ANGLES

k£ductioi

io", 7 «

io,46

Somme — 4a, 54

Somme divisée par le nombre des observations — 3, 545 Distance moyenne entre les îa observées. 4a a i,635

Distance méridienne 4a 1 58, 090

Réfraction moyenne 5 1 , oao

Correction de température 5, 570

Distance polaire + 1 46 sa, 3 1

Distance du pôle au xénith 43 4g »4,g9 Latitude 46 10 45, o»

Au-dessous du passage de l'étoile au méridien en temps de la pendule , je place tous les instans des différentes observations. La comparaison de tous ces instans avec celui du passage me donne les angles horaires qui forment la colonne suivante. Avec ces angles horaires, je prends dans la table de réduction.

les corrections qui composent la dernière colonne. Je fais la somme de toutes ces réductions, qui est — 4a" ) /54. J'en prends le douzième , parce qu'il y a douze observations ; je retranche la réduction moyenne 3",545 de la moyenne entre toutes les distances observées : le reste est la distance , telle qu'elle auroit été observée au méridien , abstraction faite de la réfraction.

J'ajoute ensuite la réfraction moyenne , et la correction pour la température ; enfin j'ajoute aussi la distance de l'étoile au pôle : la somme de toutes ces quantités est la distance vraie du pôle au zénith, en supposant exactement connue la déclinaison de l'étoile employée dans les calculs. Le complément à 90° de cette distance , est la latitude cherchée.

Dans un passage inférieur , la réduction est additive et la distance polaire soustraclive. A cela près , le procédé est le même entièrement.

Si l'on étoit sûr de la déclinaison , il seroit inutile d'observer l'étoile an- dessus et au-dessous du pôle. L'un des deux suffiroit j mais comme on est rarement bien assuré de cet élément essentiel , il faut le vérifier par la comparaison des deux passages.

Le passage supérieur nous a donné ci-dessus 46° 10' 45",oi Supposons que le passage inférieur observé le même jour, ou à peu de distance , ait donné. . . 46 10 4i , o3

La différence sera. 3>o,8

La moitié sera la correction de déclinaison . . — 1 » 99

Celte correction de déclinaison est soustractive quand le passage supérieur donne plus que l'inférieur.

Cette même correction , ajoutée à la moindre des deux latitudes, donnera pour la latitude vraie 46° io' 43",oi

Remarquez que cette latitude est indépendante de l'erreur qu'on pourrait avoir commise sur la nutalion, qui ne change pas sensiblement dans un mois ou deux. Elle pourrait être affectée de l'incertitude qui peut rester sur l'aberration , si l'intervalle des deux passages étoit de deux ou trois mois ; mais s'il n'est que de quelques jours , l'erreur est insensible pour la latitude.

i58 DE L'A DÉTERMINATION La déclinaison peut en être affectée aussi bien que par l'errenr commise sur la nutation ; mais la réfraction est la seule chose qui puisse altérer une latitude détrrminée par deux passages de la même étoile , l'un au-dessus , l'autre au-dessous du pù!e , si 1'iulervalle des observations est médiocre.

J'ai supposé la pendule réglée sur les fixes ; c'est le plus commode de beaucoup , toutes les fois que ce sont des étoiles qu'on observe. Si pourtant elle suivoit le temps solaire moyen , après avoir cherché les angles horaires , comme ci-dessus , on les augmenteront tous , à raison de 10 par heure ou de i" pour 6'. Celte précision sera suffisante.

Calcul des Observations azimuthales.

Pour connoître un azimuth avec quelque précision , il faut multiplier les observations , les répéter plusieurs jours , et comparer , quand on le peut , l'objet terrestre avec le soleil levant et le soleil couchant.

Le temps ou l'angle horaire de l'astre est un des élémens essentiels de ce calcul. Une erreur de 1' sur le temps vrai produirait environ 10" d'erreur sur l'azimuth en France j en multipliant les observations > on divisera , et l'on réduira presque à rien les petites erreurs inévitables, soit dans la distance mesurée , soit sur le temps vrai donné par la pendule.

Il est très-utile aussi d'employer des observations du soir et du matin , afin que le résultat moyen soit indépendant des erreurs produites par celles de la déclinaison de l'astre , de la latitude et de la pendule.

On peut employer dans cette recherche le soleil ou une étoile. Le soleil est plus commode ; au reste , le procédé est le même à-peu- près.

Pour abréger le calcul , on fera d'avance un tableau où l'on réunira, pour tout le temps des observations de 10' en 10', la distance polaire de l'astre et la réduction des temps de la pendule au temps vrai , si l'on se sert du soleil , et au temps sidéral , si l'on observe une étoile.

D'UN ARC DU MÉRIDIEN. i5 9

Exemple. Le 5 juin 1793, par un milieu entre quatre observations , la distance du centre du soleil et le clocher de Gravelines éloit de 5» 9 3' 1"= Dj le milieu entre les quatre instans % donnés par la pendule éloil de . . 6 h 36' i3 ",87$ soir.

La réduction au temps vrai pour ce moment étoit . . — 7 47,678

Temps vrai 6 38 26,247

ou 6 b 2 8' 2 6",i4"8

En prenant la moitié des heures et le quart du reste, on a l'angle horaire 3* 7 0 6'33",7=P.

Si l'observation eût été faite le matin , cette quantité 3* 7 0 6' 33",7 seroit le supplément de l'angle horaire , qui seroit par conséquent a' 2a 0 53' a6",3 = — P, à moins qu'on ne comptât les angles horaires depuis zéro jusqu'à 36o° ; alors on auroit P = 8* 32° 53' 26",3.

La distance du soleil au pôle étoit 67" 20' i5" = C.

La hauteur de l'équateur ou le complément de la hauteur du pôle étoit 3if 10' 22" = H.

Et la distance du clocher au zénith ,90' u' 40" = A.

Voici le calcul d'après les formules de la page 57.

cos P— - 9,0925930 cosH 9,8894388 s in P. . . . 9,^966483

sin H. . 9,8oo484i cos C 9,.5853oi4 5m C. . . . 9 ,gG5io5i

sin C. . 9,96610X1 + 0,2987034 9,^53402 C.sinB. . . o,oii4f->5

—0,0721407 8,d58 1803 — 0,0-2 i4o7 sin £=70° 4' 3 2 9,97a ii)5a

cos H + o,aa65627 log g,355i883 «'=49 43 ô 0

B = 76" 54' i8",8 z-z'=*o 20 43" réfr. moy. — 3 58,8 table C.sinB'. . . o,on55?g réd. au centr. + 3-i

correction 4- 6,7 C.sin A. . . o,ooooo?5 20 3 1 i(T— azimmh

parallaxe + 8,? .sin R 9,5o 9 3io4 de Gravelines.

B'= 7) 5o 33,9 sinR' 9,73665 81

D = 5i 3 1 sin { z' = s4° 5 1' 55" 9,625-5 .9,5

B'-*-AfD=ai8 5 >5 z=.49 43 5o moitié =109 3 07,5

R = 18 ôo 67,5

i6o DE LA DÉTERMINATION

Le défaut de cette solution est de ne point indiquer si l'angle Z est aigu ou obtus. Le sinus est le même dans l'une et l'autre supposition j et si l'on n'a pas de raison prise ailleurs pour se déterminer , z que nous avons fait aigu , et de 70" 4' 3a", pour- ' r roit tout aussi bien être de 109° 55' 28'. On peut , en effet, lui donner celte valeur , et elle sera celle de l'angle M Z S , c'est-àdire l'azimuth du soleil compté du point sud. Dans ce cas , comme le point G est plus au nord , l'angle Z' sera additif à MZS', et l'on aura

MZG = 109* 55' 28" + 49° 43' 5o" = i5û* 3 9 ' 18". LaTeduclion qui est soustractive de 71 devra se retrancher de la somme , et l'azimuth compté du sud sera 1 59° 38' 44* •

Il est aisé de lever le doute. L'angle PZS est de 180* à midi, et il va toujours diminuant à mesure que le soleil s'approche du couchant , et l'on peut déterminer l'instant où cet angle est de 90° juste , et cet instant sépare ceux où l'angle est obtus d'avec ceux où il est aigu. Si l'on suppose l'angle

PZS -MZS = 90°,

on aura

tan g P S cos P = tang P Z ou cos P = tang H cot C.

On n'a pas même besoin de ce calcul pour notre exemple ; car ZPS étant ici plus grand que 90*, il est nécessaire que PZS soit aigu , comme nous l'avons fait.

Pour ne laisser matière à aucun doute , on peut employer la formule qui est au bas de la page 57 , et faire le calcul comme il suit pour avoir sans aucune incertitude l'angle MZS, ou l'azimuth du soleil compté du midi.

col P. ... — 9,0959448 — C.sinP— o,oo335i8 sin P. . 9,9966482

cos H 9,8894588 sin H 9,8oo484i sin C. . 9,965 io3i

—0,09669044 8,9855836 cot C 9,6206985 C.sin.. 0,026806a

cot Z— 0,56247774 log— 9,5592813,2 sin B =76° 54' i8",8 9, 9 8855 7 5

On trouve de cette manière les mêmes valeurs que par les

autres

D'UN A rt C DU M Ê R I D.ï EN. 161

antres formules , et l'on n'a plus de doute sur l'espèce de celle de Z , qui est ici compté du midi. Mais si le -soleil étoit à quelques minutes de l'horizon , on pourrait douter si B surpasse ou non go*. Dans ce cas , qui sera fort rare , après avoir déterminé Z par sa cotangente, comme dans ce second calcul, on pourrait calculer B par son cosinus , comme dans le premier. Si le cosinus étoit négatif, B passerait go°. Il en est de même pour Z , quand sa cotangente est négative.

Ces règles suffisent pour le soir. Il est facile d'en donner qui servent également pour le matin. Pour cela , comptons les heures d'un midi à l'autre , c'est-à-dire depuis o k jusqu'à 24* , en prenant la moitié des heure» pour des signes , et le quart du reste pour des degrés , minutes et secondes , P se trouvera exprimé de manière à ne laisser jamais aucun doute sur compté aussi du midi à l'ouest depuis o° jusqu'à 36o°.

La formule

. sin H cot C

COt Z = COt P C08 H — 7-zz

sinr

pour le matin donnera Z dans le troisième quart, si la valeur de cot Z est positive , et Z dans le quatrième quart , si cette valeur est négative.

Pour le soir , Z sera dans le troisième quart, si cot Z est positive , et dans le second , si cot Z est négative.

Dans tous les cas ,*la formule

cos B = cos P sin H sin C + cos H cos C donnera B > go% si cos B est négatif, et B < go", si cos B est positif.

Quant à Z', il sera additif à Z, si l'objet terrestre est à droite de l'astre , soustractif s'il est à droite.

Pour la réduction au centre , v oyez page 56.

Après tous les exemples que nous venons de voir , il suffira d'un petit nombre de remarques sur les formules rassemblées page 83.

Celle qui donne la valeur de f n'est sujette à aucun changement de sigoe. J'ai rapporté , page 8a» les valeurs que j'ai trouvées

i6a DE LADÊTERMI NATION

pour R dans trois différentes hypothèses d'applatisseraent. La nouvelle opération pourra apporter quelques changemens à ces valeurs tirées de l'ancienne mesure. Pour trouver e % , on se

rappellera que e* = i — b % (page 68) , et que b = — , n et m

étant les deux axes de la terre. Ainsi , dans l'hypothèse de ^

d applaussement, * i - = (a3o) . ^ »•

ainsi des autres.

La formule qui donne L' suppose L > L' $ ce qui arrivera toutes les fois que cos z sera positif, ou que * sera entre 270" et yo". Si , au contraire, z éloit entre 90 et 270' , cos s deviendrait négatif, et / cOs z deviendrait additif à L.

Le petit terme f / sin '/ sin* s tang L ne pourroit changer de signe que dans le cas seulement où la latitude L deviendrait australe. Ainsi, dans l'hémisphère boréal, ces deux termes seront de même signe , si cos z est positif, et de signe différent dans le cas contraire.

Pour avoir la correction d'à pplatisse ment , il faut multiplier par e* cos» L l'ensemble des deux termes précédens j et la correction est toujours de même signe que la différence de latitude ou que l'ensemble des deux premiers termes.

Dans la formule qui donne le terme — / sin * tang L' deviendrait positif, si z > 180 0 ou L' australe. Si ces deux circonstances avoient lieu en même temps- , oe terme demeurerait négatif} le terme suivant — £ f sin / sin a * seroit positif , si a x surpassoil 180 e .

/• sin z

Dans la valeur de M' , le terme pr— ne peut devenir

cos L r

négatif que dans le cas où z > 180°.

Si la valeur de M' est négative , c'est une marque que la Ion* gitude M' est à l'est de celle du point de départ.

Dans la valeur de rfP, le seul terme qui demande à être calculé avec précision est le premier ( R cos ~ / cos x ) , et il devient négatif quand z est entre 90 et 370°.

D'UN ARC DU WÉRIDiENl i63

Le second terme

+ K cos j / cos z tarig { f& a * tang Z IsfcgL ^ K. sin ~ f sin" z t ang L

est toujours positif dans l'hémisphère boréal, et toujours négatiÇ dans l'hémisphère austral.

Le troisième terme > il

^-iKTO^/cd**sin^tfc ^iTsînVt^Lib— » K^n*^co8 z sin««tg*L

ne peut devenir positif que dans le cas où * est entre 90 et 270*.

Le terme suivant est toujours de môme signe que la somme des trois premiers.

Enfin le dernier ternie

— -K cos î«f cos «tang xtf* sin 1"= — It cos£ /sinr dz sin 1*

fait voir que l'erreur sur Tare du méridien est toujours de signe contraire à Terreur dz de l'aximuth , tant que l'azimuth est moindre que de 180°, et de même signe que cette erreur dans le cas contraire.

Les transformations que je viens de faire subir à différens termes de la valenr de rfP, paraissent simplifier l'expression; mais eHes àlongeroient réellement le calcul. J'ai disposé la formule de manière è ce que le facteur ( K cos 7 <P cos z ) fût commun à tous les termes, et que son logarithme servit pdu* tous.

Tous ces petits termes n'exigent qu'une connoissance appro» chée de L et de ~ et on peut se contenter de 4 ou 5 déci*males tout au plus dans les logarithmes. Ainsi , dans le cas où l'on ne voudrait calculer que l'arc du méridien sans s'embarrasser de bien connoître les latitudes ni les longitudes , on pourroit se contenter des formules suivantes pour préparer les calculs de d?.

* = (tWin »") L' = L — î cos *

z' «= 10V + * — / sin z tang V — £ * sin J'sin a z ; ce qui simplifierait beaucoup le calcul.

t64 DE LA DÉTERMINATION

Calcul des Différences de Niveau.

Avant d'entreprendre ce calcul , il faut réduire au sommet du signal toutes les distances au zénith , observées au pied du signal. Pour cela , il faut ajouter à la distance observée la . , dH sin a

quantité - . — 7- j cette correction est toujours positive. \j sm 1 1

rfH est la partie du signal qui étoit au-dessus de la lunette dans l'observation de distance au zénith j a la dislance observée et D la distance rectiligne entre l'observateur et le point observé : D est donc le côté d'un triangle.

On a vu , page io4 , que Ton ponvoit calculer les différences de niveau , à très-peu prés comme si la terre étoit sphérique. On pourra donc employer les formules des pages g3 et suif. Seulement à l'angle C formé au centre de la terre réputée sphérique , et qui seroit dans un rapport constant avec la corde K ,

on pourra substituer un autre angle C = ^ (1 +i **»in'L), et même pour la France C = (1 +je').

Le cas le plus simple est celui où l'on auroit les deux distances au zénith f et f. Supposons , par exemple , que d'un point A on ait observé la distance au zénith / d'un objet B dont on cherche l'élévation au-dessus du point A , et que réciproquement du point B on ait observé la distance au zénith f du point A; ces deux distances sont déjà réduites aux sommets des signaux , comme il vient d'être dit.

Soit , par exemple. . /* = 89° 1 4' a4*

log K 4,57950 v 1 63 38

. i + i**8in'L Q . /)-— 56 44

= ia'54" 8,87747 i(^W)+-;C=— 44 10

D'UN ARC DU MÉRIDIEN. i65 La formule exacte se calculera comme il suit {voyez pag. 44) :

log K. 4,37960

sin £ (/'—/) = sin— 56' 44"— 8,ai 7 54

C o m pl.co 8 (^ +f c)^^ 10 ^0,00004 " • rfN =s —595,44 —2,59708 N = + 832,06 = hauteur du point A au-dessus de la mer N = + 4a6,6a =hauteurdupointB.

f — * est négatif, et partant sin £ (/'—/) et rfN le sont aussi. Cos ( — — + ic) est positif, et le sera toujours dans ces calculs-, quand même l'arc seroit négatif, comme il l'est ici.

m est le module ou la mesure employée dans mes calculs provisoires } elle diffère peu de la toise du Pérou . Calculons maintenant la formule approximative.

tangK^— *) — 8,ai 7 6o

KtangK^-«r) =-596^6- 2 ,5 97 , 0 " C.cosiC==ia'34" 0,00000

premier terme — 395,46 — 2,59710 tang ± C + 7,56295 tangf (/'—/) — 8,21760

+ 0,0a 8,37765 dN = — 3 9 5,44

On voit que les deux formules donnent la même chose , et qu'on auroit pu s'en tenir à K tang $ /) . ce qui eût ' été plus court, parce qu'on auroit été dispensé de connoître^Cj et cependant j'ai choisi entre Dunkerque et Rodez l'exemple dans lequel le second terme se trouve au maximum.

i66 DE LA DÉTERMINATION

Si l'on n'eût observé que / , et que f eût été inconnu , on eût été obligé de recourir à la formule

KcosQr+ r— j C) Kco»(/4-o,o8C— o,5C) Kcos(A-o,4aC ) sin {î+r—CT sin(/+o,o8C— C) ~~ o.gaC) '

0,42 C ss 633,56 =* 10' 53",4

/—o,43C = 90 57 18,6. .. , cos. ..— *■ 8,2*194

0,9a C =s= 90 44 44,6 corn pl. «in + 0,00004

rfN = — 399,47 3,60148

dN est par ce calcul plus fort de 4,o3 ; c'est que la réfrac» tion terrestre ce jour-là n'étoit pas de 0,08 C , qui est à-peu» près la quantité moyenne.

Supposons maintenant qu'on n'eût observé que /' ; dans ce cas , d'après la formule approximative , page 97 , on feroit le «aïeul suivant :

— cotang 89 3 5o,6 — 8,ai3i7