Mener la tangente commune à deux cercles

Faisons diminuer le plus petit jusqu'à ce qu'il se réduise à un point, tandis que les tangentes le suivent; l'autre cercle doit continuer à être tangent aux tangentes; il prendra donc un rayon égal à la somme ou à la différence des rayons donnés, suivant que l'on considérera les tangentes intérieures ou extérieures. Le problème se ramène ainsi à 16.

276. Construire un cercle tangent à deux droites données et à un cercle donné.

Faisons décroître le cercle donné, jusqu'à ce qu'il se réduise à son centre; le problème se ramène à 181. Le cercle cherché peut être tangent au cercle donné de deux manières différentes, auxquelles correspond la translation des tangentes dans des directions opposées.

277. Construire un cercle tangent à un cercle donné et à une droite donnée, en un point donné.

278. Construire un cercle tangent à deux cercles donnés, et à l'un d'eux en un point donné.

Exemples divers de translation parallèle.

279. Construire un quadrilatère, connaissant ses quatre côtés et l'angle compris entre deux côtés opposés.

280. Construire un quadrilatère, connaissant les diagonales, leur angle et deux angles opposés.

281. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, leur angle et la somme ou la différence de deux côtés successifs.

TRANSLATION PARALLÈLE. Ç^J

282. Construire un triangle, connaissant ;«„, z [mé, iHc) et la surface.

283. Dans un triangle ABC, rectangle en B, mener une transversale XY de longueur donnée, de telle manière que

AX -\- XY -|- YC soit égal à un carré donné.

Le point Fi (264) est déterminé par a.

284. Construire un quadrilatère inscrit, connaissant les diagonales, leur angle et l'angle d'une diagonale et d'un côté.

285. Construire un quadrilatère, connaissant les diagonales, leur angle, le rapport de deux côtés successifs et l'angle des deux autres côtés.

286. Circonscrire à un triangle donné le plus grand triangle équilatéral possible.

287. Construire un quadrilatère, connaissant deux angles opposés, sa surface et les deux lignes qui joignent les milieux des côtés opposés.

L'angle des deux lignes données se détermine au moyen de ces lignes et de la surface. On peut alors se servir de la translation générale du quadrilatère.

288. Construire un quadrilatère ABCD, connaissant AB ., CD, Z BAC, / ACD ç.t BDA.

289. Construire un quadrilatère, connaissant deux côtés opposés et tous les angles.

290. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, leur angle et un côté.

291. Construire un quadrilatère, connaissant trois côtés et les angles adjacents au quatrième.

292. Construire un quadrilatère ABCD, connaissant AB , CD^ AC, L. ABD et z BDC.

293. Construire un quadrilatère, connaissant z BCA, z CAD, les diagonales et leur angle.

294. On donne deux parallèles L et M, une troisième droite N et un point P\ mener par P une droite qui coupe les précédentes respectivement en des points, A, B et C tels que AB et CP soient entre eux dans un rapport donné.

On transporte AB et CP dans les positions Ai Q et

5 8 TRANSLATION PARALLÈLE

QP\, Q étant le point d'intersection de M et A\ et on détermine Pi .

295. Dans un triangle AXBYC, mener A^ F suivant une direction donnée de telle manière que AX et YC aient une somme donnée.

296. Construire un trapèze connaissant les diagonales et les côtés non parallèles (142).

297. Résoudre les problèmes 169, A étant un point quelconque.

298. Construire un quadrilatère, connaissant les diagonales, deux côtés opposés et leur angle.

299. Construire un quadrilatère, connaissant la ligne qui joint les milieux de deux côtés opposés, les diagonales, le rapport de deux côtés opposés et la somme des carrés des deux autres.

On peut construire le parallélogramme ordinaire, puisqu'on en connaît les côtés et une diagonale.

300. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et la ligne qui joint les milieux des diagonales.

Analogue au précédent ou à 261.

301. Construire un triangle, connaissant deux médianes et l'angle que la troisième fait avec le côté correspondant.

302. Construire un trapèze, connaissant les côtés parallèles et les diagonales.

303. Dans un cercle donné, inscrire un trapèze dont on donne la hauteur et la différence des côtés parallèles.

304. Construire un quadrilatère, connaissant deux côtés opposés, la ligne qui divise les deux autrçs côtés opposés suivant un rapport donné, l'angle que forment ces derniers et leur rapport.

Analogue à 261.

305. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, la ligne qui joint les milieux des diagonales et la ligne qui joint les milieux de deux côtés opposés.

306. Dans un cercle, inscrire un trapèze dont on connaît la hauteur et la somme des côtés parallèles.

Le trapèze peut ce placer de telle manière qu'un diamètre pris arbitrairement le divise symétriquement.

TRANSLATION PARALLÈLE. ^Ç

Le milieu d'un des côtés non parallèles doit donc se trouver sur une ligne connue qui est parallèle au diamètre. On peut maintenant déterminer le pied de la hauteur menée par l'extrémité d'un des côtés non parallèles (271 et 336).

307. Sur une ligne donnée AB, placer une autre ligne CD de longueur donnée de manière que C et D divisent har moniquement AB.

Sur AB, comme corde, décrivons un cercle quelconque ; et en supposant le problème résolu, menons de C et D les lignes C£ et DF aux milieux des deux arcs AB. Ces lignes sont perpendiculaires entre elles et ce coupent sur la circonférence du cercle. Déplaçons CD parallèlement à lui-même jusqu'en £G; F G sera vu de D sous un angle droit.

Soit M le milieu de AB, on connait le produit et la différence de MC et MD\ on peut donc aussi résoudre le problème à l'aide de ces quantités.

308. On donne deux points A et B et entre eux deux parallèles. Mener entre celles-ci une ligne MN de direction donnée telle que AM-\-MX-\-XB soit un minimum.

309. Par un /point donné P, mener une droite dont les distances AX et BV à deux points donnés ^ et ^ aient un produit donné.

Transportons parallèlement BY en AVi, le lieu de Vi sera une droite, celui de X étant un cercle décrit sur AP comme diamètre; déplaçons parallèlement la droite d'une longueur égale au segment AB, nous avons une droite et un cercle, comme lieux géométriques pour }'.

310. D'un point donné P, on mène une ligne PA au point A d'une courbe donnée; et d'un autre point donné L, on mène la ligne LB parallèle à PA et telle que LB : PA = m : n. Quel sera le lieu géométrique de ^?

6o RETOURNEMENT.

B. Retournement.

On se sert de cette méthode, comme de la précédente, pour donner aux différents éléments une position commode pour effectuer la construction. Elle consiste à amener une partie de la figure dans une nouvelle position, en cherchant par la:

i) A réunir ensemble les éléments donnés.

311. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère ABCD, connaissant la grandeur des deux côtés opposés AB et CD et le rapport des deux autres côtés.

Retournons le triangle ABC de telle sorte que A vienne en C et C en A] B devra encore être sur la circonférence. On arrive de cette manière à placer les éléments donnés d'une manière plus commode, puisqu'on connait ainsi deux côtés successifs et le rapport des deux autres; on peut alors tracer les deux côtés donnés et déterminer le quatrième sommet (229).

Il n'y aura plus en suite qu'a ramener le triangle ABC dans sa position primitive.

312. Construire un quadrilatère circonscriptible , connaissant AD, AB, i D eV i B.

Retournons ADC autour de la ligne qui bissecte Z A ; D et C viendront en Di et Ci et D\ Ci continuera à être une tangente. Nous pouvons maintenant construire le triangle dont un côté est BDi, parceque nous connaissons ce côté et les deux angles adjacents; le cercle se détermine facilement alors, puisqu'il est tangent aux trois côtés de ce triangle.

2) A introduire dans la figure les éléments

donnés.