TROISIÈME CHAPITRE

I. Si d'un point donné O on mène des droites aux points d'une courbe donnée k; et si l'on fait tourner ces lignes d'un angle v autour de 0, tandisqu'en même temps on les fait

croître suivant un rapport donné /, on obtient une nouvelle courbe K pour le lieu géométrique des extrémités des lignes qu'on a ainsi fait tourner. Elle doit être semblable à k] car on peut imaginer qu'on ait effectué les deux opérations de la manière suivante: en premier lieu, rotation de la courbe primitive, ce qui ne fait que changer sa position; puis en second lieu, multiplication par / par rapport à O. Un point a de la courbe k déterminera par rotation un point A de la courbe K. Deux pareils points sont dits homologues. Les lignes homologues sont celles qui joignent les points homologues, et les angles homologues sont formés par les lignes homologues. Le point O peut s'appeler le centre de rotation, v l'angle de rotation et / le rapport de rotation. Pour deux points homologues quelconques, A et a, le triangle AOa doit conserver la même forme puisque z aOA = v et —- = / sont constants. On peut donc aussi dire que la courbe K est dé-

crite par le sommet A d'un triangle AOa qui, tout en conservant sa forme, tourne autour de son autre sommet 0, tandisque le troisième sommet a parcourt la courbe donnée. Quand il s'agira d'exprimer qu'on fait tourner une courbe autour de 0, d'un angle de rotation v et avec un rapport de rotation f on pourra dire qu'on multiplie la courbe par f^ par rapport à 0.

2. Tout point du plan peut être considéré comme appartenant a l'un des systèmes et aura par suite son homologue dans l'autre. En considérant le centre de rotation à ce point de vue, il sera à lui-même son propre point homologue (point qui se correspond à lui-même) et on pourrait aussi en raison de cette propriété le nommer le point double du système. On peut également imaginer que tout le plan tourne autour de 0 de telle manière qu'un de ses points parcoure une courbe donnée. Si le système tout entier des points du plan conserve sa forme pendant le mouvement, un quelconque de ses points décrira une courbe semblable à la courbe donnée.

3. Du moment qu'on connaît le centre de rotation, l'angle et le rapport de rotation, on peut faire tourner un système quelconque composé de droites et d'arcs de cercle, en employant seulement la règle et le compas. On fera tourner un point a autour de 0 en prenant z aOA égal à l'angle de rotation et faisant OA =/. Oa. Pour une droite, on n'aura qu'a faire tourner un de ses points et à mener la droite faisant avec le rayon du nouveau point un angle égal à celui que faisait la droite primitive avec le rayon allant au point qu'on a fait tourner.

Pour un cercle, il suffira de trouver les homologues de son centre et d'un point de sa circonférence.

4. Au moyen des propositions qu'on vient de développer, on peut résoudre le problème général qui suit:

Placer un triangle, semblable à un triangle donné, de telle manière qu'un de ses sommets soit en un point donné et que les deux autres se trouvent sur deux courbes données.

Prenons le point donné comme centre de rotation et faisons tourner l'une des courbes autour de lui, de manière que l'angle de rotation soit l'angle du triangle dont le sommet est en 0 et que le rapport de rotation soit celui des côtés adjacents à cet angle; la courbe qu'on a ainsi fait tourner coupera l'autre courbe donnée aux points où doit tomber le second sommet.

Si au lieu de la forme du triangle, on connaît l'angle dont le sommet doit tomber au point donné et le produit des côtés adjacents à cet angle, le problème se résoudra de la même manière. Seulement au lieu de faire tourner une courbe qui soit semblable à une des courbes données, ce sera l'inverse de cette courbe qu'on fera tourner.

Exemples.

349. Placer un triangle équilatéral, de manière que ses sommets soient sur trois parallèles données.

Un des sommets peut être mis en un point quelconque d'une des lignes; ce sera le centre de rotation; z' = 60°,

350. Placer un triangle équilatéral de manière que ses sommets soient sur trois cercles concentriques donnés

351. Dans un parallélogramme, inscrire un triangle isocèle dont l'angle soit donné; le. sommet doit être en un sommet du parallélogramme.

352. Dans un triangle donné, inscrire un autre triangle qui soit semblable à un triangle donné et qui ait un de ses sommets en un point donné d'un côté du premier.

353. Dans un segment de cercle, inscrire un triangle semblable à un triangle donné, et dont un sommet tombe en un point donné de la corde.

354. Dans un cercle donné, inscrire une corde dont la longueur soit dans des rapports donnés avec les distances de ses extrémités à un point donné.

355. Dans un parallélogramme, inscrire un rectangle dont les diagonales fassent un angle donné.

Les centres des deux parallélogrammes doivent se confondre.

356. Dans un parallélogramme, inscrire un losange dont les diagonales aient un rapport donné.