura

«b — i(v+C*)cosA i— cosA / ct-~C \* î+cosA

sin A V a / * sin A \ a ' * sin A s

Soit donc pour abréger = p , = q , on aura

x — p % tang 7 A — • q* cot î A j , ; . A

cette valeur est exprimée en parties du rayon : mais comme dans la pratiqua p. et? seront donnés eu secondes ,< si l'on veut, qfl$* soit exprimé de la même, manière , il faudra faire , . .

* = |-tangiA-|-cotiA )

ja DE LA DÉTER MI NATION

R étant le nombre de secondes comprises dan» le rayon , nombre dont le logarithme est 5,3i44!ï5.

NOTE IL Excès de la somme des trois angles d'un triangle réduit à l'horizon , sur 1 8o°.

Il suffit de connoître à-peu-près les côtés d'un triangle sphérique très-peu courbe , pour être en état de déterminer avec précision le petit excès de la somme de ses trois angles sur i8o°. Soit cet excès », soit T l'aire approchée du triangle en supposant le rayon de la sphère — i , on aura, par le principe connu de l'aire da triangle sphérique , » = T : donc si le rayon de la sphère est /y et si on veut que*» soit exprimé en secondes, il faudra

faire « = — <R , R étant toujours lenomtore de secondes contenues dans le rayon dès tables.

Dans dévaluation du rapport — , il faudra exprimer le rayon r

de la sphère par Ja même unité qpi sert à exprimer les côlés du triangle. Celte unité ou module valant à-peu-près i toises, on devra prendre log r = 6. i i3g j d'ailleurs on a log R = 5. 3i 44 : donc au logarithme de la surface du triangle, exprimée en modules quarrés , il faudra ajouter le logarithme constant 3,8866 , et on aura le logarithme de l'excès <■» , exprimé en secondes.

NOTE III. Résolution des triangles sphériques dont les côtés sont très-petits par rapport au rayon de la sphère.

Sbferit/ASiyi'Cries â^e^d'orf triangle sphéViepie infiniment peu courbe , a, 8 ', à leifeÔtéfe opposé» ,6* aura par la propriété connue sin A : sin B i :,sin a : sin£ j et puisque les côtés a et b , comparés au rayon de la sphère , sont très-petits , on pourra

DU QUART DU MÉRIDIEN. i3

faire &\na=a — sin b = b — — i ce qui donnera 6 6

sin A: sin B :: a(i — ja') : b (i — £ b % ).

Cherchons maintenant une indéterminée x , telle qu'on ait

a : b : : sin ( A — x) : sin (B — x) ;

, . . asinB — b sîn A

de cette équation on tirera tangx = ■ - ; r : et parce

acosB — ôcosA *

a (»— sin A

^rti-i-!)^» on aura

( i — \b % ) sin A sin B— ( i — { a* ) sin B sin A tans x — — — - ■ » ' .

(1— i*»)sin AcosB— ( i — ta*) sin Bcos A'

d'où Ton tire en négligeant seulement les quantités du quatrième ordre

. / . l%\ sin A sin B

* sm (A — B)

Mais en considérant le triangle proposé comme rectiligne , il

• > i • i ■ » . / , x sin A sin B

est aise de voir que la quantité Ma* — b*). — — — — se ré-

* sin (A — B)

duitif a b sin C, et représente par conséquent l'aire du triangle

donc si cette aire est appellée • , on aura x = \ » j d'ailleurs

on sait que l'aire » représente aussi l'excès de la somme des

trois angles du triangle sphérique sur i8o°j de- là et de la

proportion sin ( A — -y •#) : sin (B — f •») :: a : b , qui aura sem-

blablement lieu pour deux autres côté», on tire ce théorème

remarquable :

Si la somme des" trois angles dUm triangle-sphérique y dont lea> côtés sont très-petits y est supposée i8o* + * , et qjue de chaque angle on retranche \* s ce qui réduira la somme des angles restons à i8o° juste , je dis que les sinus des angles ainsi di-. minuds seront proportionnels aux côtés opposés , de sorte que la triangle pourra être résolu comme s'il étoit parfaitement rec->

C'est la proposition que j'a?ois donnée sans démonstration dans les Mémoire* de l?Académie , année 1787,. pag. 338* Elle ramène i immédiatement à la trigonométrie rectUigne la réso-

i4 DE LA DÉTERMINATION lution des triangles sphériques très-peu courbes ou dont les côtés sont très petits par rapport au rayon de la sphère. Il est inutile de développer les différens cas de la nouvelle espèce de trigonométrie qu'on pourroit déduire de ce théorème, et il suffit de considérer que le triangle sphérique dont les élémens sont A , B , C ; a, b y Cy répond toujours à un triangle rectiligne dont les élémens sont A — y « , B — j», C — 7 «; a, by c, de sorte que la résolution de Ton fera toujours connoître la résolution de l'autre. Mais il faut qu'on connoisse au moins un côté , et que » soit déterminé a priori par l'aire du triangle dont il suffit d'avoir une valeur grossièrement approchée.

Au reste , quand même les côtés du triangle à résoudre seroient de quelques degrés , le théorème seroit encore sensiblement vrai et donneroit une approximation suffisante.

NOTE IV. De la Perpendiculaire à la Méridienne.

Par un point A dont la latitude = L , soit élevée sur le méridien la perpendiculaire A B = y , et soit proposé de trouver la latitude du point B , sa longitude , et l'angle PBA que fait B A avec le méridien du point A , c'est-à-dire l'azimuth de A observé de B (i).

Pour cela nous mènerons la normale M A terminée à l'axe du sphéroïde en M , et faisant M A = r , nous aurons

r=6(i + am — m cos* L ) ; cette ligne M A est en même-temps le rayon de la développée de l'arc A B , de sorte qu'on peut regarder A B comme un

arc de cercle décrit du centre M. Faisons en conséquence - — 9 ,

et du point M comme centre, décrivons une surface sphérique qui rencontre en p , a , b les lignes menées de M vers les points P , A , B , ( P étant supposé le pôle ) , nous aurons

(1) La figure est dans le Mémoire cité de 1787 ; mais oa peut aisément y iuppUer par cette explication.

DU QUART DU MÉRIDIEN. i5

un triangle sphérique p a b dans lequel on connoîlra le côté

pa— go a — L , le côté oi = >, et l'angle compris pab , qui

est un angle droit. On aura donc par les formules ordinaires

' » * . w * t tane 9

cot b = tang L sm 9 , cos p b = sin L cos ? , tang p = — ^~ ;

COS M-é

développant ces formules dans la supposition que 9 est une quantité très-petite , et omettant seulement les quantités de l'ordre on aura

9 , »' sin* L

^ — cos L J ' cos 1 L p 6 = go° - L + 7 tang L b =90° — 9 tang L + j f s tang L ( f + tang* L )

L'angle p donne la différence en longitude entre les deux points A et B j l'angle b est égal à l'azimuth demandé P B A , ou du moins on peut prouver qu'il n'en diffère que de la quantité 7 m tang L , qu'il faudroit ajouter à la valeur précédente pour avoir égard à l'aberration de sphéricité j mais cette différence pourra toujours être négligée , même quand la distance^ seroit égale à 2 ou 3 degrés. Enfin 90 0 — p b ou L — £ tang L , est une valeur approchée de la latitude du point B ; mais celte valeur a besoin d'une correction, parce que M B ne se confond pas avec la verticale au point B. Soit cette verticale N B , et la latitude en B = L', on trouvera aisément CM (distance du centre C au point M ) = 2 m r sin L , pareillement C N = 1 m r sin L' ; donc MN= 2 m r (sin L — sin L') = a m r (L — L') coaL—mr 9* sin L :

de-là l'angle N A M ou N B M = ^NcosL m p « s j n L cos L j

doue la latitude corrigée du point B sera

L' = L — j 9* tang L — m 9 % sin L cos L.

Si on joint à cet élément la longitude et l'azimuth déjà déterminés , on aura tout ce qui concerne la position du point B.

Quelquesj>ersonnes ont pensé que des observations d'azimuth et de latitude , faites dans des lieux assez différens en longitude , et dont on connoîtroit la distance , seroient très-propres à déterminer la figure de la terre. Cette opinion n'est nullement fondée , puis-

iG DE LA DETERMINAT ION, &c.

qu'on voit que la ligne A B étant perpendiculaire à la méridienne , le coefficient m , qui mesure l'applatissement , n'entre que pour une quantité insensible dans l'expression de la latitude , et qu'il influe encore moins sur l'expression de l'azimuth du point 13. Ce sont donc au contraire les observations faites dans la direction du méridien , qui sont les plus propres à déterminer la vraie quantité de l'applatissement.

Les formules précédentes s'appliquent à la perpendiculaire LX, menée par le point extrême L de la chaîne des triangles, et on en tire ces deux conséquences ( Voyez la figure ci-dessus , pag. 3).

i°. Soit la latitude en X = L , en L = a , soit la distance LX=^, le rayon de la terre ou la normale an point X = r,

onaurûA = L — ï(~) tangL — m(^) sinLcosL, et réciproquement

L — k + i tang a + m (/~ y ) 8mA c08 K >

mais la seconde partie de la correction sera presque toujours négligeable.

2°. Les mêmes choses étant posées , on aura l'azimuth de L X, c'est-à-dire l'angle au point L, entre la ligne L X et la ligne menée au pôle ,

= qo° — ^tangL + y.^ i«>g L (t + tang' L )

= go' — 2 tang a — t ang a ( i + 7 tang* a) r Or

A cet angle , ajoutant l'angle calculé Q L X , on aura l'azimuth de L K y lequel doit s'accorder avec l'azimuth observé directement en ce point , et fournira ainsi une vérification de toute frpécatioa.

Ptti»,e nivôse au VU.