Construire un triangle, connaissant ses trois hauteurs

Le rapport des côtés est connu. D'un point quelconque menons à un cercle trois sécantes dont les segments extérieurs soient égaux aux hauteurs données, les sécantes entières sont entre elles dans le même rapport que les côtés du triangle cherché.

153. Inscrire dans une demi-circonférence un quadrilatère semblable à un quadrilatère donné, de manière que deux de ses sommets .soient sur le diamètre et les deux autres sur la circonférence.

On trace un demi-cercle autour du quadrilatère donné.

La figure ainsi obtenue est semblable à celle qu'on

cherche, b) Dans les problèmes précédents, la position de la figure cherchée était indifférente; si au contraire la figure doit avoir une situation déterminée par rapport à des lignes ou des points donnés, il faut chercher à faire abstraction d'une condition, de manière que l'on n'ait plus qu'un système de figures semblables et semblablement placées. Alors les lieux géométriques de tous les points de la figure sont des droites passant par le centre de similitude et l'on arrive facilement à la figure cherchée, en déterminant d'abord une quelconque des figures du système, puis celle qui lui est semblable et qui remplit en même temps la condition provisoirement laissée de côté. Cette condition, qu'on est conduit de la sorte à négliger temporairement, consiste généralement en ce qu'une ligne doit

avoir une longueur déterminée, ou qu'un point doit se trouver sur une ligne donnée, ou qu'une ligne doit passer par un point donné.

154. Dans un triangle donné ABC, inscrire un autre triangle abc de manière que ses côtés soient parallèles à des droites données.

Laissons de côté la condition que a doit tomber sur BC\ on satisfera aux autres au moyen d'un système de triangles semblables ayant A comme centre de similitude. Traçons l'un d'eux, par exemple aib\Cï.\ Aai coupera le côté BC en a.

155. Inscrire un carré dans un triangle, un secteur ou un segment donné.

156. Dans un triangle donné, inscrire un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

157. Par un point donné, mener une droite qui fasse des angles égaux avec deux droites données.

158. Par un point donné, mener une droite telle que trois droites données, passant par un même point, y déterminent deux segments qui soient entre eux dans un rapport donné.

Au lieu du point donné, on prend un point quelconque sur une des droites données (117).

159. Par un point donné, mener une droite qui détermine sur les côtés d'un angle donné des segments, qui soient entre eux dans un rapport donné.

160. Dans un triangle mener à l'un des côtés une parallèle qui soit dans un rapport donné avec un des segments qu'elle détermine sur un des autres côtés.

161. Mener une droite de direction donnée, sur laquelle les côtés de deux angles donnés déterminent deux segments qui soient entre eux dans un rapport donné.

Soient BAC et DEF les angles et X le point cherché sur £F] si on laisse EF de côté, X décrira une ligne droite passant par le point de D£, qui se trouve sur une droite passant par A et ayant la direction donnée.

162. Construire un triangle isocèle, connaissant la hauteur et la médiane relatives à un des deux côtés égaux.

On peut tracer de suite le triangle dont les droites données sont les côtés et l'on connaît alors la forme du triangle qui a la médiane pour l'un de ses côtés et le sommet du triangle isocèle pour sommet opposé.

163. On donne un point A d'une circonférence et une corde BC. Mener une corde AD qui coupe BC en E, de manière que DE et DC soient entre eux dans un rapport donné.

On connaît la forme du triangle CED et on trace un triangle semblable, en prenant C comme centre de similitude.

164. On donne deux rayons dans un cercle; mener une corde qui soit divisée par eux en trois parties égales.

165. Dans un quadrilatère, inscrire un losange dont les côtés soient parallèles aux diagonales du quadrilatère.

166. Dans un triangle donné inscrire un triangle XVZ; on connaît la direction de VZ, le point de BC où X doit

■ tomber et le rapport XV : XZ.

On considère BC comme n'existant pas (mais on garde bien entendu la ligne qui va de A au point donné sur BC) et on prend A comme centre de similitude.

167. Mener une ligne de direction donnée, qui divise suivant le même rapport un couple de côtés opposés d'un quadrilatère (154)-

168. Dans un triangle, mener une droite parallèle à l'un des côtés et de telle manière qu'elle soit moyenne proportionelle entre les segments suivant lesquels elle divise un des autres côtés.

169. On donne un point B et deux parallèles dont l'une passe par un point A. Mener par A et B deux nouvelles parallèles qui, avec les deux premières, déterminent: I- un losange; 2= un parallélogramme de périmètre donné ; 3- un parallélogramme dont les côtés soient dans un rapport donné.

■3 2 tIEUX GEOMETRIQUES DE POINTS.

170. Dans un triangle, inscrire un losange dont un des angles coincide avec un angle du triangle.

171. Inscrire un triangle isocèle dans un cercle, connaissant la somme de la hauteur et de la base.

On considère A ACB comme le triangle cherché et on introduit dans la figure la somme donnée en prolongeant la hauteur BD jusqu'en £; on doit alors avoir D£ == 2AD, en sorte que la forme du triangle ADE est connue; le problème se résout facilement alors en prenant E comme centre de similitude.

172. Dans un triangle, inscrire un rectangle de périmètre donné.

On introduit le démi-périmètre dans la figure.

173. Dans un triangle, inscrire un autre triangle dont un sommet A tombe en un point donné d'un des côtés; en outre l'angle A est donné et le côté opposé à cet angle doit être parallèle à une droite donnée.

174. Dans un triangle inscrire un parallélogramme dont les côtés soient entre eux dans un rapport donné. L'un des côtés doit se trouver sur BC et en outre l'un des sommets être en un point donné de BC.

1^$. Déterminer sur l'un des côtés d'un triangle donné un point tel que les droites menées de ce point, dans des directions données, jusqu'à rencontre des deux autres côtés aient une somme donnée.

176. On donne un segment AB et deux parallèles AX et CY. Mener par B une droite qui coupe les deux parallèles en deux points X et Y tels que AX et AY soient entre eux dans un rapport donné.

On fait abstraction du point B\ on choisit sur AX un point arbitraire X\ au lieu de X et on détermine le point Fi correspondant à Y sur A Y.

lyj. On donne un angle A et un point P. Mener par ce dernier une droite XY, qui coupe les côtés de l'angle en des points X et F tels que la distance du sommet de l'angle à XY soit dans rapport donné avec XZ, qui a une

direction donnée et joint X avec un point Z sur l'autre côté de l'angle.

On fait abstraction de P et l'on choisit arbitrairement sur AX le point X\ au lieu de X.

178. Dans un triangle ABC, mener une ligne de direction donnée qui coupe AB en X, BC en F, de telle manière que AX et CY soient entre eux dans un rapport donné.

La forme de AXYC est connue; on prend A comme centre de similitude et on choisit .5 à la place de X.

179. Dans un triangle ABC, mener une transversale XY de manière que BX = XY = YC-

La forme de BXYC est connue.

A ce problème on peut ramener le suivant: Construire un triangle, connaissant A, a -\- b et a -\- c.

180. Dans un triangle ABC, mener une transversale XY parallèle à BC, de manière qu'il y ait une relation homo-

gène donnée entre XY, XB et YC (par exemple: JfF =

XB . YC; XY = XB -\- YC^, %lc.).

181. Tracer un cercle, qui passe par un point donné A et soit tangent à deux droites données, qui se coupent en O.

Un cercle quelconque, tangent aux deux droites, doit être semblable à celui qu'on cherche, O étant le centre de similitude. La droite OA doit couper le cercle ainsi tracé en un point qui est l'homologue du point A dans le cercle cherché. Aux deux points d'intersection correspondent donc deux solutions. Menons dans le cercle tracé des rayons allant aux points d'intersection; nous aurons les centres des cercles cherchés, en menant par A des parallèles à ces rayons.

182. Sur une droite donnée, trouver un point qui soit à égales distances d'un point donné et d'une droite donnée (Intersection d'une droite et d'une parabole).

On fait abstraction du point donné et on choisit le point d'intersection des droites données comme centre de similitude. En réalité, ce problème est le même que le précédent.

183. Sur une droite donnée, trouver un point dont les distances à un point donné et à une droite donnée soient dans un rapport donné (Intersection d'une droite et d'une conique déterminée par un foyer, une directrice et l'excentricité).

Au lieu de la perpendiculaire abaissée du point cherché sur la ligne donnée, on peut choisir une droite qui fasse avec la droite donnée un angle quelconque donné, sans qu'il y ait de changement essentiel dans la solution.

184. Construire un cercle qui ait son centre sur une droite donnée, qui passe par un point donné et sur lequel une droite donnée détache un arc dont l'angle au centre soit donné.

185. Tracer un cercle qui passe par deux points donnés et soit tangent à une droite donnée.

186. Dans un triangle ABC, mener une ligne de direction donnée, qui coupe AB en X et BC en F, de manière que XY et VA aient une somme donnée.