Construire un triangle, connaissant a, B et â — /i

On prolonge k^ du segment donné â — /i^ au delà de a (182).

188. Construire un triangle, connaissant A, a — c, et k/, -f- CDy D désignant le pied de hi,.

On prolonge CD jusqu'en E, de manière que DE = hb et BA jusqu'en F, de manière que AF ^^= a — c Comme on le voit facilement, on peut tracer CE, z CEB = 45 ^ et mener par F une parallèle à CE. On détermine alors B (183).

189. Construire un triangle, connaissant a, A oX b -\- nc\ n est un nombre donné.

190. Construire un triangle, connaissant A, b -\- c ç.\. a -^ c.

On prolonge <^ de c au delà de A jusqu'en D, et c de a au delà de B\ on voit alors qu'on peut tracer CD, puis DB et déterminer B (183).

191. Dans un triangle donné ABC, inscrire une demi-circonférence, tangente à BC en un point donné P et dont les deux extrémités soient sur les deux autres côtés.

On multiplie AB ou AC par — i par rapport à P, et le problème se ramène au N° 173.

Figures inverses.

Une droite tourne autour d'un point fixe P (le centre d'inversion) tandisqu'en même temps un point mobile A de la droite parcourt une courbe donnée K. Sur la droite, déterminons un point A\ par la condition que PA . PAi = /, où / (la puissance d'inversion) est une quantité constante (positive ou négative). Le point Ai décrira une courbe Ki. On dit des courbes K et Ki que l'une est la courbe inverse de l'autre (la transformée par rayons vecteurs réciproques). A et Al sont dits points correspondants.

La courbe inverse d'une droite est un cercle qui passe par le centre d'inversion.

Soit PB une perpendiculaire à la droite donnée, B et Bi deux points correspondants et A et A\ deux autres points correspondants. De la relation

PA . PAi = PB . PBx

il résulte que les triangles BPA, AiPBr sont semblables, en

sorte que z PAiBi = — . Le lieu géométrique de Ai est

donc un cercle qui a PBi pour diamètre.

Si la droite donnée passe par le centre d'inversion, elle est à elle-même sa propre courbe inverse.

Si Al parcourt la circonférence, A décrira la droite; la courbe inverse d'un cercle passant par le centre d'inversion est donc une droite.

La courbe inverse d'un cercle, qui ne passe pas par le centre d'inversion, est un cercle; et le centre d'inversion est un centre de similitude pour celui-ci et pour le cercle donné.

Soient B et Bi deux points correspondants, tandis que PB coupe le cercle une seconde fois en D. Les deux produits PB X PBi et PB X PD sont alors constants; par suite le rapport PBi : PD est aussi constant. On trouve donc le lieu

géométrique de Bi en multipliant par rapport à /* le lieu géométrique de D (le cercle donné) par une constante. Le lieu est ainsi un cercle semblable au cercle donné et ayant P pour centre de similitude. Si la puissance d'inversion est égale à la puissance de P par rapport au cercle donné, ce dernier sera à lui-même sa propre courbe inverse.

On a prouvé que B et B\ parcourent en même temps des circonférences; il faut toutefois remarquer qu'ils ne décrivent pas en même temps des arcs semblables; au contraire B\ et D parcourent des arcs semblables et semblablement placés.

On peut maintenant résoudre le problème général suivant:

Par un point donné P, mener une droite sur laquelle deux courbes données K et K\ déterminent deux segments PX et PX\ dont le produit soit donné.

Faisons abstraction de K\ ; le lieu géométrique de X\ sera la courbe inverse de K, qui aura P pour centre d'inversion et le produit donné comme puissance d'inversion. X\ sera donc déterminé comme point d'intersection de cette' courbe avec K\. Le problème peut se résoudre avec le compas et la règle, toutes les fois que les courbes données se composent de droites et d'arcs de cercle.

192. Par un point donné P mener une droite qui coupe les côtés d'un angle donné en .^ et ^ de telle sorte que PA . PB = a^, a étant un segment donné.

193. On donne un cercle, un de ses diamètres et un point P. Mener par P une droite qui coupe le cercle en X et le diamètre en Y, de manière que PX . PY = a^.

194. Par l'un des points d'intersection de deux cercles mener une droite telle que les cordes déterminées sur elle par ces deux cercles aient un produit donné.

195. Construire un triangle ABC, connaissant le côté du carré inscrit dont deux sommets sont sur BC, z A et \e. produit des deux segments qu'un sommet du carré détermine sur AB.

196. Construire un triangle, connaissant a, A et BD . BA, D étant le pied de hc

L'inversion s'employe souvent avec avantage, quand on veut exécuter une construction ou donner une démonstration, parceque la figure inverse est souvent plus simple que la figure donnée. Nous appellerons entre autres l'attention ici sur les relations suivantes qui existent entre deux figures inverses.

a) Si deux courbes se coupent ou sont tangentes en A, les courbes inverses se couperont ou seront tangentes au point A\ qui correspond à A.

En effet, si A est sur les deux courbes, A\ doit se trouver sur les deux courbes inverses; et si deux points d'intersection se réunissent en A, leurs correspondants coïncident également en A\.

Si A est au centre d'inversion, le théorème n'a plus lieu parcequ'en général à ce point ne correspond plus un point, mais la droite de l'infini.

b) Si deux courbes se coupent en A sous un certain angle (l'angle de leurs tangentes), les courbes inverses se couperont en A\ sous le même angle (mais pris avec un signe contraire, si l'on mesure l'angle depuis l'une des courbes jusqu'à l'autre).

On voit aisément (fig. pg. 35 et 36) que le théorème a lieu, quand l'une des courbes est un cercle et l'autre une droite passant par le centre d'inversion. Il subsiste encore pour deux cercles quelconques; car une droite menée de A au centre d'inversion passe par A\. A l'aide de cela, on peut alors démontrer facilement que le théorème a lieu pour deux courbes

quelconques; car elles forment entre elles en A le même angle que deux cercles quelconques, tangents chacun à l'une des courbes en A.

Applications.

197. Construire un cercle passant par un point donné P et tangent à deux cercles donnés.

En faisant l'inversion avec P comme centre d'inversion, le problème se ramène à mener la tangente commune à deux cercles. On peut choisir la puissance d'inversion de manière que l'un des cercles ne change pas.

198. Démontrer qu'un cercle quelconque, passant par les intersections de deux cercles, coupe sous le même angle un système de cercles tangents aux deux cercles donnés (et par suite aussi une tangente commune).

Par inversion, ce théorème se ramène au suivant: Une droite quelconque, qui passe par le centre de similitude, d'un système de cercles semblablement placés, coupe tous les cercles sous des angles égaux.

199. Construire un cercle tangent à trois cercles qui passent tous par le même point.

200. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère dont les côtés passent chacun par un point donné.

Soient a, b, c et d les points par lesquels passent respectivement AB, BC, CD et DA. On se sert de ces points comme centres d'inversion en prenant comme puissance d'inversion pour chacun d'eux sa puissance par rapport au cercle. Après quatre inversions successives autour de a, b, c et d, A viendra retomber en A. Soit P le point qui, après trois inversions autour de a, b et c vient tomber en d; on trouve ce point en faisant successivement l'inversion de d autour de c, b et a. Tout cercle ou toute droite passant par P se transforme, après inversion autour de a, b et c, en un cercle passant par d et en conséquence, par inversion autour de d, devient une droite, La droite PA, après quatre inversions, se

transforme donc en une droite Pi A, Pi étant le point que l'on obtient quand on fait successivement l'inversion de a autour de b, c et d. Mais comme l'angle que PA fait avec le cercle n'a changé ni en grandeur ni en signe après les quatre inversions, et que le cercle reste le même, PA et P\ A doivent former une seule et même droite.

La solution est donc la suivante: On détermine P\ par l'inversion de a autour de b, c et d\ puis P par l'inversion de d autour de c, b et a. La ligne PP\ coupe le cercle en A

La solution peut s'étendre facilement à une figure quelconque d'un nombre pair de côtés.

20 1. Dans un cercle inscrire un triangle ABC de manière que chaque côté passe par un point donné {a, b et c).

On procède comme dans le problème précédent, en ne faisant que trois inversions au lieu de quatre. La conséquence en est que PA et P\. A ne forment plus une même droite, parceque les angles qu'elles font avec le cercle sont de signe contraire. On fait l'inversion, autour de a, b et c, d'un des points où Pa coupe le cercle; soit Q le point ainsi trouvé. Après l'inversion, les lignes aP et PA se sont donc transformées en QP\ et P\ A qui font entre elles le même angle que les deux premières lignes. Ces angles ont le même signe (on en voit facilement la raison, en suivant l'inversion; les lignes se correspondent deux à deux, mais leurs points d'intersection ne se correspondent pas) et les quatre lignes forment un quadrilatère composé de cordes, tel que A se trouvera déterminé par un cercle passant par P, P\ et le point d'intersection de aP et P\ Q.

Cette solution peut facilement s'étendre à un polygone quelconque d'un nombre impair de côtés.

Lieux géométriques en général.

En outre des lieux géométriques que nous avons indiqués dans ce qui précède, il en existe beaucoup d'autres, qui sont

souvent appliqués, mais dont l'étude individuelle prendrait trop de temps. Il faudra donc, dans chaque problème où les lieux mentionnés plus haut ne pourraient pas trouver leur emploi, rechercher ou tâcher de trouver les droites ou les cercles qui sont les lieux géométriques des points de la figure. Dans ce cas, un dessin fait avec soin pourra être un auxiliaire, peu scientifique il est vrai, mais très- pratique.

Il arrive souvent que, si l'on a une figure qui doit être tracée dans une position déterminée, on pourra, en laissant de côté une des conditions qui lui sont imposées, la dessiner dans une situation en partie arbitraire, puis la ramener dans la position requise par une translation parallèle ou une rotation autour d'un certain point. Les lieux géométriques des points de la figure sont respectivement alors des droites parallèles ou des cercles concentriques.

Exemples.

202. Tracer un cercle de rayon donné, dont le centre soit sur une droite donnée et dans lequel une autre droite donnée détermine une corde de longueur donnée.

On trace le cercle de manière que, dans une position arbitraire, il intercepte la corde donnée sur la droite donnée; on peut ensuite l'amener dans la position requise en faisant décrire à son centre une droite parallèle à la droite donnée.

203. Décrire un cercle de rayon donné, dont le centre soit sur une circonférence donnée et qui coupe un autre cercle suivant une corde de longueur donnée.

204. Décrire un cercle de rayon donné, qui passe par un point donné et coupe une droite donnée suivant une corde de longueur donnée.

205. Construire un triangle congruent à un triangle donné, qui ait un côté sur une droite donnée et le sommet opposé sur une autre droite donnée.

206. Dans un segment de cercle donné, inscrire un triangle congruent à un triangle donné.

207. Décrire un cercle de rayon donné, qui coupe deux droites ou deux cercles donnés suivant des cordes données.

208. Mener à un cercle une tangente sur laquelle deux droites parallèles données, ou deux cercles concentriques donnés, interceptent un segment de longueur donnée.

209. Par un point donné mener une droite telle que le segment de cette droite, compris entre deux cercles concentriques donnés, soit vu de leur centre sous un angle donné.

210. On donne deux cercles; déterminer un point tel que les tangentes menées aux deux cercles comprennent un angle donné et que l'une d'elles ait une longueur donnée.

On mène la tangente dont la longueur est donnée, de manière qu'elle soit tangente à l'un des cercles en un point quelconque et, à son extrémité, on construit l'angle donné; on fait alors tourner l'autre cercle autour du centre du premier jusqu'à ce qu'il soit tangent à la seconde ligne; puis on ramène le tout dans la première position.

211. Tracer un cercle, qui soit tangent à deux parallèles données et passe par un point donné.

212. Par un point donné, mener une ligne sur laquelle deux couples de parallèles déterminent des segments égaux.

La ligne doit être parallèle à la diagonale du parallélogramme formé par les deux couples de parallèles.

213. Tracer deux cercles de rayons donnés de telle sorte que l'un d'eux détermine sur une droite une corde de longueur donnée et que l'autre intercepte sur une seconde droite une autre corde donnée; de plus les cercles doivent être tangents et leur tangente commune doit avoir une direction déterminée.

214. Dans un cercle donné, inscrire un triangle dont un côté est donné et dont la médiane relative à ce côté passe par un point donné et ait une direction donnée.

215. Inscrire dans un cercle un triangle, dont on donne un côté et la médiane relative à un des autres côtés et qui

soit tel que le point d'intersection des médianes soit sur un diamètre donné.

216. Dans un cercle donné mener une corde de longueur donnée de telle manière qu'elle soit coupée par un diamètre donné, suivant un rapport donné.

217. Dans un quadrilatère donné, inscrire un parallélogramme dont les côtés aient des directions données.

On fait abstraction d'un des côtés du quadrilatère; alors le sommet libre du parallélogramme décrit une droite.

218. Par un point donné, mener une droite qui coupe trois droites données de telle manière que les points d'intersection et le point donné soient harmoniques.

On laisse une des droites de côté; alors le point libre décrit une droite qui passe par le point d'intersection des deux autres droites données.

219. Construire un triangle connaissant Wa, B et la distance de C à Wa

On trace Wa et on élève une perpendiculaire à Wa en A. Le problème est maintenant ramené au précédent, avec cette différence qu'a la place d'une des droites données, on a l'arc qui est capable de / B.

B. Lieux géométriques de lignes.

La ligne droite, de même que le point, est déterminée quand elle doit satisfaire à deux conditions. Comme celui-ci aussi, elle sera partiellement déterminée par une seule condition, parcequ'il existe toujours une courbe à laquelle doivent être tangentes toutes les lignes qui remplissent cette condition. Par analogie, ou peut donc donner à cette courbe le nom de lieu géométriques des lignes. Dans des cas particuliers, cette courbe peut être un point, en sorte que toutes les lignes, qui ont la propriété requise, passent par ce point. A l'exception de ce cas, nous n'aurons à considérer ici que ceux où la courbe est un cercle.

Si donc on peut déterminer deux lieux géométriques pour une ligne, le problème se ramène à l'un des suivants: i^. Mener une droite par deux points donnés. 2^. Par un point donné, mener une tangente à un cercle (i6). 3^. Mener la tangente commune à deux cercles (137).

Dans ce qui suit, nous indiquons les lieux géométriques de lignes les plus importants.

1. Le lieu géométrique de toutes les cordes égales d'un même cercle est un cercle concentrique au cercle donné.

On trace dans le cercle la corde de longueur donnée et l'on mène le cercle concentrique qui lui est tangent.

m. Le lieu géométrique des lignes, dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport donné, est le point qui divise, suivant le rapport donné, la ligne qui joint les points donnés. Il faut prendre les distances chacune avec un signe.

n. Le lieu géométrique des lignes, dont les distances à deux points donnés ont une somme donnée, est un cercle dont le centre est au milieu de la ligne qui joint les points.

Si la différence des distances doit être égale à une ligne donnée, le lieu géométrique se compose de deux points infiniment éloignés et les lignes forment alors deux systèmes de parallèles. Leur direction est déterminée par les tangentes qu'on mène d'un des points au cercle décrit autour de l'autre comme centre, avec la ligne donnée pour rayon.

Les distances doivent être prises ici chacune avec un signe.

O. Dans un cercle, on trace des angles inscrits dans le même arc et on les divise suivant les deux mêmes angles; le lieu géométrique des lignes de division est le point de l'arc que l'on obtient en divisant de .la manière donnée un quelconque des angles inscrits.

p. Par deux points donnés, on mène des cercles qui coupent (ou sont tangents, à) un cercle donné;

le lieu géométrique des cordes communes est un point de la ligne qui joint les points donnés.

Soient A et B les points

donnés, et supposons un cercle

quelconque, mené par ces points,

qui coupe le cercle donné en C

et D. La ligne CD rencontrera

alors AB en 0, lieu géométrique

cherché ; car si un autre cercle

quelconque, passant par A et B,

coupe le cercle fixe aux points

£ et F, les lignes F£, DC et AB sont les lignes d'égale

puissance des trois cercles; et comme elles se coupent en un

même point, EF doit passer par O.

Exemples.

220. Par un point donné, mener une droite qui soit coupée par un cercle donné suivant une corde de longueur donnée.

A l'aide de 1, le problème se ramène à i6.

221. Mener une droite qui détermine dans deux cercles donnés des cordes de longueurs données.

222. Mener une droite qui coupe une droite donnée en X et un cercle donné en Y et Z, de manière que XY et YZ aient des longueurs données.

A l'aidé de 1, le problème se ramène à ii.

223. Inscrire dans un cercle donné un triangle semblable à un triangle donné et dont un côté passe par un point donné.

224. Tracer dans un cercle donné une corde de longueur et de direction données.

ilEUX GÉOMÉTRIQUES DE LIGNES 45

225. Inscrire dans un cercle donné un triangle dont un côté soit égal et parallèle à une ligne donnée et dont la bissectrice de l'angle opposé passe par un point donné.

On a immédiatement un côté (1); on connaît alors deux points de la bissectrice de l'angle opposé.

226. Dans un cercle donné, inscrire un triangle, connaissant la direction d'un côté, la bissectrice de l'angle opposé, et un point de cette dernière.

La direction donnée d'un côté détermine le milieu de l'arc correspondant et par suite la bissectrice de l'angle opposé.

227. Par un point donné mener une droite dont la distance à un point donné soit égale à la somme de ses distances à deux autres points donnés.

228. On donne les points A et B sur une circonférence de cercle donnée. Par un point donné P, mener une droite qui coupe le cercle aux deux points X et F, de telle manière que AX et BV forment entre elles un angle donné (220).

229. Diviser un arc de cercle en deux parties telles que leurs cordes soient dans un rapport donné.

L'angle que font entre elles les cordes cherchées sera

. bissecté par la ligne qui divise la corde de l'arc donné

suivant le rapport donné et qui passe par le milieu de

l'arc qui, avec l'arc donné, complète la circonférence

entière.

230. Par un point donné, mener une droite qui passe par le point d'intersection de deux droites données, sans que celies-si soient prolongées de manière à se couper.

On mène entre les lignes données deux parallèles, dont l'une passe par le point donné; la ligne cherchée coupe les deux parallèles dans le même rapport.

231. Construire un triangle, connaissant les portions suivant lesquelles z A et a sont partagées par une ligne AD.

On trace le cercle circonscrit dans lequel a est une corde; on connaît alors deux points de AD (o).