Construire un triangle, connaissant a, b -\- c et Wa

Comme les centres des cercles inscrits et ex-inscrits

et les points d'intersection de leurs tangentes communes sont des points harmoniques, leurs projections sur AB doivent aussi être des points harmoniques. De ces quatre points, on en connaît trois; par suite on détermine aisément le quatrième.

Le problème peut se résoudre plus facilement, en traçant Wa et déterminant ^ et (^ au moyen de cette propriété, que leurs distances aux extrémités de Wa sont entre elles dans le rapport connu [b -{- c) : a.

Multiplication des courbes.

Si, d'un point P, on mène - une droite à un point quelle conque A d'une courbe donnée K, et si l'on divise cette droite par un point a tel que Pa:PA = m\n, le lieu géométrique de a est une courbe k, semblable à la courbe donnée.

On dit des deux courbes, qu'elles sont semblables l'une à l'autre et semblablement placées. P s'appelle le centre de similitude et les droites passant par P les rayons de similitude. On dit que les deux points A et a des courbes situés sur le même rayon sont homologues; que des droites sont homologues quand elles joignent des points homologues. Cette conception peut se généraliser; car un point quelconque du plan peut être considéré comme appartenant à un des systèmes et par suite il a son homologue dans l'autre. Le centre de similitude est alors le point du plan qui, considéré comme appartenant à un des systèmes, coïncide avec son homologue dans l'autre système. Comme la théorie de la similitude est traitée dans la plupart des ouvrages de géométrie, nous nous contenterons de rappeler les théorèmes suivants:

A une droite ou à un cercle correspond une droite ou un cercle.

Toutes les lignes homologues sont parallèles.

Tous les angles homologues sont égaux.

Toutes les lignes homologues sont dans le rapport de m : n. Les figures sont dites semblables suivant ce rapport.

Si l'on porte Pa sur le prolongement de PA, de l'autre côté de P, ces théorèmes subsistent encore. On dit alors que les systèmes sont inversement semblables.

Deux cercles quelconques peuvent être regardés comme directement ou inversement semblables. Les centres de similitude s'appellent les centres de similitude extérieurs ou intérieurs des deux cercles.

A l'aide de ce qu'on vient de dire, on peut résoudre un problème général qui trouve très-souvent son application.

Par un point P, mener une droite qui coupe deux courbes données K et K' en des points A et a tels que PA et Pa soient entre eux dans un rapport donné m : n.

On considère le point donné comme un centre de similitude et l'on construit une courbe k semblable k K et dans le rapport de n: m. Elle coupera K' aux points cherchés. Le nombre des solutions est égal au nombre des points d'intersection de K' et k. Le problème peut toujours se résoudre avec la règle et le compas, toutes les fois que les courbes données se composent de droites et d'arcs de cercle.

Si le point donné doit être du mène côté que A et a m : n positif), on trace k en similitude directe avec K; si au contraire, il doit être entre A et a [m : n négatif), on construit k inversement semblable à K.

Quand il s'agira de tracer une courbe semblable à une autre courbe donnée et dans le rapport de ;// : n, je dirai, pour abréger

le langage, qu'on multiplie la courbe donnée par ± — par

rapport au centre de similitude, les signes -f- et — s'appliquant respectivement à la similitude directe et à la similitude inverse.

S'agit-il de multiplier une droite.'' Sa direction ne change pas et il suffit par suite de multiplier un de ses points.

S'agit-il d'un cercler on n'a qu'à multiplier le centre et le rayon, ou le centre et un point de la circonférence.

Exemples.

117. Par un point donné O, mener une droite qui coupe deux droites données de telle manière que les distances de O aux points d'intersection soient entre elles dans le rapport m : n.

Prenons 0 comme centre de similitude et multiplions

par± — une des droites données; puis menons une droite

par O et par le point d'intersection de la dernière ligne avec celle qui n'a pas été multipliée.

118. Par un point 0 situé à l'intérieur d'un cercle donné, mener une corde qui soit divisée par le point en deux segments qui soient entre eux dans le rapport m : n.

Prenons 0 comme centre de similitude et multiplions

le cercle par ; les lignes cherchées passeront alors

par les points où le nouveau cercle coupe le cercle donné. Si le point donné est extérieur au cercle, on multiplie

ce dernier par — ou — .

Si le segment en dehors du cercle doit être dans le rapport de — avec la corde interceptée, on multipliera

par ou — ■ — .

119. Par un des points d'intersection O de deux cercles, mener une droite qui détermine des cordes égales dans leur intérieur.

On multiplie l'un des cercles par — i, en prenant O comme centre de similitude.

120. Dans un quadrilatère donné, inscrire un parallélogramme dont le centre soit en un point donné.