Construire un triangle connaissant bc, ma et B — C

Si l'on retourne le triangle pour le mettre dans la position BAi C, la surface connue de AiBA sera égale à la surface du triangle isocèle qui a m^ pour côtés. 3) A superposer des lignes ou des angles de même grandeur. Ce procédé s'employe très souvent quand les éléments de même grandeur sont inconnus et la méthode sert, dans une certaine mesure, à les éliminer. On peut employer une méthode analogue quand on connaît le rapport de deux lignes; pour les superposer on fait croître une partie de la figure suivant le rapport donné pendant qu'on opère en même temps le retournement.

316. Construire un quadrilatère inscriptible y^^t^Z), connaissant les quatre côtés.

On multiplie les côtés du triangle ABC par AD : AB et on le retourne dans la position AD Ci, où DCi et CD forment alors une ligne droite. On peut maintenant construire le triangle CACi\ car on connaît le rapport CA : CiA de même que CD, DCx et DA.

317. Dans un cercle, inscrire un triangle connaissant les milieux des arcs que soustendent les côtés.

Soit ABC le triangle cherché, y le milieu de AB, ^ celui de AC et a celui de BC. Faisons tourner A autour du diamètre passant par y, puis de ceux passant par a et ^; ce point viendra de nouveau retomber en A; tandisqu'un point quelconque de la circonférence, qui est à une distance déterminée de A, se retrouvera, après une opération semblable, à la même distance de A mais du côté opposé. On pourra donc déterminer A en partant d'un point quelconque, puisqu'il se trouvera au milieu de la position de ce point et de celle qu'il vient occuper après les trois retournements. Le problème peut

s'étendre à un polygone à n sommets; mais on voit aisément qu'il est indéterminé ou impossible quand n est pair, tandisqn'il est déterminé quand n est impair.

318. On donne une droite et un point A sur cette droite; mener par le centre 0 d'un cercle donné une droite qui coupe la circonférence en Y et la droite donnée en X de telle manière que XY et XA soient dans un rapport donné.

On amène XY (en le multipliant) en superposition sur XA: 0 vient en un point connu 0\ et A Y est la parallèle à OOi.

319. Construire un quadrilatère, connaissant AB, AD, / B, Z Z> et le rapport BC : CD.

On employé le même retournement qu'au N° 316.

4) A constituer une figure symétrique, de telle manière qu'un point cherché soit sur l'axe de symétrie.

320. Sur une droite donnée trouver un point qui soit à égale distance d'un point donné de cette même droite et d'une autre ligne donnée.

On élevé une perpendiculaire au point donnée et l'on bissecte l'angle qu'elle forme avec la droite donnée.

321. Construire un cercle qui soit tangent à une droite donnée en un point donné et coupe un cercle donné suivant un angle donné.

On déplace le cercle donné de manière qu'il coupe la droite donnée au point donné et sous l'angle donné. L'axe de symétrie des deux cercles passera par le centre du cercle cherché.

5) A amener une portion de la figure dans une position telle que deux points inconnus se confondent en un seul, tandis que deux lignes qui passent par ces points font entre elles un angle connu et contiennent chacune un point connu. On peut alors tracer un cercle qui passe par le point d'intersection des deux droites.

322. On donne deux cercles et deux points A et B sur la circonférence de l'un d'eux. Trouver sur cette même circonférence un point X tel que AX et BX rencontrent l'autre cercle respectivement aux points M et A' de manière que MN ait une longueur donnée.

Soit O le centre du second cercle, l'angle MON est connu. Faisons tourner MA de cet angle autour de O, M vient en A" et A en un point connu Ai. Comme MA et A'B font entre elles un angle connu, l'angle BNA\ est connu et A" se trouve par là déterminé.

Exemples divers pour le retournement.

323. Dans un cercle donné inscrire un quadrilatère, connaissant deux côtés opposés et la somme des deux autres côtés.